云朵不是球形的，山巒不是錐形的，海岸線不是圓形的，樹皮不是光滑的，閃電也不是一條直線。從《阿凡達》中風景旖旎的潘多拉星球到《冰雪奇緣》中的浪漫雪花，再到《奇幻森林》中的叢林世界，當年輕的分形幾何學攜手CG（計算機動畫）技術在銀幕上與觀眾初次相遇，便呈現出令人驚艷無比的視覺效果。把手機天線縮小到能夠藏進機身，把飛機儀表板設計得一目了然，找到血流經早期癌變血管和正常血管時的不同分形特征以盡早發現癌癥······以上一切的一切，其實都要歸功于分形幾何學的鬼斧神工，更離不開被譽為“分形幾何之父”的世界級大師曼德爾布羅的非凡智慧。
分形幾何中，經典的海螺線分形構造圖
伯努瓦·曼德爾布羅（Benoit Mandelbrot），1924年11月20日出生于波蘭華沙，父親是立陶宛商人，母親是俄國首批醫學博士。童年時，曼德爾布羅學業時斷時續，他從未認真學習字母，只背過5以下的乘法表。11歲時，曼德爾布羅跟著全家逃避戰亂來到巴黎，投奔他的叔叔、數學家佐列姆·曼德爾布羅。戰爭時，一家人又逃到法國南部的蒂勒鎮。他當過機床維修學徒。巴黎解放后，憑借自己的天賦和直覺，他通過了巴黎高等師范和高等工業學院長達一個月的筆試和口試。后來，不管給出什么問題，他總可以用腦海中浮現的形狀來思考。
1944年是第二次世界大戰的關鍵年，當時他目睹所發生的一切。危險的形勢、長期的焦慮造就曼德爾布羅獨特的生存本能。他必須謹小慎微遠離鬧市，有時甚至是繞道而行。20世紀70年代，他提出了“分形幾何”的概念。他撰寫的《大自然的分形幾何》一書于1982年出版，在數學界乃至流行文化領域掀起一股“分形熱”。他的研究成果被應用于物理、生物、金融等各項領域，而不規則圖形設計理念甚至影響了流行文化。
自然界中，交錯對稱的分形
如果我們拿出一張絕對平整的紙，把它當作一個二維平面，接著把它團成一個完美的圓形紙球（不要問我怎么做到這一點），把它當作一個三維球體，最后把紙球攤開，出現在我們面前的會是什么呢？答對了，是一張皺巴巴的紙。這張紙的維度介于二維到三維之間，曼德爾布羅的理論（亦稱“分形理論”）就適用于研究這類維度的問題。
其實，分形理論的巧妙之處在于能夠將曲折的海岸線、布滿環形山的月球表面、茂密的樹枝、坑坑洼洼的火山口等一切所謂“非幾何”的“病態”形狀納入幾何學的范疇，并找到它們的幾何法則。曼德爾布羅的分形幾何，成為混沌學的重要分支，幾乎影響了當代人類生活的所有領域。
“二戰”結束后，由于歷史原因，曼德爾布羅的生活變得極其艱辛，任何人都對此無能為力。從此，他沒有任何清晰的計劃或是合理的決定，當時他幾乎瘋狂著迷于各種各樣的不規則現象。這使得他開始懷疑進而反駁對這些現象的常規看法。可以說，曼德爾布羅的整個職業生涯都處在對“粗糙度”概念的熱切追求中。早期歐洲的政治迫使他度過極其復雜的年輕時光。1975年，他創造“分形”這一術語。拉丁語中的形容詞“fractus”有著“不規則”“混亂”等意思。而現在，你可以在字典中看到“分形”這一詞?！按笞匀恢械囊巹t形狀屈指可數，其余的都是不規則的。”曼德爾布羅如是說。
分形理論中，一種放大的分形現象
曼德爾布羅的分形理論最初的案例就來自IBM（國際商用機器公司）在使用電話線路傳遞計算機信號時遇到的不時出現的噪聲干擾難題。他將噪聲信號出現規律繪制出來以后，發現了其中的自相似性，這給了他靈感，同時，公司的計算機也幫助他完成了上百萬次迭代運算，使他得以將分形理論歸納為一個簡潔的公式：f(z)=z2+c。如果沒有計算機，人們也無法看到這個公式的幾何形式，也就是具有純粹數學之美的曼德爾布羅集合。這個集合的美是如此獨特，以致于在19世紀70年代后期成為一種文化符號，被大量印制在T恤、棒球帽和帆布包上。
分形為曼德爾布羅所研究的“不規則”提供了一種“規則”。在某種程度上，他對這些現象著迷僅僅是通過他敏銳的直覺。“我們都知道，心臟大體上必須呈現規則的活動，否則，你將死亡。然而，腦部大體上必須呈現不規則的活動，否則，你將發生癲癇。這顯示不規則（混沌）將導致復雜的系統。它并不是完全的無秩序。恰好相反，我認為生命與智慧便是基于混沌才可能發生。腦部在設計上如此不穩定，所以，最小的影響便可以導致秩序的形成?！北壤麜r物理化學家伊利亞·普利高津一針見血地提及混沌理論與分形幾何學的巨大價值。
現實生活中，建筑師設計的分形藝術品
在一次演講中，曼德爾布羅解釋說：“如果你切開一朵花椰菜，會看到一樣的花椰菜，只是小一點；如果你不斷地切、不斷地切，你還會看到一樣的花椰菜，只是更小一點。”這蘊含分形的自相似性。另外，他指出“云朵不是球形的，山巒不是錐形的，海岸線不是圓形的，樹皮不是光滑的，閃電也不是一條直線。”相反地，這些天然以及人造產物的形狀是很“粗糙的”。為了從這些粗糙形狀中探究本質，曼德爾布羅提出了一種新的數學——分形幾何，它與我們在學校中所了解的歐幾里得幾何大相徑庭。無論是從財政學到冶金學，還是從宇宙學到醫藥學，分形幾何在諸多領域中引領著我們去探索和發現?？梢哉f，自相似性和分維是分形的兩大基本特征。
不妨讓我們記住著名物理學家惠勒說過的一句話：“今后誰不熟悉分形，誰就不能被稱為科學上的文化人?！蹦壳埃中卫碚撘驯粦玫缴铩⒌厍蛭锢?、物理和化學、天文、材料、計算機圖形、經濟、語言與情報、音樂等學科領域，對人類生活的改善和未知世界的探索都起到積極作用。分形幾何學作為當今世界十分風靡和活躍的新理論、新學科，它的出現，使人們重新審視這個世界：“世界是非線性的，分形無處不在?！狈中螏缀螌W不僅讓人們感悟到科學與藝術的融合、數學與藝術審美的統一，而且還讓人們感悟到其深刻的科學方法論意義。
本文節選自《美少年》2022年第10期
《曼德爾布羅與神奇的“分形幾何美學”》
