重慶市巴蜀中學高2021屆第8次月考第20題：二項分布
高二的孩子差不多學到了這個部分，本文試圖捋順當中的相關知識。若為此，不免心生悲涼。癡迷大招，渴望奇跡，若以大招布下誘餌，定能請君入甕。奇跡之所以是奇跡，是因為它荒唐，不可理解，經不住上帝播撒在人心中的理性批判。為了緊跟時代，貼近生活，宏大的敘事在所難免。不過沒關系，敘事與題設涇渭分明，比如本題，就算跳過劃線的部分，也絲毫不會影響作答。命題者可謂挖空心思，將抽樣方法、統計圖表、用樣本估計總體、隨機變量的分布列、數字特征、超幾何分布、二項分布等網羅殆盡。但松散的結構暴露出拼湊的痕跡。頻率直方圖中，平均數、中位數和眾數是樣本集中程度的體現，考一個作為送分不會覺得不好意思。平均數——每個小矩形的面積乘以底邊中點的橫坐標之和；中位數——將平率分布直方圖分為左右面積相等的分界線的橫坐標；眾數——取最高小矩形底邊中點的橫坐標。樣本由差異明顯的幾部分構成，是分層抽樣的標志。分層抽樣是不放回抽樣，每個個體被抽到的機會相等，且按比例抽取。（1）二項分布的特點：①每次試驗中事件發生的概率相等；②各次試驗中的事件相互獨立；③每次事件有兩個可能結果。（2）超幾何分布的特點：①考察對象分為兩類；②已知各類對象的個數；③從中抽取若干個個體，考察某類個體的個數。（3）二項分布與超幾何分布的區別與聯系：①超幾何分布知道總體的容量，二項分布不需要；②超幾何分布是不放回抽樣，二項分布是有放回抽樣；③超幾何分布的概率實質是古典概型，二項分布的概率實質是相互獨立事件的概率；④當樣本容量很大時，超幾何分布可近似為二項分布。最后強調，在比較大小中若涉及指數式，則采用作商與1比較更為奏效。法2，掐頭去尾，瞞天過海，讓初學者不明就里（參見腦洞）。就算是法2，稱作“大招”也是會被鄙視的，因為它還不夠簡潔，未能達到“秒殺”的地步。“大招”最好是無腦操作。二項分布具有廣泛的應用，如有放回摸球模型，多次投擲硬幣考察正面朝上的模型，生產過程中的質量控制和抽樣方案模型等，都是二項分布的具體化。由此可得，二項分布在數學期望附近的概率值最大。這是必然，因為數學期望反映隨機變量取值的平均水平，通過大量隨機試驗，隨機變量的取值相對集中在平均水平附近。
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