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數學中國
///編輯：余弟
1.1 當今形勢
1.2 三個層次
1.3 希臘文化小結
2.1 素質教育統選課的特點
2.2 教學的指導思想
2.3 留心三個方面
3.1 實現四結合
3.2 培養四種本領
3.3 數學的教育價值
4.1 數學與西方宗教
4.2 歐幾里得幾何的影響
4.3 數學與音樂
詩人對宇宙人生，須入乎其內，又須出乎其外。入乎其內，故能寫之，出乎其外，故能觀之，入乎其內，故有生氣，出乎其外，故有高致。
——王國維《人間詞話》
當今形勢
二次世界大戰以后，數學與社會的關系發生了根本性的變化。數學已經深入到從自然科學到社會科學的各個領域。著名數學家A.Kaplan說：“由于最近20年的進步，社會科學的許多領域已經發展到不懂數學的人望塵莫及的階段。”A.N.Rao更指出，一個國家的科學的進步可以用它消耗的數學來度量。70年代末，美國國家研究委員會正式提出，美國的掃盲任務已轉變為掃數學盲。1989年，美國國家研究委員會發表《人人關心數學教育的未來》一書，書中重點強調：“我們正處在國家由于數學知識而變得在經濟上和種族上都被分裂的危險之中。”并解釋道：“...除了經濟以外，對數學無知的社會和政治后果給美國民主政治的生存提出了驚恐的信號。因為數學掌握著我們的基于信息的社會的領導能力的關鍵，具有數學讀寫能力的人與不具有這種能力的人之間的差距越來越大，從種族和經濟的范圍上，其程度是驚人地一致。我們冒著變成一個分裂的國家的危險，其中數學知識支持著多產的、技術強大的精英階層，而受贍養著、半文盲的成年人、不相稱的西班牙人和黑人，卻發現他們遠遠不具備經濟和政治的能力。這必須糾正過來，否則沒有數學基本能力的人和文盲將迫使美國崩潰。”
我們知道，語言的讀寫能力是非常重要的。一個文盲是沒有讀寫能力的，或者只會寫自己的名字。他很難在社會上找到重要的工作。現在數學的讀寫能力，也就是量的讀寫能力正在提到我們的眼前，現代社會的許多信息是用量的方式提供的；因而作為一個現代人，用量的方式去思維，去推理和判斷成為一種基本能力。1999年美國出版了一本教材名叫“應用與理解數學”在此書的第三頁列出了一張就業表，其中包含兩種能力：英語與數學(表中只摘錄了其中一部分)。
整個人類文明的歷史就像長江的波浪一樣，一浪高過一浪，滾滾向前。科學巨人們站在時代的潮頭，以他們的勇氣、智慧和勤奮把人類的文明從一個高潮推向另一個高潮。我們認為，整個人類文明可以分為三個鮮明的層次。
1) 以鋤頭為代表的農耕文明；
2) 以大機器流水線作業為代表的工業文明；
3）以計算機為代表的信息文明。
數學在這三個文明中都是深層次的動力，其作用一次比一次明顯。
數學在人類文明中一直是一種主要的文化力量。數學不僅在科學推理中具有重要的價值，在科學研究中起著核心的作用，在工程設計中必不可少。而且，在西方，數學決定了大部分哲學思想的內容和研究方法，摧毀和構造了諸多宗教教義，為政治學和經濟學提供了依據，塑造了眾多流派的繪畫、音樂、建筑和文學風格，創立了邏輯學。作為理性的化身，數學已經滲透到以前由權威、習慣、風俗所統治的領域，并成為其思想和行動的指南。
人類歷史上的每一個重大事件的背后都有數學的身影：哥白尼的日心說，牛頓的萬有引力定律，無線電波的發現，三權分立的政治結構，一夫一妻的婚姻制度，愛因斯坦的相對論，孟德爾的遺傳學，巴貝奇的計算機，馬爾薩斯的人口論，達爾文的進化論，達·芬奇的繪畫，巴赫的12平均率，晶體結構的確定，雙螺旋疑結的打開等都與數學思想有密切聯系。
但是，要說清楚數學的中心作用，必須從根談起，必須從古希臘談起。
古希臘對數學的主要貢獻是，
第一，對自然哲學的貢獻。它留給我們一個堅強的信念：自然數是萬物之母，即宇宙規律的核心是數學。這個信念鼓舞人們將宇宙間一切現象的終極原因找出來，并將它數量化。
第二，對數學科學的貢獻。他們將數和形抽象化，并堅持演繹證明。這樣，數學科學誕生了。并由此它孕育了一種理性精神，這種精神現在已經滲透到人類知識的一切領域。
第三，對數學內容的貢獻。主要表現在以下三個方面：1)無理數的誕生引出了第一次數學危機，數學由此走上了公理化的道路。對數學的長遠發展產生了深刻的影響。2)它給出一個樣板——歐幾里得幾何。這個樣板的光輝照亮了人類文化的每個角落；3)它研究了圓錐曲線，為日后天文學的研究和拋射體的研究奠定了基礎。
素質課的教學與通常數學課的教學有何不同？
首先：教學對象的差異大大地擴大了，學生來自全校不同的系，不同的年級，甚至還有研究生，追求不同，基礎差異空前地大。
其次，教學內容的多元化。不再是單科講授，對教師的要求提高了。
第三，必須考慮貫通教育。統選課必須考慮到從中學到大學的過渡，從專業教育到素質教育的過渡。
因而對素質教育統選課的教學內容，教學方法，教學規律應予探討。
素質教育課在文化這一更加廣闊的背景下討論數學的發展，數學的作用以及數學的價值，從歷史的文化的和哲學的高度鳥瞰數學的全貌。
首先是歷史的。如果我們不知道我們從哪里來，那么我們也就不知道到哪里去。而且，“一門科學的歷史是那門科學中最寶貴的一部分，因為科學只能給我們知識，而歷史卻能給我們智慧”。所以我們要講一點歷史。并且，將力量集中在劃時代學科的誕生與重要概念的發展上，考察數學科學的演變，并給出評價與展望，而不去過多地涉及細節。
其次，我們要講述數學與各種文化的交互影響，從中認識到數學是理解當今世界的一把大鑰匙，任何學科都離不開它。并將闡述數學與人文科學的聯系。因為目前這方面的論述比較少。同時也講述其他科學對數學發展的影響。
第三是哲學的。我們要貫穿一種探索精神，研究治學之道。我們知道，正確的思考比正確的結論更重要。通過素質課，我們和學生一起研究如何構建自己的知識結構。
素質課與一般課確有差別，我們要注意到下面提到的三個層面，處理好這一對矛盾，追求真善美。
2.3.1 三個層面
數學有三個層面：作為理論思維的數學；作為技術應用的數學；作為文化修養的數學。這三個層次對不同的人有不同的含義和不同的用場。從事數學研究的人，以理論層面為主，強調歸納與演繹。從事工程的人以技術層面為主，強調應用與計算。從事人文科學的人以文化層面為主，強調數學與其他學科的聯系，強調數學在人類文明中的作用。
2.3.2 知識與智慧
教育的本質是培養學生運用知識的藝術：教育的中心問題是如何使知識保持活力，使學生在知識增加的同時，智力獲得同步增長。這就是古人講的“積學以儲寶，酌理以富才”。教師應當是思想活躍的“活人”，而不是被書本牽著走的機器。傳授知識是課程的目標之一，但課程還有更重要的目標——開發智力，增加智慧。沒有知識作基礎，人不可能聰明；但有很多知識也可以不聰明，智慧是掌握知識的方法.教育與工廠不同，工廠處理死的物質，教育是開發人的心智。懷特海說：“把人當作工具是教育理論中最致命、最危險、最錯誤的概念之一。”
2.3.3 科學、應用和藝術——真善美
一個完整的素質教育統選課應包含三個方面：科學、應用和藝術。科學在于求真，培養學生追求真理的勇氣，求實的精神和嚴密的邏輯思維能力和創新的能力。應用在于培養學生活用知識的能力，使他們能在自己的專業中使用數學的思想和方法，掌握量的思維方式。藝術的作用在于培養學生的想象力、審美力和創造力，并使學生擁有豐富的個性。
3.1.1 歷史與邏輯相結合
數學的歷史發展與本身的邏輯體系不是一回事。例如，微積分的講授順序是：實數——極限—— 微商 —— 積分。這與微積分的發展史恰恰相反，講清這對矛盾的關系，有助于理解數學的本質。
3.1.2 數與形相結合
數學的兩大主干是幾何與代數，提供了兩種不同的思維方式，其特點為
幾何：空間形式的科學，視覺思維占主導，培養直覺能力，培養邏輯推理能力，培養洞察力；
代數：數量關系的科學，有序思維占主導，培養符號運算能力。
認清幾何與代數的基本特征對學好以后的課會有很大幫助.講數學課，應當將數和形結合起來，使兩種思維的優點都能發揮出來。
關于數和形的關系，華羅庚先生寫過一首詞：
數與形，本是相倚依，焉能分作兩邊飛。
數缺形時少知覺，形少數時難入微。
數形結合百般好，隔離分家萬事非。
切莫忘，幾何代數統一體，
永遠聯系，切莫分離。
例1. 自然數的平方和
由圖1，數底邊的點子數和垂直邊的點子數，得到
由此可算出
由此可算出
寄韜光禪師
白居易
一山門作兩山門，兩寺原從一寺分。
東澗水流西澗水，南山云起北山云。
前臺花發后臺見，上界鐘聲下界聞。
遙想吾師行道處，天香桂子落紛紛。
3.1.3 理論與應用相結合
課上既講理論又講應用，要求學生既學理論又自己找應用。我們增加了數學與人文科學的結合，數學與藝術的結合，因為這方面的應用過去講得少。例如，在課上我們介紹了數學與西方政治，透視畫與射影幾何，音樂之聲與傅立葉分析等有關應用，學生對這些內容十分感興趣。課后學生結合自己的專業寫出了很好的論文：將你的心靈數字化(心理系)：數學在語言學中的應用(英文系)，數學分析在國際關系中的應用(國際關系學院)；地圖、數學、數字地球(地球與空間科學學院)等。
例3 自然數的平方和。
先讓我們來構筑這樣的一個點陣：
在距原點O長度為1處放置1個單位質量的質點，在長度為2處放置2個單位質量的質點……在距原點長度為n處放置n個單位質量的質點。則該點陣相對于原點的重力矩為
又因為三角形的重心在底邊所對應的中線上，且距頂點的距離為中線長度的2/3。所以上圖所示的三角形點陣的重心距原點的水平距離為
，
，
即
3.1.4 科學結論與方法論相結合
具體到數學上，科學結論就是定理，科學方法就是怎樣發現定理，怎樣證明定理，怎樣理解定理，怎樣推廣定理和怎樣應用定理。證明定理主要用演繹法。發現定理和推廣定理主要用到歸納和類比。將科學結論與方法相結合起來才會使學生建立完整的知識結構。
3.2.1 以簡馭繁
我們主要講笛卡兒的方法。在科學史上做出創造性工作的科學家很多，但是，他們的創造性工作是如何完成的呢？如何做就能得到創造性的成果呢？迄今為止，對這些問題進行過深刻地自我反省，并將自己的觀察結果留給后人的情況幾乎沒有。笛卡兒對這些問題的自我考察作為非常珍貴的資料保存了下來。
笛卡兒是近代思想的開山祖師，他所處的時代正是近代科學革命的開始，是一個涉及到方法的偉大時期，在這個時代，人們認為，發展知識的原理和程序比智慧和洞察力更重要。方法容易使人掌握，而且一旦掌握了方法，任何人都可以作出發現或找到新的真理。這樣，真理的發現不再屬于具有特殊才能或超常智慧的人們，笛卡兒在介紹他的方法時說：“我從來不相信我的腦子在任何方面比普通人更完善。”
他列出四條原則。這四條是最先完整表達的近代科學的思想方法。其大意是：
1)只承認完全明晰清楚，不容懷疑的事物為真實；
2)分析困難對象到足夠求解的小單位；
3)從最簡單、最易懂的對象開始，依照先后次序，一步一步地達到更為復雜的對象；
4)列舉一切可能，一個不能漏過。
這四大原則對研究任何一門學科都有不容忽視的指導作用。笛卡兒一針見血地指出：“不可以從龐大暖昧的事物中，只可以從最容易碰見的容易事物中演繹出最隱秘的真知本身”。他還說：“當我們運用心靈的目光的時候，正是把它同眼睛加以比較的，因為想一眼盡收多個對象的人是什么也看不清楚的，同樣，誰要是習慣用一次思維行動同時注意多個事物，其心靈也是混亂的。”所以當我們進行一項科學研究時，必須首先明確我們的目標，然后把研究對象分成若干環環相扣的簡單事物，在理性之光的指引下，找到這些細分小單位的由簡至繁的順序，最后從最直觀，最簡單的對象入手，依照一條條理清晰的道路直搗真理之本蒂。總之，笛卡兒給出一條由簡入繁的路，告訴我們如何以簡馭繁.用老子的話總結，就是“天下之難作于易，天下之大作于細”。
3.2.2 審同辯異，即同中觀異，異中觀同
異中觀同就是抓住本質，抓住共性.領域不管相隔多遠，外表有多大不同，實質可能是一樣的。實質認的越清楚，作出新發明的可能就越大。例如，龐加萊對Fuchs群的研究，高斯對數論的研究。最近的例子是，1998年8月號的《科學的美國人》刊登了阿德爾曼的一篇文章《讓DNA作計算》。
阿德爾曼寫道：“我正躺著嘆服于這個令人驚奇的酶，并且突然為它們與圖靈發明的機器之相似而大為震動”。想到這一點使他“徹夜難眠，想辦法讓DNA作計算。”這就是DNA計算機的發明。
另一方面是同中觀異。恩格斯說：“從不同觀點觀察同一對象···殆已成為馬克思的習慣。”法國雕塑家羅丹說：“所謂大師就是這樣的人。人們用自己的眼睛去看別人見過的東西，在別人司空見慣的東西上能夠發現出美來。”尼采說：“獨創性——并不是首次觀察某種新事物，而是把舊的、很早就已知的、或者人人都視而不見的事物當作新事物觀察。這才證明是真正有獨創性的頭腦。”所以必須訓練自己的觀察力和對事物的敏感度，否則只能停留在常人水平。例如，對方程式
畢達哥拉斯：面積關系。在直角三角形上，兩直角邊上的正方形的面積之和等于斜邊上正方形的面積。
費馬：不定方程。數組3，4，5和5，12，13都滿足此方程。
笛卡兒：二次曲面。
3.2.3 判美析理
這四個字取自莊子的“判天地之美，析萬物之理”。
析理。講析理一要講好定理，二要分析概念。前面講了定理，這里講概念。講概念除了講一個概念的內涵和外延外，如果必要，還應該講一點概念史。例如，在解釋函數定義時(即講函數的外延)常使用狄里赫勒函數。這個函數一無圖形，二無公式。它的意義何在?這個函數恰恰是從古典分析到現代分析的轉折點。在此以前，數學家發現或創造函數是為了研究客觀世界，狄里赫勒函數不是，它不反映任何客觀規律。這是學生在學微積分時遇到的第一個怪函數，怪在什么地方？為什么要研究它？把這些問題說清楚了，學生對函數概念的本質，乃至數學的本質都會有新的理解。
這里順便提提Atiyah給數學下的一個定義：數學是一門藝術，是一門發展概念和技巧以使人們更為輕快地前進，從而避免蠻力計算的藝術。
判美。析理講好了，判美自然就出來了。數學理論體現了真與美的結合。希臘箴言說，美是真理的光輝。因而追求美就是追求真。著名物理學家海森堡說：“當大自然把我們引向一個前所未見的和異常美麗的數學形式時，我們不得不相信它們是真的，它們揭示了大自然的奧秘。”著名數學家魏爾說：“我的工作總是盡力把真和美統一起來，但當我必須在兩者中挑選一個時，我通常選擇美。”美常常是科學研究的第一標準。
3.2.4 鑒賞力
鑒別真與假，好與壞，美與丑，重要與不重要，基本與非基本，非常重要。有鑒別力的學生會區分主次，自然學得好。鑒賞力可以在教學過程中逐漸加以培養。如何培養？前面幾條都起作用。在數學課程的講述中，加強“點評”。使學生
1)理解數學的概念和原理；
2)理解數學的探究過程；
3)理解數學與一般文化的關系；
4)理解數學的用場。
弄花香滿衣，點評得好，鑒賞力就在其中了。
首先，數學的抽象性幫助我們抓住事物的共性和本質。例如，建立數學模型的過程就是一個科學抽象的過程。它要求人們善于把問題中的次要因素、次要關系、次要過程先撇在一邊，抽出主要因素、主要關系和主要過程，而后化為一個數學問題。這種方法可以用于數學以外。
此外，數學的抽象性使得數學問題的解決伴隨著困難。在解決數學問題的過程中，使學生體驗到挫折和失敗，而這正是砥礪意志打磨心理品質的絕好時機。愈挫愈奮，百折不撓的良好心理素質不會在溫室中形成。如果學生在學校里沒有嘗盡為求解問題而奮斗的喜怒哀樂，那么數學教育就在一個重要的地方失敗了。
其次，數學賦予知識以邏輯的嚴密性和結論的可靠性。愛因斯坦說：“為什么數學比其它一切科學受到特殊的尊重？一個理由是，它的命題是絕對可靠的和無可爭辯的，而其它一切科學的命題在某種程度上都是可爭辯的，并且經常處于被新發現的事物推翻的危險之中。···數學之所以有高聲譽，還有一個理由，那就是數學給精密自然科學以某種程度的可靠性，沒有數學，這些科學是達不到這種可靠性的。”
數學的嚴密性和精確性可以使學生在將來的工作中減少隨意性。英國律師至今要在大學中學習許多數學知識，并不是律師工作要多少數學，而是出于這樣一種考慮：經過嚴格的數學訓練可以使人養成一種獨立思考而又客觀公正的辦事風格和嚴謹的學術品格。數學教育是培養學生誠信觀念的重要渠道之一。在數學課上形成的誠信觀是持久的，根深蒂固的；前蘇聯的數學家辛欽說：“數學教學一定會慢慢地培養青年人樹立起一系列具有道德色彩的特性，這種特性中包括正直和誠實。”
再次，數學是思想的體操。進行數學推導和演算是鍛煉思維的智力操。這種鍛煉能夠增強思維本領，提高抽象能力、邏輯推理能力和辨證思維能力，培養思維的靈活性和批判性。思維的靈活性表現在不受思維定式的束縛，能迅速地調整思維方向，善于從舊的或傳統的思維軌道上跳出來，另辟蹊徑。數學中的一題多解是培養思維靈活性的有效途徑。思維的批判性指，對論證和解答提出自己的看法。數學中常用的反證法和構造反例是思維批判性的具體表現。
數學不僅僅是一種工具，它更是一個人必備的素養。它會影響一個人的言行、思維方式等各個方面。一個人，如果他不是以數學為終生職業，那么他的數學素養并不只表現在他能解多難的題，解題有多快，數學能考多少分，關鍵在于他是否真正領會了數學的思想，數學的精神，是否將這些思想融會到他的日常生活和言行中去。日本的米山國藏說：“我搞了多年的數學教育，發現學生們在初中、高中接受的數學知識因畢業進入了社會后，幾乎沒有什么機會應用這些作為知識的數學，所以通常是出校門不到一、兩年就很快忘掉了。然而，不管他們從事什么業務工作，惟有深深銘刻于頭腦中的數學精神，數學的思維方法、研究方法和著眼點等，都隨時隨地發生作用，使他們受益終生。”
數學還有另外的作用。數學家狄爾曼說：“數學能集中、強化人們的注意力，能夠給人以發明創造的精細和謹慎的謙虛精神，能夠激發人們追求真理的勇氣和信心，···數學更能鍛煉和發揮人們獨立工作精神。.”
N.布特勒說：“現代數學，這個最令人驚嘆的智力創造，已經使人類心靈的目光穿過無限的時間，使人類心靈的手延伸到了無邊無際的空間。”
數學已成為現代人的基本素養。
數學與西方宗教
從古希臘起，數學成為人類三種信仰的基石。
首先，宇宙的根本規律在數學。用畢達哥拉斯的話，就是萬物皆數也。
其次，世界上存在嚴格的真理，它們是理性的產物，是嚴密邏輯的結果，它們放之四海而皆準。勾股定理已經兩千多年了，它依然如新。但是其他學科如物理、化學、生物等，它們的結論經常處于被推翻的危險之中。世界上存在永恒的東西。數學的對象，例如數，必然是永恒的，不在時間之內。事實上，古人對數“2”的理解與今人的理解沒有什么差異。
第三，存在一個超感覺的可知的世界。幾何學討論的嚴格的圓在現實世界上是不存在的。不管我們多么謹慎地使用圓規，畫出的圓總有一些不完備和不規則的地方。這就告訴我們，一切嚴格的推理都只能應用于與可感覺的對象相對立的思想的對象。當數學家證明一個三角形的命題時，它所涉及的不是正在談論的畫在某個地方的圖形，而是在他心目中才能見到的東西。我們再進一步想一想就會承認，思想比感官更高貴，思想的對象比感官知覺的對象更真實。因為感覺的對象是易變的，不完備的，而思想的對象是永恒的。
對數學的這種信仰深深地影響了后來的西方哲學與神學。自從畢達哥拉斯之后，特別是柏拉圖之后，理性主義的宗教一直被數學和數學方法支配著。例如，在西方基督徒認為基督就是道，神學家追求上帝存在和靈魂不朽的邏輯證明皆源于此。柏拉圖相信有兩個世界：
一個看得見的世界，一個感覺的世界，一個“見解”的世界；
一個智慧的世界，一個感覺之外的世界，一個“真知”的世界。
柏拉圖在他的《蒂邁歐》一書中對創世的解釋——通過復制理想的數學模型造出我們的宇宙。由此引出了早期基督思想中的創世說。在猶太教義和伊斯蘭教義中也可以找到受柏拉圖影響的高度數學化的宇宙論。柏拉圖的觀點還被猶太教、基督教和伊斯蘭教的哲學家們用來探明神明和靈魂如何與物質世界相互作用。
柏拉圖這種理念論也深深地影響了西方的文學。法國著名作家雨果在《克倫威爾》序言中說，生命有兩種，一種是暫時的，一種是不朽的，一種是塵世的，一種是天國的。···就像兩條曲線的公切點。
著名文藝理論家泰納在《英國文學史》序言中說：“當你用你的眼睛去觀察一個看得見的人的時候，你在尋找什么呢？你是在尋找那個看不見的人。你所聽到的談話，你所看見的各種行動和事實，例如他的姿勢、他的頭部的轉動、他所穿的衣服，都只是一些外表；在它們的下面還出現某種東西，…一個隱藏在外部人的下面的內部的人。”
歐幾里得幾何是推理的典范，其特點是，以簡馭繁，以少勝多。這本書成為后人模仿的樣板。我們來舉幾個典型的例子。
阿基米德不是通過用重物作實驗，而是按歐幾里得的方式，從“相等的重物在離支點相等距離處處于平衡”這一公設出發證明了杠桿定律。
牛頓稱著名的三定律為“公理或運動定律”。從三定律和萬有引力定律出發，建立了他的力學體系。他的“自然哲學的數學原理”具有歐幾里得式的結構。
世界上第一個為人口學建立科學理論的是英國的馬爾薩斯(Malthus 1766-1834)。他的理論對世界各國的人口政策產生了重大影響。馬爾薩斯的《人口論》在方法上是地地道道歐幾里得式的，他從公理出發研究了人口發展的規律。在該書的開篇，他寫道：
他接著從對人口增長和食品供求增長的分析中建立了他的數學模型。這個模型簡潔，有說服力，對各國的人口政策有巨大影響。
令人驚奇的是，歐幾里得的模型還推廣到了政治學。美國的“獨立宣言”是一個著名的例子。獨立宣言是為了證明反抗大英帝國的完全合理性而撰寫的。美國第三任總統杰斐遜(1743-1826)是這個宣言的主要起草人。他試圖借助歐幾里得的模型使人們對宣言的公正性和合理性深信不疑。“我們認為這些真理是不證自明的···”不僅所有的直角都相等，而且“所有的人生來都平等”。這些自明的真理包括，如果任何一屆政府不服從這些先決條件，那么“人民就有權更換或廢除它”。宣言主要部分的開頭講，英國國王喬治的政府沒有滿足上述條件。“因此，···我們宣布，這些聯合起來的殖民地是，而且按正當權利應該是，自由的和獨立的國家。”我們順便指出，杰斐遜愛好文學、數學、自然科學和建筑藝術。
相對論的誕生是另一個光輝的例子。相對論的公理只有兩條：1)相對性原理，任何自然定律對于一切直線運動的觀測系統都有相同的形式；2)光速不變原理，對于一切慣性系，光在真空中都以確定的速度傳播。愛因斯坦就是在這兩條公理的基礎上建立了他的相對論。
4.3.1 音律的基本術語。
先引進一些基本概念在音樂中有固定音高的音的總和叫樂音體系。樂音體系中的音，按照音高次序排列起來叫音列。在鋼琴上可以明顯地看出在樂音體系中使用的音和音列。鋼琴上有88個音高不同的音，有些音在音樂中幾乎不用，樂音體系中的各音叫作音級。音級中有基本音級和變化音級兩種。
樂音體系中有七個獨立名稱的音級稱為基本音級。這七個基本音級分別用英文字母C，D，E，F，G，A，B來標記，叫做音名，它表示一定的音高，在鋼琴鍵盤上的位置是不動的。這七個音名在唱歌時依次用do，re，mi，fa，sol，la，si來發音，稱為唱名。如果表示不同的八度還有小字一組，小字二組等。正對著鋼琴鑰匙孔的中間一組音的音名是小字一組.
兩音之間的音高上的相互關系叫音程。七個基本音級在音列中是循環重復的，第一級音與第八級音的音名相同，但音的高度不同，構成了八度關系。這里的度指的是，琴鍵間的間距.例如把C當作起點，G就是五度音。
4.3.2 古希臘音律的確定
在西方，從畢達哥拉斯時代開始，人們就認為，對音樂的研究本質上是數學的，這個思想對后來有深遠的影響。萊布尼茲指出：“音樂就它的基礎來說，是數學的；就它的出現來說，是直覺的.”法國音樂理論家、作曲家拉莫(J.P·RaMeau 1683-1764)說：“音樂是一種必須掌握一定規律的科學，這些規律必須從明確的原則出發，這個原則沒有數學的幫助就不可能進行研究。我必須承認，雖然在我相當長時期的實踐活動中，我獲得許多經驗，但是只有數學能幫助我發展我的思想，照亮我甚至沒有發覺原來是黑暗的地方。”
音樂必須有美的音調，美的音調必然是和諧的，希臘人發現，最和諧的音調是由比1：2：3：4確定的。中世紀美學家奧古斯丁說過：“1，2，3，4這四個最小的數是音樂上最美的數。”為什么會是這樣呢？看了畢達哥拉斯的生律法，就清楚了。
我們知道，振動物體對周圍的空氣發生作用，產生聲波，聲波沿各個方向傳播出去，傳到我們的耳朵，為我們所接受。但大部分聲音，像說話，或鳥叫不是樂音。樂音通常是由弦的振動引起的，如小提琴，大提琴，吉他，鋼琴等，或是由空氣柱的振動引起的，如管風琴，小號，長笛等。
描述樂音的一個最基本的量是音高。什么是音高呢？這個問題看來簡單，其實不簡單。人類花了許多個世紀才對音高有了精確的理解。這要歸功于伽里略和法國數學家兼宗教家梅森(Mersenne Masin1588-1648)。為了說明音高，需要引進頻率的概念。
頻率指的是，物體在單位時間內振動的次數。通常，將單位時間取為秒，物體每秒振動多少次叫多少赫茲或多少赫。
例如，如果一緊繃弦每秒振動100次，就說它的頻率是100赫茲。
畢達哥拉斯連續使用比2：3找出了從C到的各個音。他是如何做的呢？他將兩條質料相同的弦水平放置，使它們繃緊，并保持相同的張力.假定一根弦的長度為1，另一根弦的長度為前者的2/3，然后使兩條弦同時發音，若前者發的音是C，則后者發的音是比前者高五度的音一G，再取后者長度的2/3，就得到比G高5度的音。把新弦長放大一倍，就得到D。把這個步驟繼續下去；就可定出所有的音。這種定音的方法叫五度相生法。
五度相生法用3：2的頻率關系生成音列，其頻率比的公式是
下面的表是用五度相生法生成的(大調式)七音階表。
從上面的表可以看出，如果以一個音階的頻率當作音階的主音，按1：2：3：4的規律就會得到一個音階中最和諧的幾個音。從1：2得到八度音，2:3得到五度音，3：4得到四度音.由于它們比例最簡單，所以產生的共同諧波就多，聽起來很和諧。誰都知道八度音是最和諧的，似乎可以把它們融合在一起。在人類有音樂的初期，人們就會使用這個音，它也是復音音樂的起點。當一個小孩和一個成人同唱一首歌時，或一個男聲和一個女聲同唱一首歌時，就自然形成了八度平行。
注：1.哲學意義：“萬物皆數也”的思想起源之一。
2.數學意義：音律的確定需要指數函數。
4.3.3 簡諧振動
音叉的振動。傅里葉如何使音樂樂聲的數學分析成為可能呢？我們先來看看最簡單的樂器一音叉是如何發聲，如何傳播，又如何用數學公式描述它的。
用小錘擊音叉的一邊，音叉就振動起來，并發出聲音。當音叉第一次運動到右邊時，它就撞擊阻礙它向右運動的空氣分子，使那些分子間的密度加大。這種現象稱為壓縮。壓縮的空氣繼續向右移動，直到不擁擠的地方，這一過程將反復重復。于是，向右的壓縮將會一直繼續下去(圖3)。
接著音叉又向左運動。這樣，就在音叉原來的位置留下一個比較大的地方，右邊的空氣分子就向這里涌過來。于是在這些空氣分子先前的位置上造成了一個稀薄的空間。這種現象稱為舒張。
事實上，音叉的每一次振動在所有的方向上都產生壓縮和舒張，這就是聲波。聲波把空氣進行局部的壓縮和舒張，使空氣周期性的變疏和變密。這種聲波傳到人的耳朵里，對耳膜產生作用，我們就聽到了聲音。
現在的問題是，這種聲音能不能用一個數學公式表示出來？如果能，那是什么樣的公式呢？
簡諧振動。音叉的振動是最簡單的周期振動。與它同樣簡單的周期振動還有單擺的振動，彈簧的振動。它們的共同特點是，在相等的時間間隔里重復自己的運動。這類振動稱之為簡諧振動。描述這類周期振動的公式具有同一形式。為直觀計，我們取彈簧的周期振動作模型。
順便指出，對簡諧振動的研究不僅為樂聲的描述提供了工具，它首先導致了精確記時鐘的發明。通過實驗，R·胡克掌握了彈簧振動的基本規律，發現了彈性力學定律。16世紀50年代，他試著用金屬彈簧來調整鐘的頻率。但是，第一個用彈簧控制的時鐘卻是丹麥物理學家C·惠更斯建造的。惠更斯的辦法是使用盤旋的彈簧；這種辦法至今仍在機械手表里使用。
4.3.4 彈簧的振動
考慮一個被壓縮和拉長的彈簧，并取平衡位置為坐標原點(圖4)。根據胡克定律，作用力F與彈簧的壓縮或伸長量x成正比：
F=-kx (1)
x的值對伸長為正，對壓縮為負。常數b叫彈簧常數，是彈簧勁度的度量，彈簧越硬，k的值就越大。再設連在彈簧上的物體M的質量為m。這個系統的特點是，當物體M受擾動離開平衡位置后，在彈力的作用下，系統趨于回到平衡位置.但由于慣性的作用，M會超越平衡點繼續運動。M超越平衡點后，彈力再次作用使之回到平衡點。結果，系統就來回振動起來，與音叉的振動一樣。物體M的水平位置x是時間t的函數：x=x(t).x(t)的變化規律是什么呢？我們來作一些數學分析。
我們需要牛頓第二定律。記著，加速度a是位移函數的二階導數：，考慮彈力公式(1)，我們有
或
其中，令，則上面的方程可寫為
(2)
這是一個含有未知函數導數的方程，稱為微分方程。這個方程的解x(t)的一個重要特點是，二階導數與函數本身的負值成正比。這個函數是什么函數？猜一猜！
從初等微積分，我們已經知道，正弦函數和余弦函數具有這一特點：
以此作出發點，我們猜測方程(2)的解是正弦函數或余弦函數是合乎情理的。事實上，它的解取下述形式：
(C，D：常數)
或
(3)
直接把它代入(2)中驗算，就知道結果是正確的。
例4 如果受音叉的作用，理想空氣分子運動的振幅是0.001，頻率是200赫茲，那么圓頻率是200π，從而音叉聲音的公式是
y=0.001sin400πt
公式(3)中的A叫振幅。它表示彈簧振動的幅度。完成一次振動的時間叫周期，記為T。例如，若振動一次需0.5秒，則T=0.5秒。若振動一次需4秒，則T=4秒。
叫頻率，它是做簡諧振動的物體每秒鐘振動的次數。前面已經指出，頻率的單位是赫茲；每秒振動1次叫1赫茲.頻率和周期互為倒數：
叫圓頻率，也叫角速率；角速率是做圓周運動的物體在單位時間內通過的角度(以弧度為單位)。而角頻率則與做簡諧運動的物體每秒振動的次數密切相關。關系是這樣的：做圓周運動的物體在回到出發點時通過了2弧度，由于2弧度對應于一個周期，所以
長笛、單簧管、小提琴、鋼琴發出的聲音各不相同，怎樣從數學上給以說明呢？觀察各種聲音的圖形，可以得到問題的部分答案。所有聲音的圖形，人的聲音也包括在內，都表現出某種規律性。這種規律性是，每一種聲音的圖形在1秒鐘內都準確地重復若干次。圖5是一個例子，即小提琴的聲音的圖形，它表現出重復現象，這種聲音聽來是悅耳的。相反地，噪音具有高度的不規則性。所有具有圖形上的規則性或具有周期性的聲音稱為樂音，不管這些聲音是如何產生的。這樣，通過圖形我們把樂音和噪音區分開了。
傅里葉的定理說，任何一個周期函數f(t)都可以表示為形如(3)的正弦函數之和，而且正弦函數的各項的圓頻率是其中圓頻率最低一項的圓頻率的倍數。如果最低一項的圓頻率是，那么其它項的圓頻率是2，3···。寫成數學公式是
其中a是常數，這個級數叫傅里葉級數。
一個周期函數可以表示成正弦函數的和是令人驚訝的。
我們知道，任何樂音都是周期函數，因此，任何樂音都可以表示為簡單的正弦函數之和。
例5 小提琴奏出的樂聲如圖5所示。它的公式基本上是
傅氏定理的意義是什么呢？它指出，任何樂聲都是形如Asin(ωt+φ)之各項之和，其中每一項都代表一種有適當頻率和振幅的簡單聲音，例如由音叉發出的聲音。因此，這個定理表明，每一種聲音，不管它多么復雜，都是一些簡單聲音的組合。樂音的復合特征可以通過試驗得到證實，例5的小提琴的聲音可以由三個具有適當音量，頻率分別是500赫茲、1000赫茲和1500 赫茲的音叉同時發聲而產生。因此，從理論上講，完全可以由音叉來演奏貝多芬的第九交響曲。
這是傅氏定理的一個令人驚奇的應用！
這樣，任何復雜的樂音都能由簡單聲音經適當組合而成。單音稱為聲音中的泛音。在這些泛音中，頻率最低的一個稱為基音。頻率次高的一個稱為第二泛音，它的頻率是基頻的二倍，接著是第三泛音，它的頻率是基頻的三倍，等等。
樂音與噪音的主要區別是，樂音的聲波隨時間呈周期變化，噪音則不是。樂音有固定的頻率，聽起來使人產生有固定音高的感覺，和諧的感覺。噪音聽起來不和諧、不悅耳，缺乏固定音高的感覺。將復合音分解為泛音可以幫助我們用數學方法描述樂音的主要特征。
樂音有四個要素：音調或音高、音色或音質、音響或音量、時值。
當我們說一個聲音是高還是低時指的是它的音調。鋼琴的聲音按照鍵盤從左到右的順序從低音上升到高音。音調主要是由振動頻率決定的，也就是由ω或T決定的，但它不是嚴格按比例對應的。一般認為，頻率增高到2倍，音調聽起來高一個八度。這僅僅在中頻段里是這樣。在高音部分，聽感偏低.所以要把頻率調高，以適應人的耳朵。低音段則聽感偏高，所以需要把頻率調低一些。對一個復合音而言，它的音高由基頻的頻率決定的。在前面的小提琴的例子中，這些泛音對應的頻率分別是500赫茲，1000赫茲，1500赫茲。這意味著，當基音的圖形完成一個周期時，第二個泛音的圖形將完成兩個周期，第三個泛音將完成三個周期。因此，當且僅當基音經過了1/500秒后，復合圖形重復一次，空氣分子又將循環運動。所以，復合音的音高由基音決定。
音的響度或音量與聲波振幅的平方成正比，振幅越大，聽起來響度就越大。但這兩者也不是按比例對應的。
公式中的初相位φ，人的耳朵一般覺察不出來。一個聲音的音色是使它與另外具有相同的音高和音量的聲音區別開來的性質。一名小提琴師和一名笛手演奏出相同音調和音量的歌曲時，我們很容易將它們區分開來。樂音的音色影響圖形的形狀。不同的樂器所發出的聲音的圖形具有相同的周期和振幅，但形狀不同。
樂音圖形的形狀，部分地依賴于泛音，部分地依賴于泛音的相對強度。有些樂器第二泛音的振幅可能很小，它對整個圖形影響不大。例如，在長笛的高音中，除了基音外，所有的泛音都很弱。
時值指振動的延續時間。
現在我們已經知道了，不僅一般樂音的本質，而且它們的結構和主要性質都具有數學上的特征。
歐幾里得以五條公理總結了整個歐氏幾何，不管多么復雜的幾何定理都可以從這五條公理中推導出來。牛頓給出了三定律，對整個力學作了本質上的概括。這些功績都是開天辟地之功。傅里葉的定理具有同樣的地位。自從有了傅里葉定理，世界上的聲音一下子變得簡單了，都可以歸結為簡單聲音的組合，這些簡單聲音用數學表示就是正弦函數。人們終于認識到，世界上的聲音是如此豐富，卻又如此簡單！
4.3.6 大自然的統一性
大自然充滿了神奇的統一性。不僅聲音可以用正弦函數來描述，電流也可以用正弦函數來描述。事實上，電流與時間的關系是
I= Asinωt
這與音叉的振動具有相同的形式，正是這種統一性使聲音可以轉變為電流。這就使聲音的錄制、傳播、接收和復原成為可能。這樣，你可以在元旦晚上坐在電視機旁欣賞維也納的新年音樂會。你可以在散步時通過隨身聽接收中央臺的音樂節目。你可以使用手機和你的朋友通話。但是，很少人想到傅里葉的貢獻，想到數學的作用——數學是一種看不見的文化。考查一下對人類生活的實際影響，我們會發現，傅里葉的影響超過了牛頓。
參考文獻
張順燕.數學的美與理.北京：北京大學出版社。
文字 / 余弟
配圖 / 余弟
排版 / 余弟
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