數學交流離不開數學語言。數學語言是數學思維的物質外殼，包括文字、符號和圖形三種語言形式；“數學思維是人腦對數學概念和數學表象在頭腦中的表征及認識過程” [1]，包括形象思維、抽象思維和靈感思維三種形式。數學學習至少需要形象和抽象兩種思維形式參與，小學生的心理特點決定了他們以形象思維為主，遇到抽象的數學知識必須采用直觀手段處理，才能順利完成數學學習與交流，即使在中高年級逐步向抽象思維過渡和發展階段，具體形象思維始終占有主導地位。數學語言中的圖形語言最具直觀性，因此將圖和數相結合(數形結合)的表征方法，是外顯小學生數學思維的最佳途徑，是交流活動中常用的手段。
數形結合思想方法融合了形象思維和抽象思維。圖形語言從屬形象思維，而對圖形中隱含的概念、規律或性質進行分析概括的過程則從屬于抽象思維。圖形語言表達能力直接影響數學交流的質量，也能反映學生的抽象思維發展水平。所以，課堂教學必須多措并舉提升數形結合能力，形成圖形表征技能。
數形結合能夠直觀表征抽象的數學知識。在應用圖形表征交流時，受到學生思維差異和學習內容特點的影響，表征圖形的選擇與使用也能體現出思維水平的差異。思維水平越高，數形演繹能力越強，圖形語言運用更加精簡準確，數學本質展現也更為生動具體。因此，教師在培養學生有意數形結合時，應注重優化多種表征方法，豐富抽象內涵，以此培養圖形表征能力。
具體教學中，直觀表征抽象化一般包括兩種情況。
留學生可以運用形聲字識字法來減少錯別字。當遇到形近字和讀音相近的字時，可以通過形符來判斷正誤。如：“無禮謾罵”這個詞語中的“謾”會與“漫”產生混淆，原因是“謾”與“漫”形近而且又是同音字。留學生可以通過形符來判斷二者，由于“無禮謾罵”是跟語言有關，所以應該用帶有形符“讠”的“謾”。而“漫”的形符是“氵”，跟水有關。從這例子可以看出，形符能夠幫助學生們正確的辨別形近和讀音相近的字。
圖1 圖示二分之一
同一個表征對象，思維差異會導致表征外顯成果不盡相同。在交流中比較各種外顯成果，舍棄它們中的相異因素而提取和純化相同屬性，進行抽象概括形成概念，達成直觀表征抽象化目的。教學蘇教版三年級上冊“認識二分之 一”時，在演示切蛋糕的過程后，教師提出“你能想辦法表示出二分之一個嗎”，鼓勵學生自主創造。學生展示作品大致分為四種情況(見圖1)。從圖1可知，創造的圖形越寫實，思維水平越低，對概念的理解仍停留在表象上；創造的圖形越抽象，思維水平就越高，易于觸摸數學本質，方便概念的建立。此時要及時組織學生觀察比較作品，說一說更贊同哪一種方法，先初步感受圖形抽象的價值，再鼓勵學生找一找表示其他物體二分之一的例子，然后再次對比作品，思考“用誰表示二分之一更合適呢”，體會簡潔的圖形其表征內涵更具有一般性，培養學生圖形抽象的能力。抽象圖形是將圖形語言從低級向高級援引的過程，也是直觀表征抽象化的過程。
圖2 圖示長度、面積、體積各單位關系
圖3 圖示運算律
運用圖形語言表達一組數學概念間的關系，思維差異會導致表征外顯相同而表征內涵不同。可對比一組表征對象，尋找它們之間相關屬性和概念進行借用或參照，用以發現和表示概念間的區別與聯系，豐富圖形語言的內涵，提高學生圖形表征的能力。蘇教版六年級上冊體積單元有尋求“長度單位、面積單位和體積單位之間的關系”習題。六年級學生能基于對每一個概念的理解，分別選擇線段、正方形和正方體進行表征(見圖2)，而這三者之間的關系雖然與基于它們所建立的圖形外部特征距離較近，存在直接的對應關系，但學生的思維差異造成解讀圖形語言能力的高低。有的學生只能發現“長度單位用來計量線段長短、面積用來計量平面圖形大小、體積單位用來計量物體所占空間大小以及它們各自相鄰進率”，有的學生不僅能表述各自屬性和特征，還能發現三者之間在實際應用中存在一一對應關系。同樣在蘇教版四年級下冊“運算律整理”這一課中，啟發學生運用圖形表征運算律和運算性質(見圖3)，雖然表征對象各不相同，但是它們本質屬性與各自圖形外部特征一致，能夠幫助學生根據圖形將運算律分類；而它們的本質屬性又與圖形表征的“結果相等而運算順序不同”這一內涵相符，這種直接的對應關系能夠幫助學生深刻理解運算律。教學中教師提出“觀察這組圖形你發現了什么”，大多數學生能發現“加法運算律和減法性質只要用線段圖就可以表示、乘法運算律必須借助長方形或長方體表示”，少部分學生還能發現“它們的運算順序不同而結果相等”。同一組圖形其表征內涵的解讀并不相同，前者形象思維占主導，后者抽象思維占主導。因此，教師必須引導學生充分感知圖形語言的內涵，體會圖形表征的價值。
用組圖表征概念間的關系是數形結合思想方法的高級形式，是點思維向線思維發展的標志。學生雖然能用圖形表征每個對象，但是未必清晰一組對象之間隱含的關系。因此，培養學生圖形語言交流能力，必須引導學生從關注獨立的表征對象轉變為關注一組表征對象，通過觀察對比圖形，對應各自概念之間的相關性。這一直觀表征抽象化的過程，是培養學生圖形表征能力的有效途徑。
“遷移是指學生的學習經驗對以后的學習產生影響及其將所學到知識應用于實踐的心理活動過程”[2]。因此，實際教學中可以借助“遷移”來發展學生圖形表征能力。
綜上所述，相關政府部門應當加強建筑產業現代化發展相關政策制度的貫徹落實，建筑企業應有效提高技術創新能力，提高建筑企業相關從業人員的專業技能和綜合素質，搭建高效的互聯網交易平臺。
遷移的發生需要前提條件，只有“新舊兩種知識或兩種同類技能、能力，若有共同思維要素(或思維活動方式、方法)，這時就能產生遷移”[3]，共性越多，遷移就越容易。教師在激發了學生圖形表征數學思維的潛能后，應在教學中抓住契機，為學生創設運用圖形語言交流的情境，鼓勵他們借助已有經驗進行遷移，自主創設圖形表征各種復雜抽象的概念，既能向他人傳遞圖形表征的內涵，也能夠解讀他人的圖形語言。
團隊輿論是為多數人贊同的言論，公平、公正、健康向上的團隊輿論是團隊賴以生存的前提，對隊員的言行有強烈的影響力。隊員平時的訓練、游戲、比賽能流露與表現其思想，年輕教師要善于抓住好的或不良的現象，及時進行針對性的集體教育與個別教育，加強隊員人生觀、價值觀教育的同時，充分利用團隊合作培養隊員的團隊精神。如足球、籃球、排球的分組賽、男女混全異程接力賽、校園團隊越野賽、“信任背摔”接力賽、“有軌電車”接力賽等，既培養隊員團結協作的團隊精神又可加強公正、公平的勝負觀，集體觀。通過隊員身邊的典型例子，因勢利導，牢牢掌控好團隊健康、陽光、正氣的輿論主動權，培養良好的訓風、賽風、隊風，增強團隊凝聚力。
圖形語言潛存于學生數學語言系統中，一旦被激發，就會爆發出強大的潛能。教師要根據知識間的聯系，抓住共性要素創設問題情境，促使圖形表征技能產生遷移，并確保遷移活動的可操作性。以蘇教版四年級下冊“運算律的整理”為例。在教學運算律新授課時，是通過觀察具有同等形式規律的等式，采用不完全歸納法概括出來的，致使學生缺乏對運算律的深刻理解。因此在整理運算律時，可啟發學生將數、形結合，運用圖形表征法更能把握運算律本質。由于加法運算律和減法性質在知識技能和思維方式方法上有諸多共性因素，都可以用線段圖表示，這樣就促成圖形表征技能的遷移條件。教師首先提出“除了能用字母表示運算律還可能用什么方法呢”，引發學生數形結合表征意識。鼓勵學生從最簡單的加法交換律開始聯想，通過討論交流，畫出線段圖(見圖4)，并提出“為什么可以用這幅圖形表示加法交換律”，以此充分理解圖形表征的意義，體會其表征數學概念的直觀性，積累圖形表征運算律經驗。在此基礎上啟發學生“還能想辦法表示其他的運算律嗎”，學生通過遷移加法交換律圖形表征經驗，能夠畫線段圖表示加法結合律(見圖5)及衍生的減法性質(見圖6)。再鼓勵學生“想一想乘法運算律可以怎樣表示呢”，此時，學生在操作中遷移“畫線段圖表征”的經驗遇阻，轉而繼續運用“畫圖表征”經驗尋求其他圖形表征，最終發現乘法運算律可以借助長方形或正方體表示(見圖7)。反觀這一教學過程，遷移絕不是簡單的復制，而是借助已有經驗并融合新的思考進行的創新思維活動。
內燃機的余熱形式為煙氣、冷卻水，其中煙氣溫度400～600℃，缸套冷卻水80～110℃，中冷器、潤滑油冷卻水40～65℃。余熱利用可考慮回收煙氣和各部件冷卻水用于制冷或供熱。
圖4 圖示加法交換律
圖5 圖示加法結合律
圖6 圖示減法性質
圖7 圖示乘法算律
圖8 圖示除數是整十數的口算算理
豐富的內涵是語言存在的意義。圖形表征經驗的遷移不單純表現在外顯的表征技能上，其內涵也能夠借助思維活動產生遷移。以蘇教版四年級上冊“兩、三位數除以整十數口算”為例。教材創設具體情境列出算式60÷20，其意圖是想讓學生借助表內除法的商進行類推，由于算理過于抽象，能夠想到的學生極少。即使在教師提示下進行表內除法聯想，很多學生只是從形式上推導出6÷2=3，所以得出60÷20=30，但他們憑著數感很快就會推翻結論，有少數學生憑著數學直覺完成推導而無法給出理由。此處應尊重學生的認知水平，巧用圖形語言表達算理并進行適度遷移，將抽象算理直觀化，高效解讀數學語言，促進思維發展。在學生提出“因為6÷2=3所以60÷20=3”時，教師要及時追問“為什么可以這樣想呢”，顯然學生是疑惑的。教師提示“先想一想6除以2為什么等于3？能用圖形表示出來嗎？”學生從一年級就借助小棒認識整數及整數四則運算，因此他們會用分小棒(見圖8)表示“6里面有3個2”。教師啟發學生思考“如果只有這6根小棒，能表示出60÷20的過程嗎？”學生獨立思考后全班交流得出：既能把1根小棒看作1個一，也可以看作1個十，6根小棒就是6個十，每2根一份，就表示60÷20，和6÷2一樣得到3份。還可以把1根小棒看作一個百、一個千……借助直觀圖，把6÷2=3和60÷20=3的計數單位聯系起來，理解了算理自然就掌握了算法。這里將一根小棒表示的計數單位逐級拓展的過程，就是圖形語言內涵的遷移過程。
其中,r為無風險利率;q為股息收益率;σ是波動率;W(t)是一個維納過程,N(t)是與W(t)獨立且強度為λ的Poisson過程;J(t)是t時刻標的資產價格隨機跳的相對高度,滿足由文獻[14]可知Merton跳-擴散模型的特征函數為
那天之后，她仍舊戴墨鏡，上班下班，和我一起吃飯。林全照樣在不固定的時間來找她，但與我，總沒有說一句話。我想現在這樣的狀態挺好的，在這個城市，慢慢與一個人熟起來，就像不再把自己隔在銅墻鐵壁之間。偶爾林全會留下來吃飯，我便和黃玲一起烹飪，仨人在燈下吃著暖暖的飯菜，常常會喝一杯。
圖形語言外顯為圖形的操作，內顯為表征意義。實際上，在選擇恰當的圖形語言進行表征的時候，這兩者是無法截然分開的，它們是一個有機的整體。表征的意義附著在圖形中，才使得圖形具有語言表征的作用；如果圖形無法表征需要的意義，也就不具備圖形語言的表征作用。因此，當圖形表征經驗發生遷移時，操作技能和抽象內涵兩者同時發生作用，只是根據實際情況各自側重不同。
要提高圖形表征能力，必須培養圖形語言應用意識，要使學生從圖形表征的角度發現問題和提出問題，能應用圖形表征并解決問題，從而增強圖形表征的應用意識，提高圖形表征的實踐能力。學習圖形表征的目的就是會用圖形轉譯數學語言便于交流，在解決實際問題中充分發揮作用。
學生在應用過程中會主動運用圖形表征數學并自覺發生甄別和遴選的思維活動，活動結果直接指向“用怎樣的圖形解決怎樣的問題”。對自主選擇的圖形表征數學語言進行分析歸類，可形成圖形表征應用策略的過程，是圖形表征技能的高階思維表現。應用意識是一種自發的思維活動。因此，教學中必須營造能讓學生自發產生圖形表征的強烈意愿、自主應用圖形表征數學問題以及解決問題的策略意識。
小學階段數與代數領域，除了學習整數，還認識了分數和小數。“分數是小學數學中的一個核心概念，當測量連續量不能以整數盡需要更小分割或計算中除不盡時就會產生分數，而小數是用10的乘冪為分母的分數的一種表示形式”[4]。由于小學生在實際生活中更趨向于整數的應用，因此對于分數和小數知識學習起來會有難度。教學中要以此為契機，尊重教材編寫意圖，鼓勵學生自主探究，培養應用意識(見圖9)。
圖9 小數與分數的概念及運算教材
圖9按編號順序依次是：小數的性質、分數與除法的關系、異分母分數加減法和分數乘分數，是從分數與小數領域選取的一些典型。學生在實際學習中，只要涉及分數與小數的有關概念、運算、規律及應用等知識，學生都能借助圖形表征找到答案，然后在此基礎上再探究其他數學方法。此處對圖形表征的應用，是學生自覺將數與形結合進行新知探究的一種自主意識，是主動運用圖形語言轉譯抽象數學思維的內在需求。因此，教學中不能以費時費力等理由揚棄學生的圖形表征方法，而應給予充分的肯定與支持，培養學生圖形表征應用意識和策略意識，讓學生的思維發展拾級而上。
談及圖形表征的策略意識，不得不提圖形語言在解決實際問題中的特定價值，其中線段圖最為典型。線段圖把數字和圖形結合起來，可以幫助學生理解條件與條件、條件和問題之間的聯系，通過圖形的直觀性更容易找到解題的思路。
圖10是蘇教版三年級教材安排解決問題策略單元的例2以及隨后的想想做做，學生第一次接觸線段圖，體會到圖形表征是數學的另一種語言，在其后解決問題中發揮重要作用。而要將圖形語言主動應用到問題解決中，一方面需要積累豐富的經驗形成個人方法，另一方面需要體會其特定的價值形成策略意識。蘇教版四年級下冊專門設置了“畫線段圖解決問題”(見圖11)。此部分內容就是為了讓學生充分感受線段圖在解決問題中存在的意義：即能直觀表征隱含的數量關系，從而幫助學生分析數量關系確定解題思路，正確解決問題。讓學生在應用中感受策略的價值，從而培養主動應用意識。
圖10 蘇教版三下解決問題策略例2
圖11 蘇教版四下解決問題策略例1
當然，圖形表征方法不僅存在于數與代數領域，圖形與幾何、統計與概率及綜合與實踐這些領域都會用到圖形表征方法，只是在小學階段，數形結合的思想方法在分數、小數及實際應用知識領域體現明顯，也是學生常用的學習方法。
總之，圖形表征是數學交流中常用的語言形式，能夠將抽象知識直觀化，也是符合小學生認知特點的思維方法，提高圖形表征能力的實質是提高思維能力。教師要有圖形語言教學發展觀，在學習過程中抓住契機向學生介紹什么是圖形語言，并鼓勵學生大膽交流圖形語言，深刻挖掘圖形語言的內涵，感受數學本質，為學生的終身學習奠定基礎。
[參 考 文 獻]
[1] 中國大百科全書出版社編輯部.中國大百科全書：哲學Ⅱ[M].北京：中國大百科全書出版社，1985：828.
[2] 中國大百科全書出版社編輯部.中國大百科全書：心理學[M].北京：中國大百科全書出版社，1991：49.
[3] 溫寒江.學習與思維：學習中思維的全面協調可持續發展[M].北京：教學科學出版社，2010：99-104.
[4] 張天孝.現代新思維小學數學教育：分數和小數的認識與運算[M].杭州：浙江大學出版社，2017：321.
