一談到數學，我們的第一印象就是嚴密的推理和演算，就是嚴謹的邏輯，尤其幾何更是如此。培養學生超強的邏輯思維能力（也許還包括計算能力）是許多數學老師最迫切的愿望之一。其實，數學需要的并不僅僅是邏輯，更不僅僅是計算。
數學需要轉化、需要演算和推理，這是一般人都能夠想得到的，但數學需要聯想、想象，甚至猜想卻未必是每個人都同意的。因為在多數人的眼里，聯想、想象和猜想這些思維方式往往和形象思維、直覺思維聯系更為緊密。正因為如此，我們常常本能地、直覺地認為這些思維方式與以邏輯思維見長的數學沒有太大關系——事情果真如此嗎？
數學是一門由數字、字母、符號、圖形和文字構成的特殊的語言符號系統。正因為這個系統的特殊性，使得數學問題的解決不僅僅需要邏輯推理，它還需要多種語言的閱讀、理解、轉換、表達能力；由于圖形和符號在數學中的廣泛存在與運用，解決數學問題不僅需要抽象思維，還需要形象思維，甚至是動作思維能力；而直覺又是廣泛地存在于不同思維形式之間的特殊思維樣式。由此可見，數學思維能力廣泛依賴于不同思維形式，是一種整合多種能力和素質的綜合水平極高的能力。
無論是綜合法、分析法，還是分析綜合法；無論是正向思維，還是逆向思維，當我們面對復雜的數學問題或者數學背景時，往往并不能實現思維的貫通和問題的解決。在這個時候，我們就需要聯想和想象，通過類比，通過假設來探索思維的中間路徑。如果這個問題更加復雜，這個時候，我們常常就需要拿出一點“大膽假設，小心求證”的精神，通過理想化的設計，猜想解決問題的路徑，然后進行嘗試。
這種猜想往往并不依賴于形象，也不依賴于邏輯，而是一種純粹的有些“想當然”的設想，是一種以完美、和諧、統一為依歸的“無依據”的假設，或者是僅僅依懶于不完全的歸納得出的假設，大概就是人們開玩笑常說的“做夢娶媳婦——盡想美事”的狀態。這種猜想說到底是一種理想化的假設，雖然不能成為解決問題的依據，卻常常可以幫助我們尋找到解決問題的正確路徑。從這里出發，再回歸到嚴密的邏輯，從而確證我們的結論。因此，它不失為一種有效的解題方法。
更重要的是，重視猜想在數學教學中的應用，經常引導學生學習和運用猜想，不但可以幫助我們提高解決數學問題的能力，更重要的是可以幫助我們的思維擺脫僵死的、呆板的狀態，讓我們的思想更具有活力，更具有靈性，從而提高我們的創造力。
下面我想結合新課程的新增內容《推理與證明》的教學，從它的數學意義與教育價值兩個方面和大家一起分享“學會數學猜想、感受數學發現”的實踐與探索。
一、《推理與證明》的數學意義
美籍數學家、數學教育家波利亞（1887～1985）的三部著作《怎樣解題》、《數學發現》、《數學與猜想》早已風靡全球的事實，充分說明了人們已不再認為數學發現與創造的過程僅是世界頂級數學家的數學游戲，人們不想僅為那些“高深”的數學理論與發現歡呼雀躍，更希望能夠分享數學發現的過程、數學探索的方法，即合情推理（歸納推理、類比推理）與演繹推理。由此可見“推理與證明”在數學發現與探索中的重要意義與作用。
通過對問題解決過程、特別是對已有成功實踐的深入研究，波利亞發現：可以機械地用來解決一切問題的“萬能方法”是不存在的；在問題解決的過程中,人們總是針對具體情況,不斷地向自己提出有啟發性的問題或提示,以啟動并推進思維的進程；因此,他試圖總結出一般的方法或模式,這些方法和模式在以后的問題解決活動中起到了重要的啟發和指導作用。波利亞很早就注意到“數學有兩個方面：用歐幾里得方式提出的數學是一門系統的演繹科學；但在創造過程中的數學卻是實驗性的歸納科學。”因此,他明確提出了兩種推理：合情推理與演繹推理，演繹推理可用來確定數學知識，合情推理可用來為猜想提供依據。而且在解決問題的過程中，合情推理具有猜測和發現結論、探索和提供思路的作用，有利于創新意識的培養。
許多數學問題、數學猜想，包括世界著名難題的解決，往往是在對數、式或圖形的直接觀察、歸納、類比、猜想中獲得方法，而后再進行邏輯驗證；同時隨著問題的解決，使數學方法得到提煉、數學研究范圍得到拓展、使數學不斷地前進與發展。費馬通過對勾股定理的研究大膽地提出了費馬猜想！為了尋找這個猜想的證明方法，許多數學家投入了畢生的精力，在上世紀被英國數學家懷爾斯證明，最終形成了費馬大定理。這個被數學家希爾伯特稱作會下“金蛋”的老母雞，本身是用合情推理的方法提出的。在長達幾個世紀的探索中，數學家們的創造過程無不蘊涵著合情推理。因此，從某個方面來說，合情推理促進了數學的發現，更推動了數學的發展，最終形成了歐拉定理、哥德巴赫猜想、四色問題等諸多世界數學史上的奇葩。
哥德巴赫猜想是數學皇冠上一顆“明珠”。自1742年提出以來，已歷經兩個半世紀的探索。雖然至今尚未被人證實猜想的正確性，也無人能夠給以否定，但圍繞這個猜想所作的研究，卻積聚了眾多的資料與成果，可以說哥德巴赫猜想的研究，已達到了非常精深的境界。
1742年的一天，哥德巴赫在紙上寫下了一串等式：
6=2 2 2,
他終于按捺不住，寫信告訴歐拉，說他想冒險發表下列猜想：“大于5的任何自然數，都可以寫成三個素數的和。”不久，歐拉回信說，他認為：“每一個不小于4的偶數，都可以寫成兩個素數的和。”
這就是著名的哥德巴赫猜想。
200年過去了，沒有人能夠證明這個猜想。
目前世界范圍內的最佳結果是由我國著名數學家陳景潤于1966年證明的，稱為陳氏定理。
這道著名的數學難題引起了世界上成千上萬的數學家的關注。這就是一個好問題的巨大價值，這就是一個好的猜想的歷史意義。
1900年8月，不滿40歲的數學大師希爾伯特，縱論全局、指點未來，發表了“數學問題”的經典演說，提出了著名的23個數學問題，并留下了一段關于問題（猜想）對數學發展的名言：“只要一門科學分支能提出大量的問題，它就充滿著生命力；而問題缺乏則預示著獨立發展的衰亡或中止。數學研究也需要自己的問題。”
猜想既引導著研究的目標，又表明了社會發展的認知需要。數學史上充滿著猜想，可以說：數學是伴隨著對數學命題的猜想而發展的。
從某種意義上說，一部數學史就是猜想與驗證猜想的歷史。這里面，既有偉大的猜想、也有微不足道的猜想；有最終被證明了的猜想、也有最后被否定了的猜想；有很快被解決了的猜想、更有至今還“懸著”的猜想。有許多數學家是猜想家，他們既有非凡的直覺能力，為后世留下一個個饒有趣味的誘人的猜想。特別地，重大猜想的解決過程，往往也帶來了數學發展的巨大推動力。
猜想使人的認識擺脫了消極等待的被動狀態；猜想在人的認識發展過程中，功不可沒、作用巨大。難怪科學家們總是感慨地驚嘆：“人類每一次大的成功，都是開始于大膽的猜想。”
猜想的過程即為觀察與實驗、歸納、類比與聯想、直覺與猜想的合情推理的過程，合情推理的實質就是“發現”，即發現新的關系、新的規律和新的方法等。在數學學習活動中，合情推理除了具有發現新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數學事實和規律，擴展認知領域，促進知識的掌握和遷移，啟迪思維和發展數學能力的重要方法和手段。
如果說通過演繹推理可以培養學生的運算能力、空間想象能力和嚴謹的治學態度，那么通過合情推理則可以培養學生的創新思維能力、創造想象能力、創新實踐能力。因此可以說，合情推理是發展和培養學生創新能力的基礎和必要條件，是21世紀新型人才應當具有的素質。
二、《推理與證明》的教育價值的實踐與探索
著名的美國數學家、數學教育家波利亞提出：“對于學習數學的學生和從事數學工作的教師來說，猜想是一個重要的（但卻通常被忽視的）方面，因為：在證明一個數學定理之前，你先得猜測這個定理的內容；在你完全做出詳細的證明之前，你先得猜測證明的思路；你既要把觀察到的結果進行綜合，然后加以類比；又要一次一次地進行嘗試……我們通常得到的那個證明（或解答），就是這樣通過合情推理、通過猜想發現的。”
特別地，是否具有創造性已是衡量人才的重要標準、更是素質教育對能力培養提出的要求，而創造力的培養則有賴于教學中論證推理與合情推理同時并重的思維方法訓練。
在第八屆國際數學教育大會上，對于20世紀杰出的數學家、數學教育家波利亞建立的合情推理模式以及觀察、實驗、類比、歸納、化歸、猜想等方法在數學發現和創新中所起的作用給予了高度的評價，在全世界范圍內形成了廣泛的共識。在布魯塞爾的“發現學習”和上海教科院所推出的“研究性學習”中都對合情推理教學給予了高度的評價。合情推理教學符合我國素質教育的要求。
國際數學課程改革的研究表明：在處理中小學數學思想方法方面有兩個基本思路:
第一,主要通過純數學知識的學習,逐步使學生掌握數學的思想和方法；
第二,通過解決實際問題,使學生形成那些對人的素質有促進作用的基本思想方法,如實驗、猜測、合情推理等。
兩者相比而言, 后者更多的是一般的思考方法, 具有更廣泛的應用性。主要的發達國家也傾向于采用第二個基本思路。
有研究表明：合情推理與演繹推理有著較高的相關性；學生的合情推理的發展與演繹推理的發展也有著密切的聯系．因此，數學教學要促使學生的合情推理與演繹推理同步發展．
如果說通過演繹推理可以培養學生的運算能力、空間想象能力和嚴謹的治學態度，那么通過合情推理則可以培養學生的創新思維能力、創造想象能力、創新實踐能力。因此可以說，合情推理是發展和培養學生創新能力的基礎和必要條件，是21世紀新型人才應當具有的素質。
而合情推理的實質就是“發現”，即發現新的關系、新的規律和新的方法，在數學學習活動中，合情推理除了具有發現新的命題的重要作用外，還是探索解題思路，概括、解釋新的數學事實和規律，擴展認知領域，促進知識的掌握和遷移，啟迪思維和發展數學能力的重要方法和手段。
作為數學教育工作者，讓我們暢想一下：
當學生感受到“高不可攀”的哥德巴赫猜想是那樣“淺顯易懂”時；當學生能夠類比三角形的面積公式聯想到三棱錐的體積公式，又經過思維實驗、數據檢測、調整證明得到時；特別是當學生能夠類比哥德巴赫猜想而提出“自己的素數猜想”，類比自然數的求和公式而得到自然數的平方和公式，又由此猜想得到自然數的立方和公式時，學生的猜想、證明的方法、學生內心的感動、學生的收獲與分享都著實地讓我們感受到了數學的偉大，更感受到了數學教育的價值與意義！因此《推理與證明》一章的教育價值已經超越了知識與內容本身，而更在于數學的意義與方法！
