分形理論是當(dāng)今世界十分風(fēng)靡和活躍的新理論、新學(xué)科。分形的概念是美籍?dāng)?shù)學(xué)家曼德布羅特(B.B.Mandelbort)首先提出的。1967年他在美國權(quán)威的《科學(xué)》雜志上發(fā)表了題為《英國的海岸線有多長?》的著名論文。海岸線作為曲線,其特征是極不規(guī)則、極不光滑的,呈現(xiàn)極其蜿蜒復(fù)雜的變化。我們不能從形狀和結(jié)構(gòu)上區(qū)分這部分海岸與那部分海岸有什么本質(zhì)的不同,這種幾乎同樣程度的不規(guī)則性和復(fù)雜性,說明海岸線在形貌上是自相似的,也就是局部形態(tài)和整體形態(tài)的相似。在沒有建筑物或其他東西作為參照物時,在空中拍攝的100公里長的海岸線與放大了的10公里長海岸線的兩張照片,看上去會十分相似。事實上,具有自相似性的形態(tài)廣泛存在于自然界中,如:連綿的山川、飄浮的云朵、巖石的斷裂口、布朗粒子運動的軌跡、樹冠、花菜、大腦皮層……曼德布羅特把這些部分與整體以某種方式相似的形體稱為分形(fractal)。1975年,他創(chuàng)立了分形幾何學(xué)(fractalgeometry)。在此基礎(chǔ)上,形成了研究分形性質(zhì)及其應(yīng)用的科學(xué),稱為分形理論(fractaltheory)。
自相似原則和迭代生成原則是分形理論的重要原則。它表征分形在通常的幾何變換下具有不變性,即標(biāo)度無關(guān)性。由自相似性是從不同尺度的對稱出發(fā),也就意味著遞歸。分形形體中的自相似性可以是完全相同,也可以是統(tǒng)計意義上的相似。標(biāo)準(zhǔn)的自相似分形是數(shù)學(xué)上的抽象,迭代生成無限精細(xì)的結(jié)構(gòu),如科契(Koch)雪花曲線、謝爾賓斯基(Sierpinski)地毯曲線等。這種有規(guī)分形只是少數(shù),絕大部分分形是統(tǒng)計意義上的無規(guī)分形。
分維,作為分形的定量表征和基本參數(shù),是分形理論的又一重要原則。分維,又稱分形維或分?jǐn)?shù)維,通常用分?jǐn)?shù)或帶小數(shù)點的數(shù)表示。長期以來人們習(xí)慣于將點定義為零維,直線為一維,平面為二維,空間為三維,愛因斯坦在相對論中引入時間維,就形成四維時空。對某一問題給予多方面的考慮,可建立高維空間,但都是整數(shù)維。在數(shù)學(xué)上,把歐氏空間的幾何對象連續(xù)地拉伸、壓縮、扭曲,維數(shù)也不變,這就是拓?fù)渚S數(shù)。然而,這種傳統(tǒng)的維數(shù)觀受到了挑戰(zhàn)。曼德布羅特曾描述過一個繩球的維數(shù):從很遠(yuǎn)的距離觀察這個繩球,可看作一點(零維);從較近的距離觀察,它充滿了一個球形空間(三維);再近一些,就看到了繩子(一維);再向微觀深入,繩子又變成了三維的柱,三維的柱又可分解成一維的纖維。那么,介于這些觀察點之間的中間狀態(tài)又如何呢?
顯然,并沒有繩球從三維對象變成一維對象的確切界限。數(shù)學(xué)家豪斯道夫(Hausdoff)在1919年提出了連續(xù)空間的概念,也就是空間維數(shù)是可以連續(xù)變化的,它可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù),稱為豪斯道夫維數(shù)。記作Df,一般的表達(dá)式為:K=LDf,也作K=(1/L)-Df,取對數(shù)并整理得Df=lnK/lnL,其中L為某客體沿其每個獨立方向皆擴(kuò)大的倍數(shù),K為得到的新客體是原客體的倍數(shù)。顯然,Df在一般情況下是一個分?jǐn)?shù)。因此,曼德布羅特也把分形定義為豪斯道夫維數(shù)大于或等于拓?fù)渚S數(shù)的集合。英國的海岸線為什么測不準(zhǔn)?因為歐氏一維測度與海岸線的維數(shù)不一致。根據(jù)曼德布羅特的計算,英國海岸線的維數(shù)為1.26。有了分維,海岸線的長度就確定了。
分形理論既是非線性科學(xué)的前沿和重要分支,又是一門新興的橫斷學(xué)科。作為一種方法論和認(rèn)識論,其啟示是多方面的:一是分形整體與局部形態(tài)的相似,啟發(fā)人們通過認(rèn)識部分來認(rèn)識整體,從有限中認(rèn)識無限;二是分形揭示了介于整體與部分、有序與無序、復(fù)雜與簡單之間的新形態(tài)、新秩序;三是分形從一特定層面揭示了世界普遍聯(lián)系和統(tǒng)一的圖景
