讓課堂中的學習真正發生
牛獻禮
學生在學校的大多數時間都在課堂中學習，但是，課堂中的學習真的發生了嗎？冷靜審視之后不難發現，當前數學課堂中的如下現象仍然屢見不鮮：
教師“一統天下”，學生被動執行教師的“指令”，缺乏實質性的參與；
關注了“生活味”，忽視了學科特性；
關注了教學形式，忽視了實際收獲——
操作實踐因忽視學生內在需求導致“動手與動腦”相脫離；
自主學習因教師指導的缺失帶來的低效與異化；
探究學習的泛化導致的淺表化； ……
由此造成的結果是，“熱熱鬧鬧”的課堂表象背后卻是教學效率的低下，學生的數學學習并沒有真正發生！那么，怎樣改進這種狀況呢？筆者結合實踐談幾點拙見。
一、教學的設計與實施從“基于教”轉向“基于學”
1、“基于學”體現了“學習主體”的回歸
“基于教”的教學設計與實施立足于教師“條分縷析地教”，按照知識本身的邏輯順序進行設計，環節緊湊，邏輯性強，形成一種固定的“線性序列”，學生在這條狹窄的思維通道中“亦步亦趨”，學習活動空間較小。同時，教師牢牢掌控課堂，教學不允許節外生枝，上課成了學生配合教師演示教學預案的過程。
“基于學”的教學設計與實施立足于學生“嘗試探索著學”，是以學生學習為邏輯主線的“板塊式”結構，教師注重“讓學”，讓出話語權，讓出探究權，學生有較大的學習活動空間，課上有充分的時間專注于學習。教學設計中所運用的教學策略和所開展的活動體現了對學生經驗、前期知識、困難、需要以及學習風格的關注。
以“平行四邊形的面積”教學為例
教法A：
片斷一：（出示下圖）每個小方格的面積是1平方厘米，你能求出下面圖形的面積分別是多少嗎？（逐個出示）
圖一 圖二 圖三
師生交流后歸納：用割下來補過去的方法將圖二和圖三轉化成長方形，就能很快求出它們的面積。
學生從中學習到了“割補”轉化的方法。
片斷二：給每個學習小組配發了平行四邊形紙片、剪刀等學具，讓學生想辦法求出平行四邊形紙片的面積。
由于有了課開始時“割補”轉化方法的學習鋪墊，又有了“剪刀”等學習用具的“暗示”，學生很容易就想到了“沿著高剪下三角形，再補過去，轉化成長方形”的方法，教學進行得很順利。
教法B：
教師課前進行了學情調研，發現學生計算平行四邊形的面積大多采用“底×鄰邊”的方法，更有不少同學對前一節課中“推拉平行四邊形框架變成長方形”的演示印象深刻，認為“斜著的鄰邊推拉為豎直之后就是寬”，并以此來解釋“底乘鄰邊就是長乘寬”，還有少數同學已經知道了“平行四邊形的面積=底×高”這一結論，甚至還有人通過看書等渠道了解到“割補轉化”的方法。
基于對學情的分析，設計教學如下：
首先，在無提示的狀態下讓學生自主嘗試計算平行四邊形紙片的面積。學生的想法大致分為兩種情況：一種是用“底×高”計算，另一種用“底×鄰邊”計算。接著，引導學生借助“數方格”的方法驗證這兩種算法，發現“底×高”的計算結果是正確的，而“底×鄰邊”的結果是錯誤的。然后，教師組織全班同學交流、辨析。
師：平行四邊形面積用“底×高”來計算，到底有什么道理呢？
生1：因為把平行四邊形沿著高剪下一個三角形來，拼到另一邊，就可以變成一個長方形。長方形的長就是平行四邊形的底，長方形的寬就是平行四邊形的高，它們的面積是一樣的……
（教師利用黑板上的圖，請學生上前剪拼，并引導學生理解平行四邊形和長方形之間的聯系，得出“底×高”實際上就是“長×寬”，算出的剪拼之后的長方形面積，也就是原來平行四邊形的面積。）
師：用轉化的方法，我們可以把沒學過的知識變成已學過的知識，從而解決問題，這是學習數學的一種重要方法。剛才巡視時，我發現有的同學還有不同的轉化方法，請生2上前講解。
生2：我也是把平行四邊形轉化成長方形（演示：拿起平行四邊形框架，把它推拉成了一個長方形。）這個底邊就是長方形的長，鄰邊就是長方形的寬，“底×鄰邊”不就是“長×寬”嗎？
（看到生2的演示，不少同學也都面露困惑之色。）
師（故作疑惑）：是啊，像他這樣，把平行四邊形拉成長方形，也是轉化成長方形，對不對呢？
（教師把長方形框架貼在黑板上的平行四邊形圖片上面）
教室里短暫的靜寂之后——
生3：啊，我發現了！像他這樣拉成長方形后，面積比平行四邊形變大了。
生2（還是一臉困惑）：怎么會變大呢？一樣大呀！
師：把平行四邊形推拉成長方形以后，變大的部分在哪里，你能不能上來指出來？
（生3上前指出變大的部分，教師協助生3用剪刀把平行四邊形紙片剪拼成了一個長方形，并與長方形框架比較。使學生直觀地看出這樣轉化之后，“底×鄰邊”算得的面積比平行四邊形大了，面積發生了變化。同學們都恍然大悟，認可了“推拉成長方形后面積發生變化”的結論。）
師：想一想，“底×鄰邊”計算出的是誰的面積？
生：是轉化后的長方形的面積，不是平行四邊形的面積。
師：說得真好！與前面的“剪拼轉化后面積不變”不同，這樣的“推拉”轉化之后，平行四邊形的面積發生了變化。
……
在教法A中，教師為學生鋪設了一條狹窄的思維通道，流暢的教學背后“掩蓋”了學生真正的問題。這些問題并沒有機會在課堂中暴露出來，當然也就沒有得到分析與解決，而是“潛伏”了下來，留待以后遇到合適的土壤再“發酵”。而在教法B中，始終圍繞學生的思維障礙來教學。教師不急于引導學生接受正確方法，而更多地讓學生自己在嘗試解決問題的過程中發現問題，產生矛盾沖突，并引導學生參與對問題和錯誤的剖析：平行四邊形面積為何是“底×高”，為何不是“底乘鄰邊”？同樣是轉化為長方形來思考，為何前者是對的，后者卻又不對了？……在這樣充滿挑戰性的思考過程中，學生一步步澄清平行四邊形的面積“是什么，不是什么”，明白“這樣才是正確的，那樣為什么是錯誤的”，最終獲得了真正意義的數學理解。
這個案例也再次說明，只有把學生的學研究清楚，把學生學習的障礙與困難研究透徹，并準確地分析產生學習困難的原因以及尋求相應的解決策略，才能在關鍵處引領學生的思維，教才能為學提供高品質的服務。
2、“基于學”會更加關注教學中的生成性資源
“基于學”的教學設計同樣需要精心地設計與組織，只不過由以教師“教為本位”的過度預設轉向以學生“學為重心”的精心預設；由對學生“不放心、不放手”轉向“信任學生、鼓勵嘗試、提倡質疑”；由執行教案轉向依據學生的理解水平與學習狀態對教案“再創造”；由只關注“老師自己需要的答案”轉向關注學生學習過程中的生成性問題并相應地調整教學。
以教學“除法各部分之間的關系”為例：
（出示題目）127÷（ ）=5……2，讓學生思考、填空。
生1：127－2=125 125÷5=25，應該填25。
生2：可以直接用127÷5，更簡便，也能得出是25。
生2的回答是教師備課時沒有想到的，急中生智，老師把“問題之球”拋給了學生：“生2的方法確實簡便，到底對不對呢？請大家再舉幾個例子來驗證一下吧。”
學生舉例：19÷9=2……1 39÷5=7……4（符合）
19÷8=2……3 28÷6=4……4（不符合）
同學們都發現了“用被除數直接除以商去求除數的方法”在有些情況下是錯誤的，還是應該“（被除數－余數）÷商去求除數”，問題得到了解決。但是，教師沒有到此為止，而是進一步引導——
師：仔細觀察，什么情況下“用被除數直接除以商去求除數的方法”是正確的？什么情況下又是不正確的？
學生又一次陷入沉思，觀察、討論后開始匯報想法。
生：當余數比商小的時候，可以用被除數直接除以商；當余數等于商或者比商大的時候，就不能用被除數直接除以商了。
師：看來“用被除數直接除以商去求除數的方法”是有局限性的，在特定的情況下比較簡便；而用被除數先減去余數，再除以商的方法是個普遍性的規律。（同學們都表示同意）
教師接著引導——
師：是哪位同學提出的想法引發了大家的思考，讓我們對除法各部分之間的關系理解得這么深刻呀？
生：是生2。
師：讓我們把熱烈的掌聲送給他！（全班同學的掌聲響起來！）
……
在上述教學中，生2的“意外”想法打亂了教師的教學預設，教師“基于學”做出了正確的價值判斷，通過引導與點撥把學生的學習不斷引向深入，不僅深化了對知識的理解，而且鼓勵了學生的質疑與創新，收獲了沒有預約的“精彩”。
二、構建以“傾聽和對話”為基礎的學習共同體
1、用啟發性的問題把課堂對話引向更深層次
課堂上，學生“真實的回答”與“正確的回答”哪一個更有價值？無疑是前者。教學中，所有學生的積極參與都應該受到鼓勵和重視，要盡可能地“引出”而不是“堵塞”學生的真實想法，給各種基于思考的觀點與想法提供碰撞的機會。教師積極引導師生之間、生生之間的“互動”和“對話”，而不是只有一個聲音。
課堂上，多一些啟發性的問題，比如——
為什么？你是怎么想的？
誰還有不一樣的想法？
你能舉個例子嗎？
你能讓別人一下子就看明白你的思路嗎？
……
這些問題會暴露學生不一樣的思維和學習風格，會把課堂對話引向更深層次，也會讓數學課堂走向豐富。
以“乘法分配律”的教學為例
引導學生得出“乘法分配律”的文字與字母表示形式之后
師：想一想，今天所學的“乘法分配律”與前面學習過的其他運算律有什么不同？
生1：前面幾個運算律，等號左邊是幾個數，右邊也會是幾個數，不多也不少。乘法分配律的等號左邊是三個數——a、b、c，右邊卻是四個數——a、c、b、c。
師：哎，還真是的！你看的真仔細！想一想，為什么右邊會多出一個數呢？
生2：因為c先乘了a，又乘了b，用了兩次，所以會多出一個數。
師：說得好！從左往右看這個等式，c個（a+ b）分成了c個a加c個b”；從右往左看，c個a加c個b配成了c個（a +b）。這就是乘法分配律中“分配”兩個字的由來。還有別的發現嗎？
生3：我發現前面學過的運算律里面只有一個符號，而乘法分配律里有兩個符號。
師追問：只有一個符號是什么意思？能舉例說一說嗎？
生3：比如，加法交換律里面只有加號，乘法結合律里面只有乘號。
師：大家聽懂他的意思了嗎？前面這些運算律里面都是只有一種運算，要么是——（生：加法），要么是——（生：乘法）。
師：乘法分配律里有哪些運算呢？
生（異口同聲）：既有加法，又有乘法。
師：這是一個很重要的發現，乘法分配律把乘法和加法聯系起來了，所以又叫做乘法對加法的分配律。
質疑：如果把“+”改成“－”，（a－b）×c會不會等于a×c－b×c呢？
生（異口同聲）：不會。
師：真的嗎？
經此一問，學生的意見開始分化了，有的在堅持——“真的”，有的在動搖——“會等于”，有的已經沒有主意了。
師：怎樣驗證這個想法是否正確呢？
生：舉例子。
師：好辦法！在數學上，只要找到一個反例就能證明一個說法是錯誤的，請你用舉例子的方法來驗證一下剛才的想法是否成立。
學生經過驗證發現：（a－b）×c=a×c－b×c是成立的，是一個規律。
師：真好！剛才我們將乘法分配律由“兩個數的和”拓展到了“兩個數的差”。這是一種很有價值的思考。你還能聯想到別的嗎？
生：如果不只是2個數，換成3個數的和，還成立不成立呢？
師：真是一個很好的猜想！換成3個數的和，4個數的和或者更多數的和，結果還會不會相等呢？怎樣驗證？
生：舉例子、找反例。
學生經過舉例再次驗證了自己的猜想。
……
上述教學中，教師緊緊把握住乘法分配律的“內在本質”，引導學生“猜想——驗證”，并通過適時的追問與質疑，將學生的探究不斷引向深入。
2、要舍得讓學生在思考中“浪費”時間
數學思維是需要時間的，只有給予充分的時間，學生才有可能達到真正的思維狀態，才有可能思考得充分，想得明白。為此，應該舍得讓學生在思考中“浪費”時間。要讓課堂有機會進入一種“膠著的”對話狀態；讓學生獲得正確結論的“速度”來得慢一些；讓課堂能夠提供學生更多“討價還價”的機會；……
教學“路程、時間、速度”一課，在學生初步認識了“速度”的基礎上，我逐一出示了如下兩道題目，讓學生列式解決：
1、“神舟十號”飛船在太空中5秒鐘飛行了約40千米，“神十”飛船的速度約是（ ）。
2、張叔叔騎自行車外出游玩，2小時行了16千米。張叔叔騎車的速度是（ ）。
學生很快列出了算式：
40÷5=8（千米）
16÷2=8（千米）
師（故意地）：我發現張叔叔騎車好快呀！他騎車的速度跟“神舟十號”飛船一樣快！
生（齊聲反對）：不對不對！張叔叔騎車的速度是每小時8千米，“神舟十號”飛船是每秒鐘8千米，飛船比張叔叔快多了！
師：哦，我明白啦，這兩個8千米不一樣，是嗎？
生：對，不一樣！
師：可是，從算式的得數和單位名稱上看不出來它們不一樣啊？都是8千米呀？你能想個辦法把這兩個8千米區分開嗎？
學生先獨立思考，在練習本上寫出自己的想法，然后全班交流。
生1（在黑板上算式得數的下方寫出了自己的想法）：每一秒8千米；每小時8千米；
師：大家看明白了嗎？她用的是什么辦法？
生：把走完8千米用的時間分別寫出來。
師：加上走的時間，就能把兩個8千米區分開了，真是個好辦法！還有別的辦法嗎？
生2（在黑板上寫出了自己的想法）:在8千米前面分別加上“每一秒”和“每小時”；
師：他的方法和生1類似，都是加上走的時間，也能區分開，而且寫得更簡單了。數學就是追求簡潔的，還能寫得再簡單些嗎？
生3（跑上前）：把8千米前面的“每一秒”和“每小時”改成“每秒”和“每時”。
師：他又省去了兩個字，意思改變了嗎？
生：沒有改變。
師：不錯。那還能更簡單嗎？
生4（跑上前）：在“千米”后面直接添上“秒”和“小時”；
師：他把單位改成了“千米秒”和“千米小時”，行嗎？
生5：不行，“千米秒”不通順，我有辦法。
接著，他跑上前在黑板上寫出了自己的想法：8（千米）、秒和8（千米）、小時。
師：你為什么把秒和小時寫到括號外面呢？
生5：這樣就不會把“千米”和“秒”混在一起了，還要加個“、”。
師：這種辦法好嗎？
生：好！
師：同學們真了不起！為了區分兩個“8千米”，大家動腦筋想出了這么多好辦法！而且大家的想法已經非常接近數學家的方法了，數學家們是在“千米”和“秒”之間加個“/”，“神舟十號”飛船的速度寫成“8千米/秒”，把騎車的速度寫成“8千米/小時”或者“8千米/時”。大家很了不起！讓我們把掌聲送給自己！
師：你發現了沒有，速度的單位名稱很特別，誰發現它特別在哪兒？
生：它包含有兩個單位名稱。
師（追問）：哪兩個單位名稱？
生：路程單位“千米”和時間單位“秒”。
師：不錯，速度單位是由長度單位“千米”和時間單位“秒”復合形成的。你覺得速度單位中的“/”除了把“千米”和“秒”分開之外，還相當于什么符號？
生：相當于“÷”。
師：沒錯兒！從速度的單位也能看出路程、時間和速度的關系——
生：路程÷時間=速度
……
在上述教學中，教師通過讓學生計算“神十”飛船的速度和張叔叔騎車的速度，發現得數都是“8千米”，順勢引導學生思考“張叔叔騎車的速度是不是跟‘神十’一樣快呢”，由此引發學生產生新的疑問，產生強烈需要區分這兩個“8千米”的需求。學生經過思考之后，自然而然地想到速度單位不能只用路程的單位來表示，還與時間有關，從而建立起復合單位的意識。這樣的教學讓學生充分經歷了知識的“再創造”過程，有效地突破了復合單位的難點，也進一步促進了學生對速度單位的理解。
我追求的課堂景象：不是發言熱鬧的課堂，而是用心地相互傾聽的課堂；不是對答如流的課堂，而是有遲疑、有困惑的課堂。學生與教師共同圍繞一些有價值的數學問題，自由地表達自己的想法，老師同學之間表現出彼此的尊重與友善。
三、倡導以學生為主體的“多樣化”學習方式
1、實現有指導的“再創造”
科學家們曾經用小白鼠實驗研究哺乳動物的神經系統發展，共設置了如下三組進行對照研究。
第一組：實驗人員讓小白鼠們吃了就睡，醒了就吃，不提任何要求，讓他們自然生長。
第二組：實驗員在讓小白鼠們吃了就睡，醒了就吃的基礎上，增加一項單一的訓練活動，比如踩腳踏車。
第三組：實驗員在讓小白鼠們吃了就睡，醒了就吃的基礎上，提供豐富多彩的活動。
實驗結果表明，第三組小白鼠的神經系統發展最好，第二組小白鼠的神經系統發展最差。得出的研究結論是，自由寬松的環境，豐富多彩的活動最有益于發展，單一的、機械化的、枯燥重復的訓練還不如“什么都不干”。這給我們的教學帶來深刻的啟示：學習的單一化會把學習活動變成為“沉重的、枯燥的、單調乏味的事”，并最終扼殺兒童的智慧和天賦。
其實，學習方式并無“好壞”之分，沒有一種學習方式能夠“包打天下”，適合一切課堂教學。要把傳統教學中“聽課加做題”的單一化學習轉變為以學生為主體的多樣化學習——
聽講做題是學習；
自主探究是學習；
課外實踐是學習；
展示、交流、對話也是學習；
……
轉變學習方式的深刻意義和價值決不在方式本身，而在于方式轉變的背后或深處的意義和價值，其核心是“以人為本”的理念，即以學生為主體,以學會學習為核心。需要指出的是，“以學生為主體”不是讓學生無目標、無原則地做“主體”。教師的教和學生的學應該在數學的活動中實現統一，實現“有指導的再創造”。教師的責任就是創設適合于學生進行數學化活動的具體的現實的情境，并有效地指導他們參與到數學化的各個方面中去。
以探究“用一副三角板能畫出多少度的角”的教學為例：
師：如果用一副三角板畫角，能畫出哪些度數的角？
學生獨立思考、動手實踐后，全班交流。
師：你能把你畫出的角按照一定的順序排列出來嗎？
生：從小到大排列起來是30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°。
師：這些角中有哪些角是依照三角板上的角直接畫出來的？
生：30°、45°、60°、90°
師：有哪些是用兩個三角板拼起來畫成的？
生：75°、105°、120°、135°、150°、180°
師：誰能說一說這些度數的角分別是由哪些角拼成的？
生：75°是由30°和45°拼成的；105°是由45°和60°拼成的；120°是由30°和90°拼成的；135°是由45°和90°拼成的；150°是由60°和90°拼成的；180°是由90°和90°拼成的。（板書）
師：除了剛才大家說的這些角之外，還能畫出其它度數的角嗎？
生：不能了。
師（啟發）：兩個角相加可以拼成新的角，如果兩個角相減呢？想一想，自己試著畫一畫，
生獨立思考、嘗試畫角
生1：我畫出了15°的角！
師讓生1在黑板上示范畫15°的角：先畫出45°的角，再在里面畫出一個30°的角，剩下的就是15°的角。
同學們很是驚嘆：這都可以！太神奇了！大家的掌聲自發地響了起來！
生2：還可以用60°和45°的角畫出15°。
師：你怎么想的？
生2：60°－45°=15°
師：非常好！現在我們仔細觀察這些從小到大排列起來的角，你有什么發現？
生3：我發現它們之間都是相差15°。
生4：不對，有兩個角相差的不是15°，150°和180°相差的是30°。
師：還真是這樣啊！
生5（興奮地）：我有個想法！很可能有一個165°的角我們還沒有畫出來，如果畫出來了，每兩個角之間都會相差15°。
生5的發言引起了班里部分同學的響應：對！對！有可能！
師：可是，實踐是檢驗真理的唯一標準，165°的角怎么能用一副三角板畫出來呢？
全班學生陷入了沉思。
師：想一想，自己試著畫一畫，看看誰能找到畫角的好方法。
學生獨立思考，小組內討論165°的畫法。
生1：先畫出15°的角，再以一條邊為基礎，畫出150°的角，15°和150°加起來就是165°。
師：可以是可以，但是感覺——
生：太麻煩了！
師：有沒有更簡便的畫法呢？
生2：先畫出15°的角，再把15°角的一條邊延長（如圖），就得到了165°的角。
師：誰看懂了他的意思？說說這個角為什么是165°？ 生：那兩個角合起來是一個平角，就是180°,180°－15°=165°。（掌聲）
師：這種畫法確實簡便多啦！我們回顧一下剛才尋找角的過程，哪個角最不容易想到？
生：165°的角。
師：那我們是怎么找到165°的角的？
生：我們是先猜想有165°的角，再去畫一畫，去驗證。
師：沒錯！我們是先找到了這些角的排列規律，發現相鄰的兩個角都是相差15°，只有150°和180°卻相差了30°；接著，我們就猜想可能它們之間還有一個角沒有找到，這個角就是165°；然后，我們就想辦法畫出165°的角，根據15°角畫出了165°的角。你覺得在找到165°角的這個過程中，什么最重要？
生：猜想最重要。
師：確實，猜想最重要，猜想不是“瞎猜”，而是從已有的事實出發，根據規律進行合情推理（板書：合情推理），科學家們在科學研究中經常用到這種研究方法，比如，天文學家就是運用這樣的方法發現了太陽系中的冥王星。
教師介紹科學史上“冥王星的發現過程”。
師：生5很了不起！她發現了角度中的“冥王星”！（同學們的掌聲再一次響起）
……
在上述教學中，教師指導學生從已有的事實出發，憑借經驗和直覺，通過合情推理去探索思路，推斷結果，發現結論，學生在“再創造”過程中迸發出來的學習熱情和創新“火花”讓人欣喜！令人贊嘆！
2、教學重在啟發學生思考
與知識的學習相比，思維的訓練和能力的培養更加重要。為此，要盡可能讓學生經歷知識的形成過程，更加關注學生學習的投入質量和教學的思考性，讓學生的學習真正成為充滿思考的學習過程。課堂上的“動與靜”都只是表象，學生思維的深度才是更重要的。
以“三位數乘兩位數”教學為例，在練習階段，出示了如下題目。
234×11= 325×11= 547×11= 384×11=
待學生列豎式計算后，引導學生發現“一個三位數乘11的規律”。
接著，引導學生發現“規律”背后的道理：先用這個三位數乘10，再加上這個數本身，就等于這個三位數乘11。既鞏固了乘法的意義，又滲透了乘法分配律。
然后又出示了三道“三位數乘11”的題目，學生很快就算出了得數，已經很少有人再去列豎式計算了。
我乘勝追擊，又出示了下面幾道題：
234×22= 123×33= 126×44=
學生看了看這幾道題，開始并沒有發現規律，不少人又低頭列起豎式來。
我啟發：難道只有列豎式這一條路嗎？這幾道題跟前面“乘11”的題目有聯系嗎？
學生恍然大悟，欣喜地叫了起來，“哦！可以把22看成11×2，33看成11×3，44看成11×4，就可以用‘三位數乘11的規律’了！”
……
在上述教學中，把基本技能的訓練與其他思維能力的培養有機地結合起來，引導學生由單純的計算（“動手”）轉向更為深入的思考（“動腦”）。學生既進行了三位數乘兩位數的練習，同時也發現了有趣的規律。在探索合理簡潔的計算方法過程中，學生感悟到“計算也需要審題”，學生解決問題的策略會更加合理與簡潔，也會讓學生體會到計算中也有策略和發現的欣喜，平淡的計算教學就會更多一些思維的樂趣。
一個真正優秀的教師必須留一份純真，學會從孩子的角度去思考問題，從孩子生命成長的高度去思考教學。真正把課堂還給學生，讓教學從封閉走向開放，從預設走向生成，從關注教案的落實走向關注學生的思維，從關注問題的答案走向關注學生的學習需要。唯如此，學生的學習才會真正發生。
