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青年數學教師的專業成長（下）

(2013-09-11 15:18:16)

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三、興趣指向
    一位青年數學教師，應該具備哪些興趣？我以為，主要有五種：讀書的興趣，解題的興趣，對問題的興趣，對課賞析、優化、設計的興趣和參與教研活動的興趣.
    讀書的興趣.讀書是什么？讀書就是與智者對話，與大師對話.你讀文學評論，會發現它在告訴你，怎樣鑒賞一節課，怎樣解構一節課.你讀哲學和美學，它會告訴你，什么是教學藝術，怎樣的設計才有藝術的韻味.比如關于教學藝術的理解，我曾比較過四個概念：數學真理、教學藝術、教育旨趣和現實需要.說明它們相互作用且表現出錯位的形態.這樣的立論，在數學教學領域是一個突破.試問是誰給我這樣的啟發呢？是孫紹振先生，文學教授，是他的審美理論.你讀社會學、經濟學、科學等普及讀物，可以從比較中體會數學的特點，豐富自己的教學視野.即使是讀小說，也會給我們一些啟示.小說需要布局謀篇，起承轉合；需要設計懸念，引發沖突.這些和教學設計都是異曲同工的.甚至是一些文學大師，談起數學來，都會給我們意想不到的啟發.我們來看托爾斯泰的《戰爭與和平》是如何描述微積分的.他說：“人類的聰明才智不理解運動的絕對連續性.人類只有在他從某種運動中任意抽出若干單位來進行考察時，才逐漸理解.但是，正是由于把連續的運動任意分成不連續的單位，從而產生了人類大部分的錯誤……阿奇里斯追不上烏龜這個答案之所以荒謬，就是因為把運動任意分成若干不連續的單位，而實際上阿奇里斯和烏龜的運動卻是連續不斷的.把運動分成越來越小的單位，這樣處理，我們只能接近問題的答案，卻永遠得不到最后的答案.只有采取無窮小數……我們才能得到問題的答案.數學的一個新分支，已經有了處理無窮小數的技術，其他一些更復雜的、過去似乎無法解決的運動問題，現在都可以解決了.這種古代人所不知道的新的數學分支，用無窮小數來處理運動問題，也就是恢復了運動的重要條件，從而糾正了人類的智力由于只考察運動的個別單位而忽略運動的連續性所不能不犯的和無法避免的錯誤.”品味一下這一段描述，對我們從宏觀上把握微積分是多么重要.又比如，散文大家徐遲先生的《哥德巴赫猜想》，他對數學的欣賞，是那樣的激越人心；對數學的描述，是那樣的舉重若輕.對我們的教學，該是怎樣的教益.你讀科學發展觀，它會指引你處理教學矛盾、破解教學難題的基本思路.科學發展觀，第一要義是發展，核心是以人為本，基本要求是全面協調可持續，根本方法是統籌兼顧.站在“科學發展觀”的高度，看我們的教學研究，是何等的高屋建瓴.解決教學問題與解決政治、經濟、社會問題的思想方法其實是相通的.毫無疑問，當我們讀數學期刊時，會有很多啟示可以幫助我們解決教學中的具體問題.有時，讀一些東西，從實用的觀點論可能沒有用處，但這種無用之用往往成為大用.有人為什么可以不斷創新，有那么多見解？章建躍先生說過：判斷一位教師是否具有研究傾向的重要指標，是他自費訂閱書報的數量.這是很有見地的論斷.
    解題的興趣.數學教師要有解題的好胃口（波利亞語）.教學，一個最質樸的定義，就是把自己的經驗傳授給學生.學數學，主要的活動方式是解題.你自己沒有解題的經驗，用什么傳遞給學生？解題，具有游戲的性質.你疏離它，會覺得它索然無味；親近它，就會覺得其樂無窮.我們大概都有過這樣的經歷，被一道題所困擾，廢寢忘食，最后欣喜若狂.盡管我們無緣做出科學發現，但卻可以享受和科學發現一樣的崇高樂趣.這是數學教師特有的福分，能不能享受這種福分？則需要我們的解題自覺.
    對問題的興趣.教學中會產生很多問題，學生會提出很多問題.問題是數學的心臟，也是數學教學研究的心臟.一個缺乏問題意識的人不可能有專業上的長足進展.舉幾個例子.
    2006年武漢市中學教師晉升職稱考試，其中有這樣一道題：在中學數學教學中，我們常對一些概念“不作嚴格的定義”，或者“避免抽象地對它們下定義”，其中的理由是：________.
    面對這道題，很多人無所適從.這是教學用書中常見的句子，也是教學研討中常用的語言，我們為什么司空見慣，不去追問一下它的理由呢？數學家會說這樣的話嗎？工程師會說這樣的話嗎？普通大眾會說這樣的話嗎？都不會.這是我們數學教師的特有語言，為什么都不能觸動我們的問題意識？
    2005年的武漢市晉職考試中，有一道題：“三等分問題”被稱為古希臘的三大幾何作圖問題之一.我市某中學生在“市長熱線”中說“自己解決了三等分角問題這個難題，要求有關方面推薦發表”.“市長熱線”受理單位擬請一位數學教師予以回復.現在假定由你來回復，請給出一個不超過120字的回復意見.
    題干描述的是一個真實情節，而且“市長熱線”不只受理一次.我們暫且撇開這個問題的意義本身.不妨追問一下，這樣的問題為什么不能得到學校的回應，而上升到“市長熱線”.我們姑且不說這是一個影響數學進展的基本問題，是中學教材的背景問題，也是從事數學教育的常識問題，而是說學生為什么不去問老師，面對學生的問題教師究竟持有怎樣的態度？學生有這樣的問題，這是一個多么好的機會，傳播數學文化的機會.
    測試的結果怎樣呢？出人意料.竟有40%的人不了解這一問題的正確提法，更不知道這個問題是具有終結性結論的不可能問題.還在鼓勵學生繼續探究，說一些文不對題的話.你當然可以說，這反映了教師的基本素質.但我更愿意認為，這是缺乏問題意識的表現.在這些教師的視野中.為什么這樣的問題都不能吸引他的眼球？
    在數學教學中，有一些問題在長期地困擾著我們，你意識到了嗎？你探究過嗎？下面，我們來看一些具體的問題：
    案例1：勾股定理
    一位數學家說過：你想考驗一位教師的本事嗎？就請他講“勾股定理”.如何講呢？大致可以有這樣幾種思考：①把定理及其證明直接告訴學生；②不只是直接告訴學生，而是展示其背景，闡明其來龍去脈，突出解決的問題是：為什么要講這個定理（它的必要性），如何想到它的證明思路；③創設一種情境、一個平臺，讓學生去探究，去發現：發現什么呢？第一，面對現實問題，我們如何去解決它？由此想到建構一般關系（這個關系當然就是勾股定理）.第二，它們之間的關系是怎樣的？這里的重點也是難點在于如何找到適合學生水平而又有探索意味的途徑？如何避免探索的庸俗化？
    案例2：課題學習——鑲嵌
    這節課不同于其他課題.課本的末尾是一個指令：探索一些多邊形能否鑲嵌成平面圖案，思考為什么只有問題，沒有結論.有明確結論的問題好說，引導學生確認并把它運用到恰當的場合.沒有結論，這樣的課如何上？我們教學應該給學生什么？
    案例3：課題學習——圖案設計
    圖案設計的目的何在？設計圖案或者掌握設計圖案的技藝是不是最終目的.如果是，我們就應該突出設計的理念、設計的方法、設計的結果.如果不是，目的何在呢？我們知道，課題學習的目的應該是：發展應用數學知識解決問題的意識和能力；進一步加深對相關數學知識的理解，認識數學知識之間的聯系.由此可知，我們必須強調數學的知識；用數學知識解決問題，加深對數學知識的理解.針對數學知識，我們的教學應該體現兩個關鍵詞：應用意識，加深理解.應用有兩個方面：一是面對實際問題，尋求解決；二是面對數學知識，尋找背景.
    課本（人教版）的陳述：我們學過平移、旋轉和軸對稱，我們可以利用這些圖形中的一種進行圖案設計，還可以利用這些圖案變換的組合進行圖案設計.這是面對數學知識尋找背景的方式.
    一種設計：首先展示美麗的圖案，在學生感知的基礎上提出問題：這些圖案是如何生成的？這是面對實際問題尋找解決的方式.問題是，采用何種方式更有利于實現教學目標？
    我們再來看一個重要問題.關于（人教版）課本“23.3課題學習，圖案設計活動2”：
    在平面直角坐標系中選一點A（-3，2），作點A關于x軸的對稱點，得到點B，作點B關于y軸的對稱點，得到點C.點A與點C有什么關系？把點A的坐標換成其他數，再試一試.你能夠用對稱點坐標的關系說明你發現的規律嗎？
    可以發現，其中的規律：兩次軸對稱變換相當于一次中心對稱變換.這樣的規律，實際上是變換的運算.變換運算的思想就在這里孕育著.我們知道，變換、變換的運算，變換群，是非常重要的數學思想.像這樣處于襁褓甚至處于胚胎中的重要思想，我們應該持怎樣的態度？我們能不能在學生未來發展上埋下一顆種子？在這個我們很難用初中數學教學目標定位的問題上，是不是也應該有所作為.
    案例4：用直方圖描述數據
    有兩個關鍵問題：①什么情況下選擇直方圖描述數據；②確定怎樣的組距更恰當.前者只概括了幾種統計圖的特點，并沒有定理告訴我們該選用何種統計圖；后者只是說100個數據一般分成5～12組，也沒有公式來幫助我們計算出組距.像這樣的教學任務如何落實？一般地，沒有公式、定理支撐的數學如何教？
    案例5：一元二次方程
    方程是一個重要的概念，但“一元”“二次”是否也很重要，有沒有必要正例、反例、變式地反復追究，不斷強化.如果有必要，我們如何理解“突出本質，淡化概念”的理念；如果沒有必要呢？會不會影響概念的準確性？如果這個概念的準確性不值得追究，那么什么概念的準確性才值得追究呢？標準在哪里？事實上，值不值得追究和有沒有教育價值，并不完全是一回事.比如零指數，課標修定稿把它作為案例，不僅要了解這個規定，還要感受這個規定的合理性，它的價值又是什么呢？
    案例6：一元二次方程
    由于方程是刻畫現實數量關系的有效模型，我們的教學應該且可以從現實情境出發.先是定義，后是解法，在講解法的時候，是否還需要從現實情境出發呢？如果不需要，如何體現方程作為現實模型的價值；如果是，我們該如何延伸出后續課題呢？如果還要從現實情境出發，這個情境與前面的情境有什么不同，如果本質相同，還有必要重復嗎？
    案例7：正比例函數
    為了加深對正比例函數的理解，突出它的應用價值，且激勵學生的思維，有人設計了這樣的問題：請給出一個正比例函數，并賦予它以實際意義.要求一位學生給函數，另一位學生說實際意義.為什么有這類問題？大概是受代數式的影響.因為課程標準對代數式的要求：能解釋一些簡單代數式的實際背景和幾何意義.但作為函數，是從實際問題中抽象函數，還是先有函數再去找與之適應的問題，哪種方式更能反映數學發展的真實性呢？當然用數學理論去尋找實際應用的探索不是沒有，但那種理論一定是數學內部矛盾發展的產物，純粹是人類心智的創造，更何況那種尋找也絕不是如此具體的對號入座.其實，返璞歸真，要求學生直接去尋找那些可以用正比例函數刻畫的實際問題，可能更有意義.在這樣的尋找中，肯定有對的，也有不對的.不對的，是它不能寫成y=kx的形式，如圓面積關于半徑的函數；或者學生誤以為可以寫成，但實際不是，如物體的自然冷卻，跳傘員下落等.像這類看似微不足道實則關乎認識論的問題，我們如何看待？
    教學中常常有這樣的問題：不關注，失去嚴謹性；而過分關注，又可能偏離主題.比如正比例函數中k≠0的約定就是如此，關于定義域的討論也是.像這樣的問題，我們如何處理？數學教學肯定要強調嚴密性，但當嚴密性可能流于細節時，我們怎么辦？我們數學教師，正是伴隨這些問題成長的.
    對課賞析、優化、設計的興趣.很多人都聲稱喜歡上課.一個喜歡上課的人，一定懂得欣賞教材，因為編寫教材的往往是專家，教材和專家是相通的.他從教材所包含的內容、敘述方式中能夠體悟到一種美感，同時也深知教材局限所造成的困擾.正是這種困擾，成為創造性教學的契機.于是，我們需要重新設計，思考從開局到展開到高潮然后結局，這每一步都基于對教材的欣賞、改造以至完善；基于對教材局限性的突破，對教材時空的超越；基于對教材生命力和學生生命體合二為一的思考.這就是我們所說的備課，或曰教案設計.如果你認為教材是美的，那么教學設計就是對美的完善或者重塑.然后，你去上課.上課是什么？是一個機會，展示美的機會.在展示的過程中，由于與學生心靈的碰撞和交鋒，還可以動態生成很多意想不到的東西.當然，也會有一些遺憾.因為動態生成，我們才會被感動，因為有遺憾，我們才會不斷追求.因此，我們喜歡上課.如果你喜歡上課了，也就進入了教學人生的良性循環.
    參與教研活動的興趣.教研活動是數學教師的盛宴.我們聽說過“半部《論語》治天下”，你知道《論語》的第一句話是什么嗎？“有朋自遠方來，不亦樂乎？”有朋自遠方來，有什么可高興的呢？是因為有共同的旨趣和共同的話題.教學研究，既需要書桌前的深思，更需要講臺上的歷練，也需要同行間的行走.“三人行，必有我師焉.”這個“行”是不能忽略的.有人問我，你的很多想法是如何生成的？應該說，有很多原因，但重要的一條是“行”的結果.走進每一位教師的課堂，我都會有收獲.“數學要以大師為師”，而教研卻可能不是.我真切地認為，第一線的教師，有的年事較高，有的非常年輕，他們才是我真正的老師.是他們給我提出了問題，又敦促我去思考；是他們用自己的課，為我提供了現實的素材和研究的路徑.我和每一位教師一樣，都需要教研活動的滋養.
    我們已列舉了五項興趣.在所有這些興趣中，貫穿著一條主線：就是關注學生.它所表現的習慣是什么呢？我以為，就是教學手記.在我看來，一個青年教師最應該具備的良好習慣，就是堅持教學手記.因為一個堅持教學手記的人，一定是有追求的人，具有反思意識的人，也是對教育事業非常忠誠的人.堅持教學手記，就具備了研究者的基本品質，研究離不開積累.教學手記記什么？記你關于教學的思考，記你與學生交往互動所生成的閃光點，記教學設計的得與失，記情境應對的成與否，記課堂答問的異與奇，記練習簿上的妙與非.記“隨心所欲”的遐想，記“從天而降”的頓悟，記你認為該記的一切.如此而已，堅持數年，將是何等的豐富.
    現在，我要談的三個方面：關注焦點、人格特征和興趣指向，已經結束.有人可能會問，如果你所說的，我都做到了，會獲得什么呢？這個問題不屬于教學研究領域，而是社會學問題，也是許多論說，諸如《名師是如何煉成的？》《特級教師的成長之路》等樂意回答的問題，請允許我暫付闕如吧.
    我不能給追問者任何承諾，只能衷心祝愿：愿我們境界更高些，人格更完美些，生命更有意義些.不論在太陽底下如何，我們心中都有一輪太陽，照耀著我們永續成長.哪怕，這是一張空頭支票，但內心一定是充實的.^
【原文出處】《中學數學教學參考》(西安)2011年11中期第2～4頁

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