人們在學習了解分形學的時候，常常會問，分形幾何與歐幾里得的幾何有哪些本質的差別呢，這種差別是如何產生的呢？是客觀存在，還是人為的劃分的。
分形與歐氏幾何的區別
1、歐氏幾何是規則的，而分形幾何是不規則的。也就是說，歐氏幾何一般是逐段光滑的，而分形幾何往往在任何區間內都不具有光滑性。
2、歐氏圖形層次是有限的，而分形從數學角度講是層次無限的。
3、歐氏圖形不會從局部得到整體的信息，而分形圖形強調這種關系。
4、歐氏圖形越復雜，背后規則必定很復雜。而分形圖形看上去很復雜，但是背后的規則往往很簡單。
5、歐氏幾何學描述的對象是人類創造的簡單的標準物體。而分形幾何學描述的對象是大自然創造的復雜是真實物。
6、歐氏幾何學有特征長度，而分形幾何學無特征長度。
7、歐氏幾何學有明確的數學表達方式，而分形幾何學用迭代語言表達。
8、歐氏幾何學的維數是0及整數（1或2或3），而分形幾何學一般是分數也可以是正整數。
曼德爾布羅特在創建他的分形理論時，特別重視那些當時非主流的思想，尤其是那些被稱作“病態的””、“反直覺的”的東西 。醫生和律師用各種“‘病例集”和“案例集”來稱呼有一個共同題目的實際病例和案例。而科學上尚無相應的專門名詞，因此曼德爾布羅特建議也應用“范例集”這個名詞。重要的范例需倍加注意，而稍次的也應給予評述：通常可利用先例而縮短討論。因此諸如現在人們熟悉的康托爾三分集、外爾斯特拉斯不可微曲線、可充滿正方形區域的皮亞諾曲線、謝爾賓斯基地毯與海綿、柯赫雪花曲線等等，都被他視為珍寶。而這些一直被正統科學視為少數的反例，只是在教學過程中作為一種邏輯可能性偶爾提到。
在分形如此流行的今天，本文沒有必要一個一個地仔細講述這些“怪物”(芒氏視其為“寶貝”)的具體性質，從任何一本關于分形的書中都可以容易找到一些例子。
曼德爾布羅特與世人的想法正好顛倒過來，他認為別人視為怪物的東西恰恰是最普通的類型；別人視為想當然的無比美好的點、線、面、體卻是例外。長期的觀察、收集與總結，使曼德爾布羅特獲得這樣一個印象：除了光滑的歐氏幾何（廣義的，泛指分形幾何以外的標準幾何）以外，應該還有一種不光滑的幾何，這種幾何更適于描寫大自然的本來面目。
在其代表著《大自然的分形幾何學》中，芒德勃羅如是說：“為什么幾何學常常被說成是‘ 冷酷無情’和‘枯燥乏味’的?原因之一在于它無力描寫云彩、山嶺、海岸線或樹木的形狀。云彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹皮并不光滑，閃電更不是沿著直線傳 播的。更為 一般地，我要指出，自然界的許多圖樣是如此地不規則和支離破碎，以致與歐幾里得(幾何)──本書中用這個術語來稱呼所有標準的幾何學——相比，自然界不只具有較高程度的復雜性，而且擁有完全不同層次上的復雜度。自然界圖樣的長度，在不同標度下的數目，在所有實際情況下都是無限的。這些圖樣的存在，激勵著我們去探索那些被歐幾里得擱置在一邊， 被認為是‘無形狀可言的’形狀，去研究“無定形”的形態學。然而數學家蔑視這種挑戰，他們想出種種與我們看得見或感覺到的任何東西都無關的理論，卻回避從大自然提出的問題 ?！?
曼德爾布羅特認為，分形幾何學并非20世紀數學的直接“應用”。它是數學危機的一個晚產的新領域 ，這個危機從雷蒙德1875首次報告外爾斯特拉斯構造的處處連續而不可微函數就已開始了。這次危機大約延續到1925年，主要的演員是康托爾、皮亞諾、勒貝格和豪斯多夫。這些天才們的工作的影響，遠遠超出了原定的范圍 。他們及其幾代后繼者都不知道，在他們那些十分返樸歸真的創造后面，有著一個趣味盎然的世界。
海岸線：最容易說明的分形
巴塞羅斯采訪曼德爾布羅特時問他：“分形實例中你最喜歡哪 一個?”芒氏脫口而出：“當然是海岸線例子”。隨即他又補充說還有“血管分形結構”以及“自平方龍”(復迭代中的一個例子)等例子。他風趣地講，實際上他不知道最喜歡哪一個，所有那些分形模型都好比他的孩子，他都喜歡，作為父親因為所有孩子而驕傲，所有孩子都為這個分形之家添了光彩?！耙粋€人可以因為不同的理由愛不同的孩子，但他不可能有真正絕對的偏愛?！薄 ?/p>
 | 曼德爾布羅特認為海岸線的例子是最容易說清楚的分形思想的例子，他在他的演講和兩部專著中也都是把海岸線問題放在最前面講述的。 1967年美國的《科學》雜志上發表長度為兩頁多一點的報告《英國海岸線有多長？統計自相似與分數維》，提出了分數維的概念，說明海岸線是一種無標度對象，用不同刻度的“尺子”去測量此類現象，可以得到完全不同的長度。因此可以說海岸線有任意長度、無窮長度（當然從物理上看，無標度區間總有一個下限，在原子層次就不能再談“海岸線”問題了）。這時候“長度”就不是一個特別合適 的物理量了，它 顯得有點不“客觀”，而分維D則是一個很好的特征量。 |
實際上關于海岸線長度測量的悖論，在曼德爾布羅特之前就有英國著名氣象學家里查遜、波蘭著名數學家斯坦因豪斯和法國著名實驗物理學家、諾貝爾獎獲得者佩蘭等人都有過精彩的論述。曼德爾布羅特比較關注的是前兩人的觀點，他是后來才發現佩蘭的論述的，在1977年、1982年的專著中他大段引述了佩蘭的思想觀點。曼德爾布羅特用柯赫曲線來說明海岸線問題。
 | 曼德爾布羅特用此例子來說明在自然界中，有許多用傳統歐氏幾何學不能描述的這樣一些復雜的，表面上看是無規律的幾何對象，例如：蜿蜒曲折的海岸線，起伏不定的山脈，粗糙不堪的斷面，變幻無常的浮云。它們有一個共同的的特點就是：極不規則或極不光滑。 曼德爾布羅特很早就在考慮如何用幾何來描述它？ |
如何用幾何來描述它？
曼德爾布羅特注意到英國海岸線與柯赫（Van Koch）曲線的關系，提出了一門描述大自然的幾何形態的學科——分形學，并列舉了可以作為分形對象的一些基本特征。
分形的特性
1、具有無限精細的結構；
2、局部與整體的相似性；
3、具有非拓撲維數，并且它大于對應的拓撲維數；
4、具有隨機性；
5、在大多數情況下，分形可以用非常簡單的方法確定，可能由迭代產生。
曼德爾布羅特將看起來毫無頭緒的“雜多”的思想與觀點綜合在一起，建立起能夠描述大自然現象的分形科學。同時由于分形學是從現實世界中來的，它能夠反映現實世界的真實狀態，因此是淵源流長的，是有生命力的。
