開啟一個全新的系列。聊聊與數(shù)學(xué)，主要是與幾何有關(guān)的話題。感覺挺長時間沒聊數(shù)學(xué)了，還真就有點想了。先問大家一個小問題，英國的海岸線有多長呢? 咋一聽這個問題，我想絕大多數(shù)的朋友都不知道確切的數(shù)值，感覺這好像并不是一個純純的數(shù)學(xué)問題，而更像是一個地理方面的知識點，如果地理知識儲備的足夠豐富的話，那么，應(yīng)該能夠記得這個答案。
但是，這并不是問題的重點，并不是想要考驗?zāi)愕挠洃浟Γ攸c是，即使現(xiàn)在，就讓你親自拿著尺子到英國去一趟，親手去測量一下海岸線，那么，你能夠得出英國海岸線的準確長度嗎？感覺這也沒啥復(fù)雜的，那就慢慢量唄，有啥量不準的。
有朋友可能會問了，這個是不是腦筋急轉(zhuǎn)彎呀，因為有海水的潮漲潮落會影響海岸線的長度，所以測不準，當(dāng)然，這是一個影響因素，但這也不是今天要討論的重點，我們可以假設(shè)海平面沒有波動，就是單純的用尺子去測量海岸線的問題，能不能測準呢。各位先不用著急回答。讓我們先聽聽故事。
1967年，法國的數(shù)學(xué)家【曼德布羅特】在國際著名的權(quán)威雜志《sciense》上發(fā)表了一篇論文，論文的題目就叫【英國的海岸線有多長?】你一聽這名，感覺有點像地理雜志上旅游的推廣，或者是初中生的科普專欄，但就是這么一篇題目看起來不太嚴肅的論文卻掀起了數(shù)學(xué)史上的一次大變革。這篇論文經(jīng)過一頓熱烈的討論，最后給出的答案是，英國的海岸線根本就沒有一個準確的長度。或者說，英國海岸線到底有多長，這完全取決于測量時所使用的尺子，而并不是海岸線本身。
為啥這么說，你想想，海岸線長的是啥樣的呢，由于常年海水的沖擊和陸地的不規(guī)則變遷，它保證是曲曲折折，七彎八拐的，形成了大小不一的海灣，不管是哪國的海岸線，仔細一看保證都是曲線，不可能像一個電冰箱似的，長寬高一量，大小就一目了然。所以，在實際的測量當(dāng)中，如果我們用一把大號的尺子，比如以千米作為單位的話，那么，幾米，幾十米，幾百米的小彎曲，這部分海灣就會被完全忽略掉了，如果，用一把小點的尺子，比如改用米作為單位，結(jié)果呢，上面那些被忽略了的彎曲部分就都要被計算在內(nèi)了，這就比大尺子測出的結(jié)果要長出一部分了，但是，比米級別小的，厘米，微米這樣量級的彎曲，你可以相像成只是一塊突出的石頭塊，這些就被忽略掉了。
進一步的，如果我們使用微米的尺子，甚至是納米的尺子呢，不難看出，隨著測量單位的不斷減小，被計入的彎曲就會越多，測得出的海岸線長度自然也就會越長。所以說，英國海岸線的長度是沒法精確測量的，不只是英國的，哪國的都一樣，這個長度都是不確定的，雖然這聽起來有點詭辯的味道，但是仔細想想，還真就是這么回事。
用【曼德布羅特】的話說就是：“若用衛(wèi)星在天上觀察的方法，一定會得出較短的海岸線長度。反過來，讓蝸牛爬過每一個石子，這條海岸線必然會長得驚人。”
更進一步的，我們還可以這樣設(shè)想，如果真的是用分子、原子量級的尺度做為測量單位時，得出的長度將是一串天文數(shù)字，具體是多少，我們不知道，而且也沒有什么實際意義，但是，這不妨障給我們帶來一些數(shù)學(xué)上的思考，隨著測量單位變得無窮小時，海岸線的長度就會變得無窮大，所以，世界各國給出的海岸線長度數(shù)據(jù)，在數(shù)學(xué)家的眼前，都是渣渣，更準確的說，這只是在以某個精準級別上得出的一個粗略的結(jié)果而已，所以，地理學(xué)家看數(shù)學(xué)家可能就是瘋子，數(shù)學(xué)家看地理學(xué)家就是傻子。
說到這，大家基本就聽懂了問題的關(guān)鍵所在，就是以不同的精度去測量一條不規(guī)則的曲線，就會得到不同的長度。雖然【曼德布羅特】說的很有道理的樣子，但是總感覺這只是數(shù)學(xué)家們的頭腦風(fēng)暴而已，純屬吃飽飯撐的，自娛自樂，你說你天天研究這玩意有啥用呀，有啥實際意義呢，這不是閑的嗎。但是，實際上，在現(xiàn)實生活當(dāng)中，由此引發(fā)的問題還真就不少。
比如在早些時候，人們就發(fā)現(xiàn)葡萄牙人與西班牙人對他們的共同國境線的長度說法就不一樣，這兩個國緊挨著，歷史上也有很多的淵源，關(guān)系一直也都挺友好的，對于彎彎曲曲的邊界線也沒有太多的糾紛。但是，這兩個國家的各種出版物當(dāng)中，給出的邊界長度卻有很大的差別，按照葡萄牙人的說法，這條國界線的長度是1214千米，而西班牙人卻說是只有987千米，這就差了二百多千米呢，同樣，荷蘭和比利時之間的共同邊界線，雙方給出的長度也不一樣，這還是僅涉及到兩個國家，再比如，歐洲第二長河多瑙河，流經(jīng)了9個國家，他究竟有多長呢，答案也不一樣，有的說是2850千米,有的說是2706千米，還有的說是2780千米，當(dāng)然了，一百多米的區(qū)別起碼說明大家測量的【尺子】還是同一量級的，注意，我說的這個尺子是打引號，只是形容一種測量的方式方法，當(dāng)然不可能一堆地質(zhì)學(xué)家真的拿個直尺，拿個圓規(guī)撅屁股在地上測量。
【曼德布羅特】提出的這個看似地理學(xué)上的問題，居然是引發(fā)了物理學(xué)，數(shù)學(xué)上的思考。確實，在日常生活當(dāng)中，并不需要那么精準的結(jié)果，就像是一個國家的面積，一個國家的人口一樣，也都只是一個大概的數(shù)值，只要能足以滿足生產(chǎn)生活就行了。就比如海岸線的測量，使用1米作為基本單位進行測量，也就夠用了，因為，正常人走路的時候，一步大約就是75厘米，所以，在你走路的時候，就會忽略掉小于這個長度的彎曲部分，小石頭，小土包，小水溝你直接一步就邁過去了，而對于汽車，還有更大型的輪船，自然就會忽略掉更大一點的曲折部分了。所以，我國大陸海岸線長度大約是1．8萬千米，這就意味著，從鴨綠江口，一直開到廣西北侖河口，時速120公里的話，大約就需要150小時。這是海岸線長度對我們現(xiàn)實生活的指導(dǎo)意義。
而在物理的世界中，如果我們按照【曼德布羅特】的觀點無限的思考下去，這種越來越精細的測量過程必然也會有一個終結(jié)，不可能無限的分割下去，這就像對于微觀世界的探索一樣，從分子到原子，再到中子、質(zhì)子，電子，再到普朗克長度，無論怎么分割下去，最后，總會受制于當(dāng)時科技水平，找不到更鋒利的刀，更微小的尺。
但是，在數(shù)學(xué)家眼里，這完全是另外一種光景，因為，他們根本就不考慮現(xiàn)實世界的事，從數(shù)學(xué)家理想化的觀點看，這種越來越精細的測量過程，可以無限的進行下去，測量結(jié)果也可以無限地增大，所以，最終的結(jié)果就是每條曲折的海岸線，理論上有著無窮的長度。
【曼德布羅特】用這樣的通俗易懂的例子讓我們領(lǐng)略到了不規(guī)則曲線長度的問題，也讓這個問題超越了地理學(xué)的范疇，超越了物理學(xué)的范疇，最終還是回歸到數(shù)學(xué)的本質(zhì)上，也就開創(chuàng)了幾何學(xué)中一個全新的領(lǐng)域，這就是分形。
當(dāng)然了，【曼德布羅特】絕不僅僅是考慮了海岸線的長度問題這么簡單，在此之前，他對前人認為的數(shù)學(xué)上的“怪物”，比如康托爾三分集、皮亞諾曲線、雪花曲線、謝爾賓斯基地毯等問題都進行了深入研究，并且進行了統(tǒng)一的處理，只是用海岸線這個大家容易接受的形式向大家普及，推廣一下，最終是打開了一扇嶄新的分形幾何學(xué)的大門。
分形
到底什么是分形呢，這個三兩句話很難說清楚，得用四句話才行。分形是一種具有自相似特性的現(xiàn)象、圖像或者物理過程，可以說分形的核心就是自相似性，就是取任一部分進行適當(dāng)放大，仍可得到與原來整個圖形相似的圖形，就相當(dāng)于不斷的克隆，一個比一個小，不停的重復(fù)下去。
我舉個例子，比如說，有一天，我紅了，我火了，有個賣尿不濕的廠家找我做廣告，當(dāng)形象大使，要把我光輝的形象印在他們的商品上，并且還讓我擺個pose，左手拿著一包尿不濕，右手伸出大拇指，旁邊再配上一句話，媽媽再也不用擔(dān)心我尿褲子了。這就是一個分形的問題，從哪看出來的呢，因為，當(dāng)你買了一包尿不濕，就看到這上面我的形象，把圖中我手中拿的這包尿不濕放大之后，還會看到這上邊印著一個我手中拿著尿不濕的形象，你再把這個尿不濕再放大，里邊還是有一個我，還是左手拿著一包尿不濕，右手伸出大拇指，媽媽再也不用擔(dān)心我尿褲子了，如果印刷水平足夠的精細，放大鏡的倍數(shù)也足夠牛逼的話，那么，理論上就會看到無窮無盡的我，手中拿著無窮無盡的尿不濕，這就是分形的思想。
好了，從感性讓理解了分形，那么專業(yè)的問題也就沒那么復(fù)雜了，前面說的數(shù)學(xué)中的那個幾怪物是啥意思呢，也是一個道理。
比如說康托爾三分集，這也是一個重復(fù)性的操作，先取一條長度為1的線段，把它三等分，去掉中間那一段，剩下左右兩段，再將剩下的兩段再分別三等分，各去掉中間一段，這就剩下更短的四段，繼續(xù)按照這個規(guī)律操作，三等分，去中間，三等分，去中間，一直繼續(xù)下去，直至無窮，在這個不斷分割與舍棄過程中，所形成的線段數(shù)目會越來越多，長度也越來越小，在極限的情況下，就得到一個離散的點集，這就叫康托爾三分集，你要問這玩意有啥用，對于我們普通百姓來說，真就沒啥用，但是，你可以領(lǐng)略一下數(shù)學(xué)的氣質(zhì)與美感。
這就是一個局部與整體相似的分形系統(tǒng)，你把任意一段拿出來放大一看，與整體都有同樣的性質(zhì)，而且，這也讓傳統(tǒng)的幾何學(xué)陷入危機，用傳統(tǒng)的幾何語言難以準確描述，你要說這是點吧，感覺還不是那種傳統(tǒng)意義是沒有長度的點，你要說他是線段吧，最后又都給切的稀碎稀碎的了，理論上長度又是零，在結(jié)構(gòu)上，它既不滿足某些簡單條件，比如說是點運動的軌跡，也不是任何簡單方程的解集，所以，在【曼德布羅特】提出分形之前，康托爾三分集無異于就是數(shù)學(xué)中的怪物。
再比如，這個雪花曲線，也叫科赫曲線，這個也不難，你自己就能畫出來，先在紙上畫一個正三角形，盡量畫的大一點，然后把三角形的每一邊都三等分，再以中間這一段作為邊，向外作一個正三角形，然后，把原來的“中間這一段”擦掉，這時候就形成了一個六角星的圖案，看起來有點雪花的意思了吧，這只是第一步，接下來，你要做的就是重復(fù)以上的步驟，把一邊三等分，以中間那段為邊再做一個正三角形，一直重復(fù)下去，就更像雪花了，最后形成的這個曲線就叫做科赫曲線。你要問這玩意有啥用，同樣，也真是沒啥用，但是我們也可以領(lǐng)略一下他的氣質(zhì)，他有一個明顯的特點，就是這片雪花的面積是有限的，但是他的周長卻是無限的。雖然，你不會計算他的面積，沒關(guān)系，你總可以在這個雪花外邊畫一個大圓把它給包上，所以，它的面積不會大于這個圓，所以面積是有限的，但是，他的周長呢，每重復(fù)一次上面的這個操作，就會多出一些小的三角形，小三角形邊長是原來的1/3那么長，但是邊數(shù)是原來的4倍，所以，周長是原來的4/3。也就是說，每次變化后，邊長都比原來增加了1/3。子子孫孫無窮匱也，最后一定是無窮大了，也就是用'無窮大'的邊界，包圍著有限的面積，救活了籬笆廠，坑死了開發(fā)商，你說這上哪說理去。所以，這種曲線也被當(dāng)時的數(shù)學(xué)家稱為病態(tài)曲線。
是不是，感覺這個雪花曲線就和英國的海岸線長度的問題有了幾分相似之處呢。不斷的放大，就會發(fā)現(xiàn)無窮的細節(jié)，但是，人家這個雪花的反復(fù)迭代是按照著明確的規(guī)律進行下去的。那么，海岸線的曲折變化是否也有著一定的規(guī)律呢。
帶著這種想法，【曼德布羅特】就這么操作了一下，設(shè)海岸的起點和終點分別是AB，截取了其中的一小段，假設(shè)為AC，把AC放大之后，發(fā)現(xiàn)它和AB極為相似，同樣，在AC之間，再取更小的一部分，比如是AD，然后再進行放大，結(jié)果發(fā)現(xiàn)這個形狀與AB,AC都驚人地相似，可以再截取，再比較，結(jié)果都是十分的相似。換句話說，任意一段海岸線就象是整個海岸線按比例縮小的結(jié)果，這簡直就是上帝用海水與沙石制成的科赫曲線。這要是用老和尚的話說，還真就有點一沙一世界，一花一天堂的味道，你就會覺得數(shù)學(xué)，物理，大自然，乃至整個宇宙都是相通的。也不禁讓我想起了愛因斯坦的這句名言，宇宙最不可理解的地方，就在于它居然是可以理解的。
早在古希臘時代，畢達哥拉斯學(xué)派有一句名言，萬物皆數(shù)，他們非常重視數(shù)學(xué)，想用數(shù)來解釋一切，認為數(shù)是宇宙萬物的本原，研究數(shù)學(xué)的目的不僅是要使用它，更重要的是為了探索自然的奧秘。同樣，人們對于幾何學(xué)有著相似的迷戀與尊崇。很長一段時間以來，人們，也包括無數(shù)的大數(shù)學(xué)家在內(nèi)，都習(xí)慣于用自己最為熟悉的歐幾里得幾何學(xué)來描述整個大自然，整個宇宙，就像是我們小時候?qū)W習(xí)簡筆畫一樣，會把一個圖畫拆分成幾個簡單的圖形，比如你想畫一只豬，那就先畫一個圓，這就是腦袋，再畫兩個小三角，這就是耳朵，再點兩個點就是眼睛，一個橢圓加兩個小圓圈，這就是鼻子。這種樸素的思想流傳甚廣，千百年來，我們都覺得，無論是自然界中多么復(fù)雜的圖形都可以回歸到，點、線、面，三角形、正方形、圓形等這些基本的圖形上，正如伽利略所說：自然界的語言是數(shù)學(xué)，其書寫的符號是三角形、圓和其他圖形。
可是，就像是無理數(shù)的出現(xiàn)導(dǎo)致了第一次數(shù)學(xué)危機，進而破壞了畢達哥拉斯學(xué)派對于萬物皆數(shù)的完美信念一樣，隨著觀察的細致與深入，人們開始逐漸發(fā)現(xiàn)，在大自然繪制的這幅絢麗而復(fù)雜圖像面前，傳統(tǒng)的歐式幾何學(xué)就顯得十分的局限而無力了，因為歐式幾何只能描述一些非常有限，并且非常規(guī)則的形狀。但是，大自然卻從來不受這種傳統(tǒng)幾何的束縛。
比如說，云彩不是完美的球體，高山也不是簡單錐體，海岸線更不是簡單線段的疊加，就連樹皮也不是光滑的，此時的歐式幾何就像一個系統(tǒng)自帶的畫圖功能，已經(jīng)無法滿足磨皮，濾鏡，各種高光，美白的需求了。無論是人的血脈、鳥的羽毛，還是十里群山，一片葉子，如果你仔細觀看，就會發(fā)現(xiàn)，這都不是簡單的幾何圖形的組合，所以，自然界所處的真實狀態(tài)，跟咱們的傳統(tǒng)認知根本就不是一個級別的，再想用傳統(tǒng)的幾何語言來描述大自然的不規(guī)則形態(tài)，就顯得無能為力，力不從心，心煩意亂，亂七八糟了。
面對著大自然的變幻莫測，我們怎么辦呢，要利用何種新式的工具呢。人們通過觀察就發(fā)現(xiàn)了，雖然大自然的構(gòu)型極為繁復(fù)龐雜，但是它的背后，似乎還蘊藏著一種我們暫時還無法準確描述的規(guī)律，比如說大樹從樹干分出樹枝，再分出更小的樹枝，動物身上的血管也是，大血管發(fā)出小血管，小血管再發(fā)出毛細血管，河流也是從主干不斷發(fā)出分支，一座大山，細看有一些小的山，再離近了看，還有更小的山。不難看出，他們都有一個共同的特征，就是雖然看起來很不規(guī)則，但把局部的結(jié)構(gòu)放大后，與整體的形狀非常相似，這就是大自然復(fù)雜背后的簡單法則。
面對這種情況，早在19世紀的時候，分形的思想就已經(jīng)有了一些萌芽，但是沒有人去專門研究具體的圖形問題，因為根本無從下手呀，只能感悟到一種自然之美，數(shù)學(xué)家們卻無法把這個問題歸入當(dāng)時的現(xiàn)有數(shù)學(xué)模型當(dāng)中，更沒有現(xiàn)成的公式來描述這種不停下崽般的變化。
而且這對于那些始終堅信“數(shù)學(xué)可以解釋宇宙萬物”的數(shù)學(xué)家們來說，分形的思想簡直就是一場噩夢，這與當(dāng)年畢達哥拉斯學(xué)派處境差不多，狠不得把發(fā)現(xiàn)無理數(shù)根號2的西帕索斯扔大海喂魚吃，所以，為了維護歐式幾何的完美性，數(shù)學(xué)家拒絕承認分形的思想，認為分形是自然界的“怪物”。
這種情況一直持續(xù)到了大神【曼德布羅特】的出現(xiàn)，地球人，你們是吐樣，吐三炮了，其實，并不是宇宙不完美，只是已有的數(shù)學(xué)工具不夠完美罷了，【曼德布羅特】敏銳的看到了分形與大自然的密切聯(lián)系，用分形的思想來描述自然界中的形態(tài)分布，只能用三個字來形容，妥妥地。所以，后來，也有人把分形稱為是自然界的幾何。而且，分形描述的不僅僅是靜態(tài)分布，還能反映了一個動態(tài)的漸變過程。，比如說河流的形成，山脈的形成，這都是經(jīng)過億萬年的地殼變動、侵蝕等過程形成的，樹根向地下不斷的生長，也有著分形的美感。這也是分形如此迷人的重要原因所在。
現(xiàn)在，分形已不在再局限于數(shù)學(xué)圈和自然界，在創(chuàng)立后不久就成為了“熱門”，似乎每個領(lǐng)域都能和分形扯上關(guān)系，在天文、地理、物理、化學(xué)、生物、醫(yī)學(xué)、音樂、圖像壓縮、材料乃至語言學(xué)、經(jīng)濟學(xué)等多個領(lǐng)域中，都得到了十分廣泛的應(yīng)用，特別是最近這幾十年，隨著計算機的高速發(fā)展，再加上編程技術(shù)的完善，分形學(xué)更是大有進步。
目前，分形作為混沌學(xué)的一個重要分支，同樣有著混沌的特性，在數(shù)學(xué)上，分形一個重要的特點就是由自相似性來迭代生成，所以，不同的初始值通過不斷的迭代之后，就會產(chǎn)生巨大的差異，混沌的初始值敏感性也就可見一斑了，有這方面專業(yè)知識的朋友，可以自己用相關(guān)軟件繪制分形圖形，通過細微地改變輸入?yún)?shù)，就能得到完全不同的炫酷圖像，也可以更深刻地體驗到了分形的魅力。
說了半天【曼德布羅特】，簡單介紹一下這位分形之父的生平。他是出生于1924年，卒于2010年，他這個人很有意思，他的一生和他研究的主題差不多，都挺曲折的，性格和愛好也都挺古怪的，身世也復(fù)雜，他是出生在波蘭華沙一個來自立陶宛的猶太家庭，后來擁有法國和美國的雙重國籍，他的家庭背景學(xué)術(shù)傳統(tǒng)非常的深厚，他在一次采訪中，他說自己夫婦這兩個家族教授特別多，涉及的學(xué)科也非常廣，這大家子人足以支撐一所不錯的大學(xué)了。是不是吹牛逼，咱就不知道了，但是我查資料顯示，他爸是賣布頭的。
回顧他的一生，他是一位非常另類的科學(xué)家，雖然他的一生中，要屬分形學(xué)貢獻最大，但是在很多內(nèi)部人士的眼中，并不把他當(dāng)做是一名數(shù)學(xué)家，而他前半生的學(xué)術(shù)生涯也是非常的坎坷，涉獵的領(lǐng)域也是太過廣泛了，還經(jīng)常是在各個國家，不同的大學(xué)間游走，打一槍換一個地方，也沒有幾個學(xué)術(shù)上的真正朋友，他研究的方向也比較冷門，想發(fā)表論文也費勁，他還個有愛好，就是喜歡看一些非常古老破舊的文獻。他這一生涉及的范圍非常廣泛，數(shù)學(xué)，幾何學(xué)就不用說了，還有航空學(xué)，熱力統(tǒng)計學(xué)，甚至還有信息論、經(jīng)濟學(xué)、金融學(xué)、語言學(xué)、生理學(xué)，城市與人口學(xué)、哲學(xué)，藝術(shù)，全都門清，最后是在IBM研究院干了30多年，中間還當(dāng)過一段生物學(xué)老師。
這就頗有亞里士多德、達芬奇等這些全能大神的遺風(fēng)了，就是不受學(xué)科的限制，啥玩意都想研究研究，鼓搗鼓搗，達到融會貫通的境界。
但，就是這樣一位超越時代的大神，居然在很長一段時間內(nèi)都被視為科學(xué)界的異類，并沒有受到人們足夠的重視，【曼德布羅特】自己也挺上火，自己也整不明白自己研究這玩意到底是啥，應(yīng)該算哪一門，哪一派呢，姥姥不疼舅舅不愛，最后沒辦法，去他媽的，老子創(chuàng)業(yè)吧，自己創(chuàng)立一個全新門派吧。所以在1975年，他就整出了分形學(xué)，而就連分形這個詞，都是它創(chuàng)造出來的。當(dāng)然，我說的是英文，fractal，要這說事還挺有意思，在此之前，他一直在研究關(guān)于雪花曲線，海岸線長度這類自相似圖形，曲線長度的問題，但是沒辦法把它們進行現(xiàn)有學(xué)科上的歸類，他就想給自己新創(chuàng)立這個學(xué)科起個名，叫啥好呢，就像給自己家小孩起名一樣，男楚辭，女詩經(jīng)，最后他是翻開一本拉丁文字典，突然他想到了一個拉丁文單詞fractus，就是英文的fraction（“碎片”、“分數(shù)”）和fragment（“碎片”）這個單詞的詞根，一看這個挺形象生動呀，自己研究的這東西不就是碎片嗎，一小塊一小塊的。所以，【曼德布羅特】把這個詞稍加改變，就變成了現(xiàn)在的fractal。同年，他的著作《分形：形狀、機遇和維數(shù)》以法文版就出版了。此后，他又出版了一系列奠定分形學(xué)說的著作，終成一代分形之父。馬上各種頭銜榮譽就是紛至沓來。
【曼德布羅特】曾說過，柏拉圖稱人類的感知包括輕重、大小、冷熱、顏色、音調(diào)和粗糙度，除了粗糙度之外，對其他各種感知的研究都曾經(jīng)掀開過物理學(xué)的新篇章，而分形恰恰補上了粗糙度這缺失的一環(huán)。古人誠不欺我。
其實【曼德布羅特】關(guān)于英國海面線長度的問題，并非完全是他的原創(chuàng)，最初，他是在英國數(shù)學(xué)家【理查遜】的遺稿中發(fā)現(xiàn)了一篇鮮為人知的，極為晦澀難懂的論文，但是，【理查遜】還沒有對這個問題進行深入的研究，就離開了人世，他的這些論文也就靜靜的躺在了昏暗的角落，直到【曼德布羅特】獨具慧眼，擦去歲月的灰塵，將它們重新翻開，并賦予了全新的生命。
這也成為了曼德爾布羅特思想重要的轉(zhuǎn)折點，使他最終把一個世紀以來被傳統(tǒng)數(shù)學(xué)視為“病態(tài)的”、“怪物類型”的數(shù)學(xué)對象，統(tǒng)一到一個嶄新的幾何體系中，讓一門新的數(shù)學(xué)分支，分形幾何學(xué)躋身于現(xiàn)代數(shù)學(xué)之林．
分數(shù)維度
既然提到了分形，就不得不說一個分數(shù)維度的概念，這玩意很難說清楚，特別是咱們這是一檔音頻節(jié)目，沒法直觀形象的作圖，而且，最主要的原因是，本身我也不會，但是不會我也得編下去，不能退，這就像你到了四川，愛不愛吃辣的也得吃一回火鍋，到了泰國，不管你喜不喜歡都得看看人妖。
我們都知道維度，一維就是一根線，二維就是一個面，三維就是我們生活的這個空間，至于更高的維度，五六七八九維，雖然不能真正的理解，但是，起碼還都是一個整數(shù)的維度，那么，維度能不能是一個分數(shù)呢。
【豪斯道夫】回答說，能。
我們感性的體驗一下啥叫分數(shù)維度。想計算海岸線的長度，直覺告訴我們，這是一根線，所以，這是一維層次上的問題，但是這又不是一個正經(jīng)的一維問題，因為，每當(dāng)我們把曲線放大之后，就可以出現(xiàn)更多的細節(jié)，他就會變得更長。這和傳統(tǒng)的一些幾何圖形就不一樣了，傳統(tǒng)的幾何圖形無論他多么復(fù)雜，當(dāng)我們把他放大到足夠大的倍數(shù)之后，它總會有一個極限，總能測量出他確切的長度。
感覺海岸線這條曲線就像是一個腫瘤一樣，在瘋狂的增長著，在拼命地往其它的方向進行了拓展運動，我們又知道，點動成線，線動成面，面動成體，維度的擴增，就是一個低維度形態(tài)向其它的維度運動產(chǎn)生的，但是，海岸線似乎在努力增加，不停的放大，想要變成一個面，可又沒能成功，結(jié)果只是讓自己的長度增加了，始終沒成產(chǎn)生面積。
從數(shù)學(xué)家【豪斯道夫】的觀點來看，空間是連續(xù)變化的，空間的維數(shù)也是可以連續(xù)變化的,也就是說，他即可以是整數(shù)也可以是分數(shù)。舉個十分不恰當(dāng)?shù)睦樱⒉恢挥须u和蛋兩種狀態(tài)，有一種東西叫做毛蛋，這就是一種我們不經(jīng)常看到的，但是實實在在存在的一種中間狀態(tài)。
怎么才能說明白分數(shù)的維度呢。怎么說也說不明白。
可以這樣想一下，首先畫一個最簡單一維的圖形，也就是一條線段，然后，根據(jù)自相似的要求，把這線條分成2份，就得到了2條與原來相似的，但是短一些線段，如果分成3份，就得了3條與原來相似的，但是更短一些線段，感覺這就是廢話，毫無難度，別著急，這個簡單的操作過程，蘊含著一個深刻道理，在一維空間內(nèi)，我們把原圖形均勻的分割成多少段，我們就會得到多少個更小的自相似圖形。
那再看二維的平面，畫一個正方形。也是根據(jù)自相似的要求，很容易就想到了，把一個正方形畫成一個田字。也就是仍然取原來這個圖形一條邊的二分之一，就產(chǎn)生了4個小的正方形，這個四是怎么算出來的，你當(dāng)然可以說是一個一個數(shù)出來的了，但是，這是2^2次冪計算出來的結(jié)果，前面的這個2指的是均勻的分割成了多少段，指數(shù)這個2指的是這個圖形所處的維度。
如果把這個大正方形，每條邊都均勻的分成3段，這樣，就得到了一個九宮格，也就是9個自相似的小正方形，這個9是怎么算的呢，就是3^2次冪，這個3就是分成了3份，指數(shù)2還是所處的維度，2維。你要是把邊長平均分割成10份，那你就會得到100個小正方形，就是10^2冪，感覺還是廢話，沒啥復(fù)雜的。
再看3維世界，想象有一個立方體，比如一塊豆腐，橫，縱，平，切三刀，你就得到了八塊一樣的小塊豆腐，用數(shù)學(xué)語言來說，就是把原來這個立方體每一條邊都平均的分成了兩份，這樣我們就得到了，2^3，8個新的自相似體，如果是，每一條邊都平均的分成了三份呢，就可以得到3^3，27個小立方體，這就像是一個魔方一樣，如果分成5份，就會得到，5^3個，也就是125個小立方體。
感覺還是廢話，沒啥難度的。
通過以上這一大堆廢話的介紹，我們就可以發(fā)現(xiàn)一些規(guī)律。無論是在一維，二維，三維，甚至是更高維的空間，產(chǎn)生新的小的自相似圖形的數(shù)目總是與每個邊長平均分成的份數(shù)，以及他所處的維度有關(guān)。分成的份數(shù)越多，所處的維度越高，產(chǎn)生的新的小圖形就越多。我們笨理一想，也是這個道理，分割的越多當(dāng)然產(chǎn)生的小圖形越多了，處于越多的維度，自然就可以向更多的方向進行拓展，產(chǎn)生的小圖形自然也就越多了。
說到這，還都像人話。
但是，僅僅是感性上的認知還不夠，我們還要推導(dǎo)出一個公式，就是產(chǎn)生新的小圖形的量，等于分割成份數(shù)的維數(shù)次冪，如果用公式表達的話，就是 a^D=b，其中a就是分成了多少份，或者說是，某個圖形把它的邊長變?yōu)樵瓉淼?/a，D就是它所處的維度，b就是通過分形之后，得到的小圖形數(shù)目。我們剛剛說的那一些廢話都可以用這個公式來表述了。然后，經(jīng)過對數(shù)的轉(zhuǎn)換，D=logb/loga。
就也意味著，我們通過觀察分形后的圖形，看看他是截取了幾分之一段，最后產(chǎn)生了多少個小圖形，就能反推出來，他所處的維度了。
當(dāng)然了，以上這個推導(dǎo)過程，完全是憑我們的經(jīng)驗得到的結(jié)果，數(shù)學(xué)家當(dāng)然有更嚴格的證明，但是，咱能把剛才我說的這個事整明白就不錯了。
從這個公式就可以看出來，D即可以是整數(shù)，也可以是分數(shù)。雖然，我們平時都沒接觸過1.6維，2.8維的東西，但是現(xiàn)在就請大家排除主觀上本能的感覺。放飛自己的思想。
我給你說舉兩個例子，你就明白了。
有一個怪物叫謝爾賓斯基三角形，這個是怎么生成的。
第一步，畫一個等邊三角形，其它三角形也行，只是等邊三角形容易理解一些。
第二步，連接三角形三條邊的中點，將原來的三角形，分成四個小的正三角形。
第三步，用剪刀剪掉中間的那一個小三角形，這時候，你就是剩下三個小角形。
第四步，就是對剩下的這三個小角形，重復(fù)以上的操作。
這個謝爾賓斯基三角形的維度是多少呢，不妨用D=logb/loga。這個公式算一下。
這個操作的過程，是在原來的一條邊上取中點，也就是分成了兩段，所以，公式中的a就等于2，再看看新產(chǎn)生了多少個小的自相似圖形呢，本來是中點一連線產(chǎn)生了4個，但是把中間的那個給扣掉了，不算了，所以，就是新生成了3個小圖形，這里邊的b就是3，維度就是log3/log2，用計算器一算，大約就是1.585。
再算一個怪物，門格海綿的維度。這個是咋回事。
第一步，畫一個立方體。
第二步，把立方體的每一個面分成9個正方形。也就是把正方體分成27個小正方體，就和魔方一樣。
第三步，把每一面的中間的小正方體扣掉，再把最中心的立方體也扣掉，這樣就留下20個小正方。這個不好畫，但是很容易就可以腦中相像出這個畫面。
第四步，就是對每一個留下的小正方體都重復(fù)以上的的步驟。最后，得到的這個玩意就是門格海綿。
他的維度怎么算呢。先看看把每一條邊上的線段分成了多少段，3段唄。
再看看新產(chǎn)生了多少個小立方體呢。20個唄，因為我們說了，本來是產(chǎn)生了27個，又給扣下去了7個，所以，它的維度就是log20/log3，大約就2.7，
有興趣的朋友，可以自己算算謝爾賓斯基地毯的維度，它的生產(chǎn)法則是這樣的，把一個實心的正方形劃分為9個小正方形，然后去掉中間的小正方形，再對余下的小正方形重復(fù)這一操作，其實，也可以看做是門格海綿的一個面。如果算出來了，可以在節(jié)目下方留言。
好了，再考慮另外一個問題。當(dāng)畫一根線段的時候，如果用0維的點來測量它，結(jié)果就是無窮大，因為線段中包含著無窮多個點，如果用一塊平面來測量一根線段，其結(jié)果就是0，因為段線中不可能包含著平面。小時候，咱們就學(xué)過，單位很重要，單位對應(yīng)上，才有意義。對于一條線來說，只有用和它處于同維數(shù)的更小的線段來度量它才行。
所以，想用一維的尺子來測量雪花曲線，這就是一個不可能完成的任務(wù)了，因為，雪花曲線，它的整體是一條無限長的線折疊而成的，他的維度并不是1。你可以這樣想象一下，你把耳機線放在口袋里，過了畫拿出來，盤在了起，亂七八糟的，可以看做是一條曲線，但是，你心里很清楚，他一定是一條長度固定的線段，無論怎么亂套，只要你有耐心一定可以將他捋直，這就是一條一維的線段。
但是，如果，你的耳機是雪花曲線做的，無論你怎么有耐心也不可能把它完成捋直，因為他有數(shù)不完的彎折點，高逼格的說法就是，曲線處處不平滑，不可導(dǎo)。只有找到一個與雪花曲線維數(shù)相同的尺子來量它才有意義。
雪花曲線的維度到底怎么算呢。這就是今天最值錢的地方了。
看看雪花曲線是怎么生成的，取其中的一小段放大了仔細看，他每迭代變換一次，生成的新圖形，就是把原來的的線段進行了3等分，支出了三角形，抹去了原來中間這段，結(jié)果就是變成了4個一樣長的小線段，所以這里邊的a就是，把原有的線段分成了3份，也就是3，b是新產(chǎn)生的4個一樣長的小線段，就是4。最后經(jīng)過計算，雪花曲線的維數(shù)就是log4/log3，約等于1.2618。這就是雪花曲線的維度了。
今天的節(jié)目就是這樣了。
萬物皆數(shù)，自然便是幾何，這想這句話仍然沒有過時，只是這里說的數(shù)與幾何顯然要比它的原始意義涵蓋的更加廣泛，從海岸線問題發(fā)現(xiàn)自相似性，然后，又利用分數(shù)維度去定義由海岸線的曲線，進一步產(chǎn)生分形這一全新的研究領(lǐng)域，這段數(shù)學(xué)中奇幻的故事讓我們深深的感受到了數(shù)學(xué)的魅力，數(shù)學(xué)一直都憑借其簡潔優(yōu)美的方式描述著這個神秘的世界，只是，很多時候，我們并沒有發(fā)現(xiàn)他的美。
