弗賴登塔爾﹝H. Freudent
弗賴登塔爾﹝H. Freudenthal﹞
《做為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》
《除草與播種──數(shù)學(xué)教育科學(xué)的前言》
《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)》
漢斯?弗賴登塔爾﹝Hans Freudenthal，1905-1990﹞，荷蘭數(shù)學(xué)家、數(shù)學(xué)教育家。本文主要介紹他的三本著作：《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》﹝Mathematics as an Educational Task，D. Reidel Publishing Company，1973﹞、《除草與播種─數(shù)學(xué)教育科學(xué)的前言》﹝Weeding and Sowing─Preface to a Science of Mathematical Education. D. Reidel Publishing Company，1978﹞、《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)》﹝Didactical Phenomenology of Mathematical Structures，D. Reidel Publishing Company，1983﹞.
一、 作者介紹
漢斯?弗賴登塔爾﹝1905─1990﹞為國際上享有圣名的數(shù)學(xué)教育權(quán)威，荷蘭數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家。他出生于德國，1930年獲柏林大學(xué)數(shù)學(xué)博士學(xué)位，自1946年起任荷蘭烏得勒支﹝Utrecht﹞大學(xué)教授，1951年起為荷蘭皇家科學(xué)院院士，1971─1976年任數(shù)學(xué)教育研究所所長，他還曾獲的柏林大學(xué)、愛爾朗根大學(xué)、布魯塞爾大學(xué)、多倫多大學(xué)及阿姆斯特丹大學(xué)的榮譽(yù)博士稱號。
弗賴登塔爾在數(shù)學(xué)方面的主要工作領(lǐng)域是拓樸學(xué)和李群【辣椒注：在數(shù)學(xué)中，李群（Lie group）是具有群結(jié)構(gòu)的實流形或者復(fù)流形，并且群中的加法運(yùn)算和逆元運(yùn)算是栁形中的 解析映射。李群在數(shù)學(xué)分析、物理和幾何中都有非常重要的作用。同時李群也常被用于人名，在諸多領(lǐng)域均有同名人物】。同時也涉及其它數(shù)學(xué)分支以及哲學(xué)與科學(xué)史領(lǐng)域，早自50年代起就開始進(jìn)行數(shù)學(xué)教育方面的研究工作，共發(fā)表有著作140余種，這里介紹的三本巨著，被譯成多種文字出版，在國際上產(chǎn)生了重大影響，人們普遍認(rèn)為，如果說克萊茵在20世紀(jì)上半葉對數(shù)學(xué)教育作出了不朽的功績，那么弗賴登塔爾就是20世紀(jì)下半葉數(shù)學(xué)教育事業(yè)的帶頭人。
弗賴登塔爾是一位卓越的組織者和改革家，1963─1974年間他一直是國際數(shù)學(xué)教育委員會﹝ICMI﹞的理事，他積極支持?jǐn)?shù)學(xué)教育改革，但反對狂熱的“新數(shù)”運(yùn)動【辣椒注：20世紀(jì)50年代興起的一場數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化運(yùn)動。“新數(shù)”方案的基本原則是：要把內(nèi)容的公理化的演繹體系變成中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的中心，那些不從屬于演繹方式的內(nèi)容，如數(shù)學(xué)的應(yīng)用，都要放到次要的地位】；1967年他當(dāng)選為ICMI的主席，在此期間他做了兩件對數(shù)學(xué)教育事業(yè)的發(fā)展有著深遠(yuǎn)影響的大事。第一，在他的積極推動下第一屆國際數(shù)學(xué)教育會議﹝ICMI【辣椒注：國際數(shù)學(xué)教育委員會】﹞從國際數(shù)學(xué)家大會中分出來單獨召開，其活動方式，也從一般的各國情況交流、調(diào)查匯報，轉(zhuǎn)向考題式的討論研究，從而促進(jìn)了數(shù)學(xué)教育科學(xué)的探求與發(fā)展；由于弗氏的努力，ICMI終于成為一個促進(jìn)數(shù)學(xué)教育研究的國際機(jī)構(gòu)，而四年一度的ICMI也成為各國數(shù)學(xué)教育工作者交流切磋的最好機(jī)會。ICMI-7于1992年8月在加拿大的魁北克﹝Quebec﹞舉行。第二，創(chuàng)辦了《數(shù)學(xué)教育研究》﹝Educational Studies in Mathematics﹞雜志，其內(nèi)容涉及許多國家的數(shù)學(xué)教育研究成果，今天它已成為國際上最有影響的數(shù)學(xué)教育刊物。
弗賴登塔爾在數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育方面都有精深廣博的研究，也有豐富的實踐經(jīng)驗。他的數(shù)學(xué)教育理論，完全是從數(shù)學(xué)的獨特本質(zhì)，數(shù)學(xué)發(fā)展創(chuàng)造的歷史，以及數(shù)學(xué)理論與現(xiàn)實的關(guān)系出發(fā)，有著獨到的見解，創(chuàng)造性的精僻分析，與目前流行的“教育學(xué)”加“數(shù)學(xué)例子”的做法不同。從這三本著作中，我們將可窺其一般。
弗賴登塔爾曾在1987年12月訪問上海華東師范大學(xué)一個月，然后順訪北京。他訪華的講稿已經(jīng)出版，題為《訪問中國》。為了紀(jì)念弗賴登塔爾的功績，荷蘭的烏德勒大學(xué)建立了弗賴登塔爾數(shù)學(xué)教育研究所。
二、《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》
《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》一書，共有19章，其目錄是：
﹝1﹞數(shù)學(xué)的傳統(tǒng)。
﹝2﹞今日數(shù)學(xué)。
﹝3﹞傳統(tǒng)與教育。
﹝4﹞數(shù)學(xué)教育的用處和目的
﹝5﹞蘇格拉底﹝Socrates﹞的方法。
﹝6﹞再創(chuàng)造。
﹝7﹞用數(shù)學(xué)化的方法組織一個領(lǐng)域。
﹝8﹞數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性。
﹝9﹞教學(xué)。
﹝10﹞數(shù)學(xué)教師。
﹝11﹞數(shù)學(xué)的概念─客觀地接近的方法。
﹝12﹞數(shù)的概念的發(fā)展─從直觀方法到算法化的理論化。
﹝13﹞數(shù)的概念的發(fā)展─代數(shù)方法。
﹝14﹞數(shù)的概念的發(fā)展─從代數(shù)原理到代數(shù)的整體結(jié)構(gòu)。
﹝15﹞集合與函數(shù)。
﹝16﹞幾何的情況。
﹝17﹞分析學(xué)。
﹝18﹞概率與統(tǒng)計。
﹝19﹞邏輯。
再加上一個附錄：皮亞杰學(xué)派對數(shù)學(xué)概念發(fā)展的研究。總篇幅達(dá)677頁。
如作者在序言中所說，“本書并非術(shù)學(xué)的方法論著作，即并非系統(tǒng)闡述某些教材應(yīng)當(dāng)如何教，也不是對題材的系統(tǒng)分析。我很少涉及依賴統(tǒng)計方法估的教學(xué)實驗，也不引用發(fā)展心理學(xué)或是學(xué)習(xí)心理學(xué)的實驗結(jié)果。????我的觀點大部分直接來源于教科書，教學(xué)設(shè)計，實際課程以及對個別兒童的觀察，而主要的間接來源是與教師的談話與討論。”
作者不愿引用各種數(shù)學(xué)教學(xué)的調(diào)查研究資料，因為“???他們不能回答基本的教育問題，應(yīng)當(dāng)教什么？教的目的是什么？以及教給什么人????”。作者認(rèn)為“真正的教育活動應(yīng)該是在忠誠的信念引導(dǎo)下，沿著正確的道路通向教育。教育科學(xué)首先應(yīng)當(dāng)是這個忠誠信念的合理證明。你可以稱之為哲學(xué)???調(diào)查研究只有在健康的教育哲學(xué)的土壤中才能成熟”。因而“本書最重要的是闡述一種數(shù)學(xué)教育哲學(xué)”。
作者在第一章中回顧了數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史，強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)發(fā)展的動力來自于實踐，“應(yīng)當(dāng)說，如果數(shù)學(xué)是無用的，它就不會存在”﹝P.16﹞。當(dāng)然不能否認(rèn)理論的作用。“數(shù)學(xué)總是跑在應(yīng)用的前頭，這是數(shù)學(xué)的發(fā)展道路─尋求各種思維的模式，而讓應(yīng)用者從中作出選擇”﹝P.8﹞。理論與實踐兩者必須更好地結(jié)合起來，那才能“以更透徹，更符合邏輯的方式來分析自然”﹝P.8﹞。從而促使“今天在極端理論與極端實際的數(shù)學(xué)現(xiàn)象之間，存在一個幾乎連續(xù)的過渡”﹝P.9﹞。
第二章作者論述了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特性表現(xiàn)在以下幾個方面：
1.“數(shù)學(xué)表示的再創(chuàng)造與形式化活動”﹝P.30﹞。“有意識地以語言作為一個精確表達(dá)的工具稱為形式化，???現(xiàn)代數(shù)學(xué)表現(xiàn)出一種強(qiáng)烈的結(jié)構(gòu)化趨勢，形式化就是一種方法”﹝P.29﹞。事實上形式體系已經(jīng)成了現(xiàn)代數(shù)學(xué)的標(biāo)志之一。
2.建立數(shù)學(xué)概念的方法，從典型的通過“外延描述的抽象化”，轉(zhuǎn)向?qū)崿F(xiàn)“公理系統(tǒng)抽象化”，特別是對“隱含定義的認(rèn)識是重要的一步，它已經(jīng)成為現(xiàn)代科學(xué)方法論的普遍范例。????這是在脫離亞里士多德﹝Aristotle﹞科學(xué)理論的道路上邁出的決定性的一步”﹝P.34﹞。
3.“在傳統(tǒng)領(lǐng)域之間界限的日趨消失，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特性之一”﹝P.42﹞，而幾何直觀卻在其間起著聯(lián)絡(luò)的作用。因為幾何直觀可以告訴我們什么是重要的、有趣的和容易進(jìn)入的。當(dāng)我們陷入問題、觀念、方法的困境中時，幾何可以拯救我們。借用康德﹝Kant﹞的一個說法：“沒有概念的直觀是無用的，沒有直觀的概念是盲目的”﹝P.42﹞。
4.“現(xiàn)代數(shù)學(xué)與傳統(tǒng)數(shù)學(xué)的區(qū)別就是強(qiáng)調(diào)概念成分還是強(qiáng)調(diào)算法成分”﹝P.44﹞。當(dāng)然，算法數(shù)學(xué)與概念數(shù)學(xué)﹝或思辨的數(shù)學(xué)﹞的關(guān)系是辯證的。“不能將它等同于心新和舊”﹝P.44﹞，“概念的噴發(fā)，沖破了僵化的算法外殼，???而每個概念的更新又包含著自身的算法萌芽─這就是數(shù)學(xué)發(fā)展的道路”﹝P.44﹞。
第三章是作者討論了傳統(tǒng)與教育的關(guān)系。作者指出，“人類歷史必然是一個前進(jìn)的歷史”﹝P.53﹞。只有突破了對傳統(tǒng)、對權(quán)威的迷信，才能充分發(fā)揮科學(xué)的創(chuàng)造性。“科學(xué)是一種活動，科學(xué)不可能從課堂上與書本中學(xué)到，科學(xué)是做出來的”﹝P.55﹞。因而學(xué)校的“教學(xué)必須由被動地聽發(fā)展成為主動地獲得”﹝P.57﹞，“我們的教學(xué)應(yīng)當(dāng)為青年創(chuàng)造機(jī)會，通過他們自己的活動來獲得文化遺產(chǎn)”﹝P.58﹞。而且教育中更重要的一個問題，不是教什么題材，而是“教給兒童更珍貴的東西。即如何掌握題材”﹝P.59﹞，因而“大多數(shù)學(xué)校需要重新組織數(shù)學(xué)，目的是使﹝學(xué)生﹞只能主動地學(xué)，而不能被動地學(xué)”﹝P.62﹞。
第四章圍繞數(shù)學(xué)教育的目的進(jìn)行了仔細(xì)的分析與研究。作者認(rèn)為數(shù)學(xué)教育的目的必須隨著時代而變化，數(shù)學(xué)教育的用處也必然受到社會條件的約束與限制，當(dāng)然也要與學(xué)生的接受能力相對應(yīng)。他特別探討了以下幾個方面：
1.體系 “以數(shù)學(xué)體系作為最終目的，那是為培養(yǎng)未來數(shù)學(xué)家的”﹝P.69﹞。“許多人必須學(xué)數(shù)學(xué)，其中少數(shù)人才會應(yīng)用一些相對復(fù)雜的數(shù)學(xué)，但即使從不用數(shù)學(xué)的人也應(yīng)當(dāng)學(xué)數(shù)學(xué)，因為他們需要數(shù)學(xué)作為人類生存的一個方面”﹝P.69﹞。這才是普通數(shù)學(xué)教育的目的。因此“真正重要的是所教的題材是否符合數(shù)學(xué)教學(xué)的整個體系，能否結(jié)合成一個整體”﹝P.67﹞。因為“歷史并不了解系統(tǒng)，而教育卻能夠且應(yīng)當(dāng)使之系統(tǒng)化”﹝P.72﹞。這里既要符合數(shù)學(xué)的體系，但又不能過于強(qiáng)調(diào)邏輯嚴(yán)密性，以免違反教學(xué)理念。
2.應(yīng)用 “不能忘記數(shù)學(xué)在社會中扮演的角色，從過去、現(xiàn)在一直到將來，教數(shù)學(xué)的教室不可能浮在半空中，而學(xué)數(shù)學(xué)的學(xué)生也必然是屬于社會的”﹝P.74﹞。因而不該一味追求現(xiàn)代數(shù)學(xué)中形式變換的花樣，而丟掉了數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用。為此應(yīng)該教給學(xué)生充滿著聯(lián)系的數(shù)學(xué)，“夸美紐斯﹝Comenius，j.A.﹞渴望人們學(xué)習(xí)的每件事情都應(yīng)當(dāng)是充滿著聯(lián)系的”﹝P.75﹞。這里不僅是數(shù)學(xué)內(nèi)在的聯(lián)系，更重要的是數(shù)學(xué)與外部的聯(lián)系，“應(yīng)當(dāng)在數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的接融點之間尋找聯(lián)系”﹝P.77﹞。
3.思維訓(xùn)練 “人們相信，數(shù)學(xué)是智力的磨刀石，是一種思維的訓(xùn)練”﹝P.80﹞。特別認(rèn)為“數(shù)學(xué)教學(xué)是邏輯思維的一種訓(xùn)練”，但究竟“是否存在思維的訓(xùn)練？數(shù)學(xué)是否是其中之一？甚至是最強(qiáng)有力的一種”﹝P.81﹞。人們很難回答這些問題，作者曾給大學(xué)生與中學(xué)生提出下列問題：
“(1)詩人中最偉大的畫家與畫家中最偉大的詩人，是否同一個人？
(2)詩人中最老的畫家和畫家中最老的詩人，是否同一個人？
(3)如果詩人中只有一個畫家，那么畫家中是否也只有一個詩人，他們是否同一個人？
(4)小鎮(zhèn)上有房子，房子里有桌子。對任意n=1,2,3,…..，下列斷言成立：如果某房子中有n條腿的桌子，那里就沒有多于n條腿的桌子。問以下命題是否成立：對n=1,2,3,…..，如果某房子中有n條腿的桌子那里就沒有少于n條腿的桌子。
(5)籃中有各種不同顏色和不同形狀的物體，試問籃中是否一定有兩件物體，其顏色和形狀都不同？“﹝P.86﹞
試驗結(jié)果是，在受過教育以后，對以上問題的看法、理解與回答都大有長進(jìn)。
4.篩選工具 “每個教師都堅信：一般說來，誰的數(shù)學(xué)學(xué)得好，那其它科目他也學(xué)得好”﹝P.82﹞。因而“作為一種智力篩選工具，數(shù)學(xué)也比其它學(xué)科﹝甚至智力測驗﹞更可信，也更容易使用”﹝P.82﹞。因為社會本身有著各種不同的需要，也有各種不同的層次，人們必須通過形形色色的入場考試；即使社會差異會逐漸消失，但社會總要對它的成員進(jìn)行各種挑選，以保證合理的社會分工；因此篩選工具是必須的，考試也是必須的。但如果說，“數(shù)學(xué)教學(xué)的目的就是為了考試”，“學(xué)生學(xué)習(xí)只是為了一個分?jǐn)?shù)，而教師的職責(zé)也只是在給分寬嚴(yán)之間作一個最佳選擇”，那就與數(shù)學(xué)教育的目的相距太遠(yuǎn)了。
5.解決問題 “數(shù)學(xué)通常會得到高度的評價，因為它是解決許多問題的工具”﹝P.94﹞。從日常生活中常見的數(shù)值計算，直到高精尖領(lǐng)域中的應(yīng)用，都可以選擇與施展數(shù)學(xué)的魅力。數(shù)學(xué)可以訓(xùn)練語言的表達(dá)，數(shù)學(xué)可以簡化問題，也能推廣問題使之一般化，因而數(shù)學(xué)可以從多個側(cè)面，給人們提供解決問題的手段、背景以及思維方法。“但是如果人們只會套公式，而從不親身體驗一下，數(shù)學(xué)可以成為解決問題的一種活動，那有怎么能做到這一點呢？”﹝P.95﹞
從第五章到第八章，作者提出了下列數(shù)學(xué)教學(xué)的基本原則：
1.“蘇格拉底方法”原則 “蘇格拉底方法仍然是或者說應(yīng)當(dāng)是教學(xué)基本原則之一。???如蘇格拉底自稱的，講師只是助產(chǎn)士，他把聽眾自己的思想表達(dá)出來，???這是辯證法，或者稱作思想實驗方法。???教師在頭腦中想象在教一群主動的學(xué)生，設(shè)想是如何應(yīng)付學(xué)生可能有的反映，???狹義的說，蘇格拉底所做的就是在教學(xué)過程中再創(chuàng)造或再發(fā)現(xiàn)所教的東西，學(xué)生感覺一切都是當(dāng)著學(xué)生的面發(fā)生的，而不是以教條形式灌輸?shù)摹！暴zP.100﹞參照知識發(fā)展的歷史，力求用發(fā)生的方法來教；特別反對按照某個特定的演譯體系，拋棄了分析過程，他將這種教學(xué)方法稱之為“違反教學(xué)理論的顛倒“﹝P.103﹞。
2.“再創(chuàng)造”原則 “夸美紐斯的教學(xué)原則是：教一個活動的最好方法是演示。???我想：學(xué)一個活動的最好方法是做。???重點從教轉(zhuǎn)向?qū)W，從教師的行為轉(zhuǎn)到學(xué)生的活動，從感覺效應(yīng)轉(zhuǎn)為運(yùn)動效應(yīng)”﹝P.110﹞。不應(yīng)該學(xué)習(xí)現(xiàn)成的數(shù)學(xué)，“學(xué)生應(yīng)當(dāng)通過再創(chuàng)造來學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，???這樣獲得的知識與能力才能更好地理解，而且能保持較長久的記憶”﹝P.118﹞。這個“再創(chuàng)造”原則應(yīng)該貫穿于數(shù)學(xué)教育整個體系之中，要把數(shù)學(xué)教育作為一個活動的過程來分析，要使學(xué)生在學(xué)習(xí)過程的不同層次中，始終處于積極、創(chuàng)造的狀態(tài)。
3.“數(shù)學(xué)化”原則 簡單地說，數(shù)學(xué)地組織現(xiàn)實世界的過程就是數(shù)學(xué)化。每個人有不同的“數(shù)學(xué)現(xiàn)實”世界，不一定限于客觀世界的具體事物，也可以包括個種層次的抽象的數(shù)學(xué)概念及規(guī)律。因而相應(yīng)地有不同層次的數(shù)學(xué)化。“毫無疑問，學(xué)生應(yīng)當(dāng)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)化；自然先在最低層次，對非數(shù)學(xué)事物進(jìn)行數(shù)學(xué)化﹝使之合乎數(shù)學(xué)精確性要求﹞以保證數(shù)學(xué)的應(yīng)用。接著還應(yīng)進(jìn)到下一層次，至少能對數(shù)學(xué)事物進(jìn)行局部組織。???應(yīng)當(dāng)懂得，沒有數(shù)學(xué)化就沒有數(shù)學(xué)，沒有公理化就沒有公理系。沒有形式化也就沒有形式體系。???因此數(shù)學(xué)教學(xué)必須通過數(shù)學(xué)化來進(jìn)行”﹝P.134﹞。
4.“嚴(yán)謹(jǐn)性”原則 “只有數(shù)學(xué)可以強(qiáng)加上一個有力的演譯結(jié)構(gòu)，從而不僅可以確定結(jié)果是否正確，還可以確定是否已經(jīng)正確地建立起來。這就是所謂數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn)性，也是數(shù)學(xué)的測量標(biāo)準(zhǔn)。而教數(shù)學(xué)也必須遵循這個標(biāo)準(zhǔn)”﹝P.147﹞。嚴(yán)謹(jǐn)性是相對的，必須根據(jù)具體的時代、具體的問題來作出判斷。“嚴(yán)謹(jǐn)性有不同的層次，每個題材都有相應(yīng)的嚴(yán)謹(jǐn)性層次。學(xué)生必須通過不同層次的學(xué)習(xí)來理解并獲得自己的嚴(yán)謹(jǐn)性”﹝P.150﹞。現(xiàn)成的數(shù)學(xué)與做出來的數(shù)學(xué)，兩者的嚴(yán)謹(jǐn)性是有區(qū)別的，同時我們還應(yīng)該從數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的關(guān)系來理解，我們不可能將數(shù)學(xué)禁閉在一個與現(xiàn)實完全隔離的“嚴(yán)謹(jǐn)”的防水艙內(nèi)。
在第九章與第十章中，作者聲稱“我并不認(rèn)為本書的實質(zhì)是為教師指定教學(xué)方法，???我的哲學(xué)仍然是與違反教學(xué)理論的學(xué)校教師做斗爭，特別反對純粹照本宣讀與教條主義觀點，完全忽視了數(shù)學(xué)教學(xué)的心理學(xué)前提與社會影響”﹝P.156﹞。從而認(rèn)為“要實現(xiàn)真正的現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育，必須以根本不同的方式來組織數(shù)學(xué)，???應(yīng)當(dāng)組成混合的學(xué)生小組，教師講解與學(xué)生活動相結(jié)合”﹝P.160﹞。當(dāng)然必須提供何適的教材，力求“使學(xué)生學(xué)會在學(xué)習(xí)過程中設(shè)計再創(chuàng)造教學(xué)的能力與方法”﹝P.161﹞。為此作者提出了“數(shù)學(xué)教師培訓(xùn)的最低要求：
1.使教師能自信地使用現(xiàn)代數(shù)學(xué)的基本方法。
2.提供為理解現(xiàn)代數(shù)學(xué)的結(jié)構(gòu)所必要的基本知識。
3.理解有關(guān)數(shù)學(xué)是如何應(yīng)用的某些見解。
4.初步了解數(shù)學(xué)家是如何進(jìn)行研究的。“﹝P.166﹞
當(dāng)然還“要考慮數(shù)學(xué)教師的教育學(xué)方面的培訓(xùn)，???教學(xué)也屬于通過做而學(xué)的活動，???現(xiàn)代的數(shù)學(xué)理論也應(yīng)當(dāng)再創(chuàng)造”﹝P.167﹞。
該書的后半部分，作者用大量篇幅就數(shù)學(xué)的各個領(lǐng)域進(jìn)行了較詳細(xì)的研討。以數(shù)的概念為例，可以有多種理解，“從內(nèi)容與形式兩方面，從方法論觀點，從發(fā)生的觀點和數(shù)學(xué)理論的觀點。???數(shù)的概念的客觀形成可以有四個不同的途徑：即作為計數(shù)的數(shù)﹝Counting number﹞、數(shù)量的數(shù)﹝Numerosity number﹞、測量的數(shù)﹝Measuring number﹞和計算的數(shù)﹝Reckoning number﹞”﹝P.170﹞。他主張“數(shù)軸應(yīng)當(dāng)從算術(shù)一開始就引入，至少應(yīng)較早使用，最初只標(biāo)出自然數(shù)，以后再逐漸填滿”﹝P.212﹞。并且認(rèn)為“將實數(shù)理解成十進(jìn)小數(shù)是最適當(dāng)?shù)慕虒W(xué)過程，???也是足夠嚴(yán)密的”﹝P.221﹞。至于數(shù)的擴(kuò)展則應(yīng)該根據(jù)實際的數(shù)學(xué)背景，由于某些運(yùn)算的需要，同時又要求保持一些通常的規(guī)律，采取這樣的直觀方式來進(jìn)行，而不宜采用等價類和商域等做法。
“我將數(shù)的概念的學(xué)習(xí)過程，區(qū)分為以下幾個階段：直觀的運(yùn)算，算法的運(yùn)算，代數(shù)的運(yùn)算，綜合的組織以及最后使之從屬于整個數(shù)學(xué)體系。這種階段并非時間的劃分；對于不同的概念，學(xué)生可以處于不同的階段，而對于同一概念，學(xué)生也可以同時處于兩個不同的階段”﹝P.242﹞。所謂直觀運(yùn)算就是指初學(xué)算術(shù)時應(yīng)使用具體材料作為教具，如算盤，這些材料還應(yīng)該是同類的、直觀的，甚至具有一定的結(jié)構(gòu)，如第納斯﹝Dienes，Z.﹞的單位立方體系統(tǒng)﹝10個，100個，1000個分別組成一維，二維，三維的圖形﹞，進(jìn)一步也可以用紙上的圖形代替實物對象，矩陣模式與數(shù)軸都可以作為形象化的工具，借助于數(shù)軸可將數(shù)解釋成為實體、坐標(biāo)和作為映射的算子。此外，各種圖象解釋與標(biāo)桿也都可以用作直觀的解決，但也必須注意直觀到適當(dāng)?shù)某潭龋瑸檗D(zhuǎn)向推理的代數(shù)體系作好過渡的準(zhǔn)備。
關(guān)于算術(shù)與代數(shù)的問題作者主張不應(yīng)該將兩者截然分開，“小學(xué)高年級的教師應(yīng)該將代數(shù)方法結(jié)合進(jìn)算術(shù)的教學(xué)中”﹝P.287﹞。同時還應(yīng)注意，“一個關(guān)鍵的問題與困難的問題”﹝P.288﹞，那就是防止“代數(shù)退化成為26個字母的無意義的游戲”﹝P.288﹞。新數(shù)學(xué)運(yùn)動中引入集和論的處理方法就犯了這個錯誤。作者還指出必須加強(qiáng)代數(shù)公式的教學(xué)，事實上這是一種獨特的語言，例如他認(rèn)為以﹝□+○﹞﹝□-○﹞=□^2-○^2來代替﹝a+b﹞﹝a-b﹞=a^2-b^2也許能使學(xué)生更容易理解作者提出“在學(xué)習(xí)過程中，首先是對于數(shù)進(jìn)行運(yùn)算，注意這些運(yùn)算所滿足的法則，將這些法則形成公式，根據(jù)局部的聯(lián)系建立局部的結(jié)構(gòu)，直到最終，將它們組成一個整體的演譯體系”﹝P.313﹞。至于具體的組織過程，來是強(qiáng)調(diào)應(yīng)該通過學(xué)生自己的親身體驗，獲得“做出來的”數(shù)學(xué)，而不是給以“現(xiàn)成的”數(shù)學(xué)，特別是考慮到數(shù)學(xué)與現(xiàn)實的密切聯(lián)系，決不可忽視關(guān)于對數(shù)與角在中學(xué)數(shù)學(xué)中的重要地位。
再以幾何為例，作者認(rèn)為“幾何不僅是演譯科學(xué)的范例，???也是蘇格拉底教學(xué)法與再創(chuàng)造學(xué)習(xí)法的最好材料。???因而對傳統(tǒng)幾何的沒落應(yīng)當(dāng)作進(jìn)一步的調(diào)查研究。”“什么是幾何？從高層次看，它以公理方式組織的一部分?jǐn)?shù)學(xué)，而從最低的最基本的層次看，它是對空間的理解、探索與征服”﹝P.402﹞。在現(xiàn)實空間中有許多問題：“為什么卷起來的紙不容易彎？月球表面的明暗界線是什么曲線？萬花筒的工作原理是什么？為什么鏡子只改變左右而不改變上下，如果不是站在鏡子前而是躺在鏡子前會產(chǎn)生什么情況？???”﹝P.404﹞。提出這些問題是要說明“重要的是緊密聯(lián)系實際地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，除此之外沒有其它途徑能保證數(shù)學(xué)的持久影響；因而如果從日常生活開始，以掌握物理空間為出發(fā)點，幾何就可以成為一種卓越的工具來教數(shù)學(xué)這一充滿著關(guān)系的科學(xué)”﹝P.405﹞。幾何與其它數(shù)學(xué)的區(qū)別在于：首先“幾何經(jīng)常被看作是一種思維訓(xùn)練，它與邏輯有密切關(guān)系形成演譯體系是幾何的特權(quán)”﹝P.406﹞；其次是幾何有實際應(yīng)用，“幾何是學(xué)習(xí)將現(xiàn)實數(shù)學(xué)化的最好機(jī)會之一，???借助于眼睛、手等各種感官所實現(xiàn)的空間形狀，是更為令人信服的”﹝P.407﹞。
作者認(rèn)為幾何的入門教學(xué)應(yīng)該始用“具體材料，???如折紙、剪紙、黏合、畫圖、油漆、測量、鋪路以及鑲嵌等，都可以組織成幾何的活動“﹝P.408﹞。以重復(fù)實驗幾何學(xué)中概念、性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過程，并且“具體材料的教學(xué)十分自然地必然從空間開始，???傳統(tǒng)幾何教學(xué)中，學(xué)生的空間想象力被平面幾何中太多太片面的練習(xí)所扼殺了”﹝P.408﹞。作者還介紹了兩個具體的試驗課程的內(nèi)容安排。當(dāng)然從直觀萌芽所獲得的籠統(tǒng)印象，還必須進(jìn)到演譯推理的高層次但這不能通過形式灌輸來強(qiáng)加給學(xué)生，同樣也應(yīng)該讓學(xué)生自己來發(fā)現(xiàn)，“好的幾何數(shù)學(xué)應(yīng)該使學(xué)生在學(xué)習(xí)一個題材的結(jié)構(gòu)的同時也學(xué)習(xí)什么是結(jié)構(gòu)化；在學(xué)習(xí)具體對象的概念的同時，也學(xué)習(xí)什么是概念化；在學(xué)習(xí)給對象下定義的同時，也學(xué)習(xí)什么是定義”﹝P.418﹞。
為了使幾何擺脫困境，作者題出了幾條途徑：一是“向線性代數(shù)靠攏，???開始就從解析幾何引入。這有很大的優(yōu)越性。可以是代數(shù)的完美的嚴(yán)密性自動轉(zhuǎn)入幾何中”﹝P.420﹞。二是“通過合理化，???學(xué)生在學(xué)習(xí)了局部的結(jié)構(gòu)化以后，還應(yīng)學(xué)習(xí)整體的結(jié)構(gòu)化，最終才割斷本體論的聯(lián)系”﹝P.451﹞。但決不是讓學(xué)生面對一個現(xiàn)成的公理系，而是應(yīng)該在現(xiàn)實的背景下，通過公理化的方法來掌握公理系。例如，“三角形各邊的垂直平分線交于一點”和“球極平面射影”都是局部結(jié)構(gòu)化的極好例子。而“定向與角的概念”剛涉及一個領(lǐng)域的結(jié)構(gòu)化。三是“借助于變換群，特別是從具體的反射、平移、旋轉(zhuǎn)這一運(yùn)動群出發(fā)的方式，最為有效”。
該書于1973年出版，對當(dāng)時的數(shù)學(xué)教學(xué)實踐作深入的剖析，既批判了新數(shù)學(xué)運(yùn)動的一些錯誤的傾向，也評論了某些心理學(xué)家的片面觀點；他力求從數(shù)學(xué)家的視角，按照數(shù)學(xué)本身發(fā)展的規(guī)律，來改造當(dāng)前的數(shù)學(xué)教學(xué)，使之既具有現(xiàn)代數(shù)學(xué)的特性，又無違背認(rèn)知發(fā)展規(guī)律與教學(xué)理論；既符合嚴(yán)密的形式邏輯演譯體系，又特別強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)與現(xiàn)實世界的密切聯(lián)系。但是教育的理想雖說是未來的現(xiàn)實，必竟與當(dāng)前的現(xiàn)實有很大的距離，要使數(shù)學(xué)教學(xué)過程真正來源于現(xiàn)實，通過數(shù)學(xué)化的途徑，并成為學(xué)生再創(chuàng)造的活動，那還是一個有待探索、研究和實踐的巨大工程。
三、《除草與播種─數(shù)學(xué)教育科學(xué)的前言》
《除草與播種─數(shù)學(xué)教育科學(xué)的前言》一書在開頭就聲稱數(shù)學(xué)教育尚未形成為科學(xué)，“一旦數(shù)學(xué)教育科學(xué)存在，就會有它應(yīng)有的前言，???而現(xiàn)在這一前言的作用，就在于加速數(shù)學(xué)教育科學(xué)的誕生”。全書共分四章，
其目錄是：
(1)什么是科學(xué)？
(2)關(guān)于教育。
(3)關(guān)于教育科學(xué)。
(4)數(shù)學(xué)教育科學(xué)。
總篇幅為304頁。
在“什么是科學(xué)”這一章中，作者指出“科學(xué)作為一種活動，它不是真理的寶藏，而是提出問題的一種方法”。科學(xué)必須滿足三個準(zhǔn)則：“相關(guān)性﹝relevance﹞、兼容性﹝consistency﹞和大眾性﹝publicity﹞”。“相關(guān)性可以反映定義、概念、理論、知識領(lǐng)域的特性，但就整體意義而言，更主要的是與現(xiàn)實的相關(guān)，而不是懸浮在半空中虛無飄渺的東西”。“兼容性不僅強(qiáng)調(diào)它作為一個邏輯封閉系統(tǒng)的側(cè)面，???它也可以作為是一種活動的性質(zhì)與模式”。“科學(xué)必須具有公開的性質(zhì)，真正的科學(xué)的特征之一就是大眾性，???對于學(xué)習(xí)科學(xué)和實踐科學(xué)的每個人來說都是開放的”﹝P.1﹞。根據(jù)這三條準(zhǔn)則，就可以將真正的科學(xué)與偽科學(xué)、非科學(xué)、技術(shù)以及信仰區(qū)分開來，因為它們是建立在不同的哲學(xué)基軸上的。
在“關(guān)于教育”這一章中，作者強(qiáng)調(diào)“教育依賴于人，依賴于社會，???實質(zhì)上教育需要一種哲學(xué)，那是信仰而不是科學(xué)”。所謂“受教育的同等權(quán)利，必須通過復(fù)雜的不同的體系來實現(xiàn)，例如掌握學(xué)習(xí)，???許多不同的體系往往忘記了學(xué)習(xí)的社會背景”。“我提倡混合的學(xué)習(xí)小組，我分析了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程，揭示了其中的層次，在某一層次做出來的數(shù)學(xué)就成為下一層次觀察的數(shù)學(xué)”。“教育的改革是社會的一個大的學(xué)習(xí)過程，???改革的第一個結(jié)果是課程，而改革的基本變化應(yīng)該反映在教師培訓(xùn)上，這一方涉及教材內(nèi)容與教學(xué)理念的結(jié)合，另一方面則強(qiáng)調(diào)教師與學(xué)生的課堂實踐與學(xué)習(xí)過程中的有意識觀察”。“而所有這些都是教育哲學(xué)的一部分”﹝P.33﹞。
在“關(guān)于教育科學(xué)”這一章中，作者提出“教育科學(xué)是否存在？”確實近幾年來建立了許多教育技術(shù)與教育理論，例如“教育目標(biāo)，它的形成、分類與測試”，“課程理論”，“民意測驗，如何以統(tǒng)計方法收集各種意見”，“評價、形成評價與診斷測試”等等。但這些脫離實際的抽象化理論“實質(zhì)上只是些空盒子，???這是由于將內(nèi)容與形式分隔開來的錯誤哲學(xué)所造成的”。尤其是近來常用“模型”和“數(shù)學(xué)模型”來說明教育理論，特別是統(tǒng)計常被應(yīng)用于教育技術(shù)之中，可是“教育中所應(yīng)用的數(shù)學(xué)，大多數(shù)是不相關(guān)的，甚至是錯的”。“教育是個廣闊的天地，???也確實需要相關(guān)的教育理論，???來訓(xùn)練未來的教師。”可需要提醒的是“任何教學(xué)理論只能是教特定題材的特定理論教學(xué)理論應(yīng)當(dāng)是學(xué)習(xí)理論的補(bǔ)充，學(xué)習(xí)應(yīng)當(dāng)作為一個過程來觀察和研究，它是一個個別的不連續(xù)的過程，而統(tǒng)計只能提供平均的學(xué)習(xí)過程”﹝P.77﹞。
在“數(shù)學(xué)教育科學(xué)”這一章中，作者一開始就明確“不存在數(shù)學(xué)教育科學(xué)，至少目前來說不存在，但有很多活動﹝數(shù)學(xué)教育工程﹞和源于經(jīng)驗的設(shè)想與解釋，可以用來形成數(shù)學(xué)教育科學(xué)”。例如，“作為研究工具的與言，學(xué)習(xí)情境，學(xué)習(xí)過程及其層次與不連續(xù)性，以及目的與完成的動機(jī)”。此外，還有“觀點的改變，背景的掌握，邏輯的轉(zhuǎn)化，以及整體到局部和從局部到整體的轉(zhuǎn)換，從質(zhì)到量和從量到質(zhì)的轉(zhuǎn)變等”。這些都通過相應(yīng)的范例來加以綜合與理解，例如概率論中涉及很多背景的掌握而幾何中出現(xiàn)更多的卻是觀點的改變。本章最后以比和比例這一數(shù)學(xué)概念的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)的一個例子作為數(shù)學(xué)教育研究的前提。
作為對數(shù)學(xué)教育科學(xué)的基軸理論的研究，本書作了廣泛而深入的討論，從科學(xué)、教育、教育科學(xué)，逐次進(jìn)到數(shù)學(xué)教育科學(xué)，分析了各自之間的區(qū)別、聯(lián)系，以及它們相應(yīng)的哲學(xué)基軸，特別強(qiáng)調(diào)了數(shù)學(xué)教育科學(xué)必須是從研究特定的數(shù)學(xué)內(nèi)容的數(shù)學(xué)理論出發(fā)的，而絕不是將一般的教育理論用之于特殊的數(shù)學(xué)領(lǐng)域，事實可能正好相反，正由于數(shù)學(xué)教育科學(xué)的發(fā)展，才給一般的教育科學(xué)提供了良好的開端。另一方面，作者還闡述了科學(xué)、教育、數(shù)學(xué)教育與社會、與人類文化之間的密切聯(lián)系，孤立地考慮問題是不足取的。我國當(dāng)前數(shù)學(xué)教育研究工作正在多方面、多角度地蓬勃發(fā)展，如何根據(jù)我國的國情，我國特有的歷史文化背景，以建設(shè)中國的數(shù)學(xué)教育科學(xué)，本書的一些觀點、材料，應(yīng)當(dāng)說是很可以作為借鑒的。
四、《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)》
《數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)》是一套新的數(shù)學(xué)教育叢書的第一本，是作者在前兩本書的基礎(chǔ)上，作了進(jìn)一步的發(fā)展，借用該叢書主編畢肖普﹝Alan J.Bishop﹞的話，“與前面兩本書比較，弗賴登塔爾在本書中對數(shù)學(xué)教育從本質(zhì)上提出了許多新的觀點，從而為廣大的數(shù)學(xué)教育工作者提供了進(jìn)行研究的豐富源泉，而這也正是編輯該叢書的目的”﹝編者序﹞。
眾所周知，數(shù)學(xué)是現(xiàn)實世界的抽象化，形形色色的數(shù)學(xué)概念都是各種具體情境的內(nèi)在共性的反映作者寫作本書就是要讓讀者回到數(shù)學(xué)概念所從中抽象出來的世界。
“數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)與數(shù)學(xué)觀念都是工具，人們用以來組織物理世界、社會世界與思維世界的各種現(xiàn)象。一個數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)或是數(shù)學(xué)觀念的現(xiàn)象學(xué)，就是對這些概念、結(jié)構(gòu)或觀念的描述，但這些描述是在這樣的背景下進(jìn)行的，即將它們放在所來自的現(xiàn)象的關(guān)系之中；這些現(xiàn)象可以擴(kuò)充到人類的學(xué)習(xí)過程，因而，當(dāng)我們的描述涉及到學(xué)習(xí)過程時，那就是教學(xué)現(xiàn)象學(xué)，它給教師明了道路，即學(xué)生應(yīng)當(dāng)從人類學(xué)習(xí)過程的哪個階段開始進(jìn)入”﹝作者的“回顧與前瞻”﹞。
這個現(xiàn)象的世界，部分在數(shù)學(xué)之外，部分在數(shù)學(xué)之內(nèi)；部分抽象，部分具體；部分是嚴(yán)密的邏輯思維推理，部分卻是直觀形象與直覺。本書的重點放在“思維對象與概念獲得”這一特性上。
“概念是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的骨架。在日常生活中，兒童知道什么是椅子，什么是食物，???但卻并沒有將椅子與食物的概念教給他們。數(shù)學(xué)應(yīng)該也沒有什么區(qū)別，兒童知道什么是數(shù)，什么是圓，???他們將其作為思維對象來掌握。并且比這些思維對象來進(jìn)行思維活動；當(dāng)然數(shù)與圓???的概念要比椅子與食物???的概念更為精確，更為清晰，也許這又成為一個理由，促使人們寧愿教數(shù)的概念而不愿教數(shù)，一般來說，人們寧愿教概念，而不愿教思維對象與思維活動，而這就是我所謂的‘違反教學(xué)理論的顛倒’的一個例子。”
“思維對象與思維活動的教學(xué)法范疇以及有意識地進(jìn)行概念化的開端，就是這一現(xiàn)象學(xué)的主要課題”﹝作者的“回顧與前瞻”﹞。
“以我的觀點，思維對象的構(gòu)成，必須在概念獲得之前，并且對概念獲得起很大影響。???讀者應(yīng)當(dāng)記住，我們將這些觀念首先看作是思維對象，其次才看作是概念，???在明確建立概念之前，如何運(yùn)用思維對象是一件夠重要的事情”﹝P.33﹞。
全書共分17章，其目錄為：
(1)長度作為一個例子。
(2)方法。
(3)集合。
(4)自然數(shù)。
(5)分?jǐn)?shù)。
(6)比和比例。
(7)結(jié)構(gòu)：特別是幾何結(jié)構(gòu)。
(8)放入幾何背景中。
(9)作為幾何背景的拓樸學(xué)。
(10)地形測量的背景。
(11)圖形與構(gòu)圖。
(12)幾何映射。
(13)用幾何來測量。
(14)幾何測量學(xué)。
(15)負(fù)數(shù)與有向量。
(16)代數(shù)語言。
(17)函數(shù)。
總篇幅達(dá)578頁。
書中對初等數(shù)學(xué)的主要概念，都作了仔細(xì)的解剖、分析與探索，并且從數(shù)學(xué)的角度與現(xiàn)象學(xué)的角度進(jìn)行了研究，作者試圖通過詳盡的現(xiàn)象學(xué)分析，從中探索思維對象是如何構(gòu)成的，數(shù)學(xué)概念又是如何獲得的，找出其發(fā)展過成與規(guī)律，以此作為數(shù)學(xué)教育的依據(jù)。所以本書實質(zhì)上是數(shù)學(xué)、心理學(xué)與數(shù)學(xué)教育學(xué)三方面的緊密結(jié)合，作者更多地從數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的身刻背景，來探索人類認(rèn)知過程，特別是教學(xué)過程中，概念形成與獲得的規(guī)律，特別指出了心理學(xué)研究中的缺陷。
“據(jù)我所知，所有這類心理學(xué)研究都存在一個基本缺陷：在研究﹝某個年齡的﹞數(shù)學(xué)獲得時，不作任何現(xiàn)象學(xué)的分析，就以某種方式假定了有官數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的存在，因而結(jié)果獲得的往往是膚淺的甚至是錯誤的理解。另一方面也不作任何教學(xué)現(xiàn)象學(xué)的分析，因而這類研究往往成為一個個孤立的鏡頭，而不是作為整個發(fā)展過程中的各個階段”﹝P.10﹞。
就以分?jǐn)?shù)為例，人們在日常生活中就遇到很多：“一半那么長”，“輪子轉(zhuǎn)動了二又三分之一圈”，???，這就產(chǎn)生了分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)可以看作是一個“分割者﹝fracturer﹞”，它將一個整體分割成部分這種分割也許是“可逆的、不可逆的，或者只是象征性的”，它的分割過程可以是“具體實現(xiàn)的，親身體驗的，眼睛看到的或是感覺到的，甚至是想象的”，在這方面可以舉出各種各樣的現(xiàn)象作為例子，可是“有些學(xué)生在學(xué)習(xí)了一、兩年的分?jǐn)?shù)之后，雖然能熟練運(yùn)算，但對分?jǐn)?shù)是什么，以及利用分?jǐn)?shù)能做些什么，都毫無概念，???，我認(rèn)為這種數(shù)學(xué)的失敗，很大程度上是由于數(shù)學(xué)現(xiàn)象學(xué)的貧乏所致”﹝P.144﹞。
分?jǐn)?shù)有可以看作是一個“比較者﹝comparer﹞”，這種比較可以是“直接地或是間接地”，所比較的現(xiàn)象可以是“具體可觸摸的或是想象的，甚至是思維中的”，例如，“街道寬度是人行道寬度的
“為了強(qiáng)調(diào)活動與狀態(tài)，分?jǐn)?shù)又可以看作是一個“運(yùn)算子﹝operator﹞或是一種關(guān)系﹝relation﹞”，還可進(jìn)一步將分?jǐn)?shù)看作是“變換子﹝transformer﹞”，“測量子﹝measurer﹞”，分?jǐn)?shù)從“最初作用于具體的對象，???接著忽略具體對象，而作用于對象所相應(yīng)的量值。???最終，分?jǐn)?shù)運(yùn)算子在純數(shù)域上活動”﹝P.149﹞。
對分?jǐn)?shù)運(yùn)算的數(shù)學(xué)，作者建議從具體例子出發(fā)，比如，3個人分8瓶啤酒，先將整瓶的分，再將整瓶分成3份，于是最初得到的應(yīng)該是，最后才得出 
。
“目的是將加法、減法、序關(guān)系從自然數(shù)集N同構(gòu)地轉(zhuǎn)換到集 上 
。???這里可以借助于列表
同時可以練習(xí)分?jǐn)?shù)化簡。這些表又可以再通過數(shù)軸來形象化，只要將對影點連接起來﹝如圖1﹞。
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乘法可以作為重復(fù)相加，除法可以通過例子，8瓶啤酒分成3組，每一組又再分給2個人，這可以用樹形模型來形象表示﹝如圖2﹞。
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這里目的是將加法、減法、序從集 轉(zhuǎn)換到集 ，并且將同構(gòu) 理解
為兩個同構(gòu)之積”﹝P.161﹞。
相對于數(shù)量關(guān)系而言，思維對象在空間形式中更起作用。
“用3與5來代表任意自然數(shù)并不恰當(dāng)，而它們的和與積更不能代表任意自然數(shù)對的運(yùn)算。與此相反，每個三角形只要不是太特殊，都可以代表一般三角形，每一對線段都可以代表任意的線段對，用以表明兩個長度的和與積是什么。我們可以指出什么是平行四邊形、菱形與正方形，什么是對角線，以及對角線互相平分、互相垂直與相等是什么意思。只要引入適當(dāng)?shù)拿~，并用例子來解釋這些名詞，而不必用概念來困擾自己，我們可以對幾何領(lǐng)域進(jìn)行廣泛的探索，而不必形成概念，直到瓜熟蒂落之時，概念自會脫口而出。”﹝P.226﹞
在自然環(huán)境與日常生活中，人們很早就形成了像直線性─樹干與四肢，平面性─天花板與墻壁，圓─太陽與地平線，以及球、圓柱、正方體等很多幾何中的思維對象。
“盡管非形式的幾何教育開始得很早，形式的幾何教育卻開始得很遲，???思維對象作為一個理想的工具，常被教育學(xué)、心理學(xué)所忽視。或者說，人們不顧思維對象與概念之間的距離，將兩者等同起來，混淆在一起，而這樣做法對兩者的理解與掌握都不利”﹝P.228﹞。
總之要真正掌握與理解有關(guān)幾何的背景，必須“通過對思維對象與思維過程的認(rèn)知，分類，具體地再現(xiàn)，命名以及思維地再現(xiàn)，并且要使自己能意識到這些活動，還能描述這些活動。而其中重要的一點是能夠進(jìn)行自然的、人工的或是制作的再現(xiàn)，能夠提出典型的例子，并使之明確化”﹝P.248﹞。
數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的教學(xué)現(xiàn)象學(xué)可以理解成為在數(shù)學(xué)教育領(lǐng)域中提出的一種新觀點，其目的還是圍繞著數(shù)學(xué)必須源于現(xiàn)實、寓于現(xiàn)實并用于現(xiàn)實這一宗旨，不能忘了數(shù)學(xué)的“本”，在書中，作者對數(shù)學(xué)發(fā)生發(fā)展的事實、過程作了詳細(xì)的探究與精辟的分析，從最原始的零星、片斷的感覺，模糊而籠統(tǒng)的印象，豐富多采的具體直觀形象，直到最終形成抽象的形式體系，嚴(yán)格的邏輯演譯推理，在各個不同水平的現(xiàn)象學(xué)基礎(chǔ)上，進(jìn)行著各種不同水平的數(shù)學(xué)化，通過不斷的反思，在人們意識中建立起各種不同階段的思維對象，隨著認(rèn)知過程的不斷深入，對數(shù)學(xué)概念掌握獲得也經(jīng)歷著一個不斷發(fā)展不斷提高的過程。
“利用三腳形、平形四邊形、菱形或正方形這些幾何圖形，可以順利地組織有關(guān)輪廓線的現(xiàn)象世界；利用數(shù)可以組織有關(guān)量的現(xiàn)象世界，在更高的水平上，幾何圖形的現(xiàn)象可以用幾何作圖與證明來組織，而‘?dāng)?shù)’的現(xiàn)象又可以用十進(jìn)制來組織。數(shù)學(xué)就是這樣，通過不斷的抽象化，將類似的數(shù)學(xué)現(xiàn)象又歸結(jié)為新的數(shù)學(xué)概念─如群、域、拓樸空間、演譯、歸納等等，一直達(dá)到最高水平。”﹝P.28﹞
應(yīng)該說，對現(xiàn)象學(xué)問題的討論，本書還只是在大量數(shù)據(jù)積累的基礎(chǔ)上，從一個新的視角作了一種嘗試，當(dāng)然這是一個良好的開端，書中有著作者所特具的那種分析的思考，洞察的眼光，對我國數(shù)學(xué)教育理論的研究會有大的啟發(fā)，可以開闊我們的思路與眼界，更進(jìn)一步體會數(shù)學(xué)教育的研究該是一門多源泉、多側(cè)面的邊緣科學(xué)，必須將它放入更廣的背景之中。同時也應(yīng)看到本書并不是作為一門科學(xué)的總結(jié)，它在很多方面是并不完善的，事實上，數(shù)學(xué)本身也從來不是完全的，數(shù)學(xué)觀念的更新不斷地改變著數(shù)學(xué)教育的舊觀念，因而對有些問題的分析與探討也可能不太好捉摸與理解，甚至不一定能領(lǐng)會作者的原意，但也正由于此，很多問題、很多現(xiàn)象以及很多觀點就有待于我們更好地思索，更進(jìn)一步地探究。在密切聯(lián)系現(xiàn)實，密切結(jié)合數(shù)學(xué)的過程中，數(shù)學(xué)教育學(xué)的建立還有待于我們的繼續(xù)不斷的努力。如果將本書作為一杯飲料的話，它的一半可能是空的，另一半是滿的，它包含有美味的飲料，但更留有足夠的空缺，等待著人們?nèi)ミM(jìn)一步充實。對有志于數(shù)學(xué)教育研究的人而言，這是一本 不可多得的必要參考書。
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