多年來人們提出了各種各樣的關于改進教師培養工作的建議。下面是我所知道的幾個。我肯定還有許多其它的，本刊是討論這一領域中的各種改進方法的地方。
第一個例子是大約三十年前的了。1972年我參加了已故的Ken Ireland 在Bowdoin學院舉辦的一個暑期課程（人稱Ireland- Rosen暑期課程）。它對我的一生影響極大。Ireland 的前提是，初等數學中有許多著名的結果已經成了“熟調子”。它們有的可以追溯到希臘，有的則來自算術和數論，有的則與經典的代數和分析有關（例如尺規作圖的不可能性以及π的超越性）。說它們是熟調子，是因為絕大多數教師都知道其結果的陳述，但極少有人知道其證明或其歷史。開這門課程目的就在于改進這一點。在六個星期很緊的課程中，Ireland給我們講了理解這些著名結果的證明所需的數學背景知識，講了它們之間的聯系以及它們在數學歷史中的地位。課程的基礎是大約200個問題，一組一組地提出來，然后輔以每天的講課，這些課程絕非說教，而且從此改變了我對什么是有效的教學的想法。令人吃驚的是這些課程竟然如此超前。鼓勵我們一起作題（甚至幾個人合作一份卷子也可以），這種作法在當時真是聞所未聞，在今天卻是數學教育改革運動的亮點了。講課的目的是告訴我們想要在這些問題上有所進展所需的聯系，而不是給我們解題的模板。這種強調“教師只是輔導”的做法是今天教育改革的另一重點，而我記得在1972年，它對我們中許多人是何等的使人不安。這個暑期使我得到一種想法，圍繞著中學數學的基礎問題，采用一種以研究問題引路的教學方式，可以組織起很有分量的數學課程。
下一個例子也很老了。它的家譜要追到四十年前Ohio州立大學的 Rose計劃。后來Glenn Stevens 和David Fried 還有Majory Baruch 和Steve Rosenberg把這個計劃的改進版移植到Boston大學，稱為“青年科學家數學教學計劃” 即 PROMYS (Program In Mathematics for Young Scientists， 從下文看這似乎是一個為中學生開設的所謂理科班——譯者注)已經搞了十年了。一直有教師（優秀教師和實習教師都有）在參加這個計劃，連續兩個暑期，每年花六個星期，沉浸在數論和其它數學學科中。對于教師，這種計劃是一個絕好的例子，說明浸潤在數學中對于教師的培養和在職提高是如何有效。這個計劃圍繞著三個活動：
1. 授課。由教師講一門很重的數論課，和中學生一起聽，為時六周。和Ireland的課一樣，它以問題為中心：把一組精心選擇的問題一天一循環地發出，評分再收回。Stevens每天上午上課。但是正如他所說的，“我注意到，一個問題除非人們已經為它苦干了三天，我是不會去討論的?！?/span>
2. 研究工作。細心組織關于數論的研究工作。問題的選擇應能獲得確定的結果。為能作到這一點，每個教師和三個學生參加同一個研究計劃。給參加者一些提示（在PROMYS中，稱為“思路圈”），參加者利用它來在整個暑期中計劃與實行這個研究項目。這些項目很容易入手，但是可能（而且時常如此）引導到很新很高深的領域。
3. 學年討論班。在兩個暑期之間，教師們要在教育發展中心（Education Development Center,即作者的工作單位）參加一個為期五天的全天討論班，討論如何把PROMYS的經驗變為課堂教學的實踐。我們在尋找PROMYS的主題與中學數學的聯系。我們也在尋找讓學生在教師講課以前就能自己鉆研問題的教學方式。
教師們都感到PROMYS的經驗是無法抗拒的。他們看到了，做真正的數學是怎么一回事——這就是總是處在您所懂得的東西的邊緣，要做的事總比您所能做到的事多得多，幾乎總是從不知什么地方冒出來神秘的啟示。為了解決這里會出現的麻煩事，建立了廣泛的支持機構?？傆写髮W生或研究生在旁咨詢，上習題課，教授們也隨時幫助。三個星期以后，絕大多數參加者覺得有了一個轉折，他們開始像真正的數學家那樣工作。他們對于數學究竟是什么開始有了一個看法，這會幫助一個教師克服我在前面提到的那些問題。
上述兩個例子都有一個占便宜的地方,即都不受學年制中學期和課程安排的影響.但是即令受此限制,也有人在試驗非常有創造性的辦法.
伍鴻熙為那些不打算讀研究生的學生建立了一套設計數學課程
的原則.這些原則包括了許多用以解決前述問題的辦法.
在大學課程的主題與中學課程的主題之間建立起明顯的聯系.
把這些主題放到其歷史背景下去講.
通過概述與通俗講演把這些主題放到更廣闊的數學背景下去講.
利用各種機會給出研究這些主題的動機.
伍鴻熙在伯克利為主修數學的高年級學生開的幾門課程中實行這一整套原則取得相當的成功.以他的代數課為例,在幫助優秀的教師把中學代數與作為一個分支的代數上走了很長一段路.
Bill McCallum口頭告訴我他在Arizona大學用 David Gay和 Fred Stevenson 寫的教本所開的一門課。那些打算以后教中學的大學生不學抽象代數和分析，而改學兩門新課：
數論與近世代數引論。從自然數講起，一直到實數系的建立。其中，學生要考慮十 進展開的理論，要去找代數曲線上的有理點，還要研究實數的各種表示法。這門課程然后就給學生很廣泛的研究題目以供選擇，從Fibonacci數直到連分數。
幾何專題。我看這門課就象一本每個中學教師都應放在背包里的東西的目錄：量與測量，多面體，最短路徑問題，萬花筒，對稱，等周問題，都考慮到了。
Joe Rotman開了一門課（還寫了教材）用于Chicago大學讓學生對于研究數學究竟是在做什么有一個廣泛的了解。這門課程一開始是用數學歸納法證明關于二項系數的結果，幫助學生對于寫出證明具有信心。Rotman相信，學生需要的并不是列出那些為真，那些不真，而是要有時間來發展寫出有說服力的證明的本事，于是，他在自己的課程中花了大量時間讓學生去閱讀證明，評論它們，發展它們，最后把證明寫出來。課程的核心也討論了序列的收斂性和復數代數。附加的主題則有Pythagoras數組，圓和圓錐截線的參數，對π的討論則到證明其無理性，還有三次和四次方程式。
這些想法，課程，和例子都非常不同，但都有幾個特點，而它們對于培養高質量的中學教師都是至為重要的：
它們都有一個很協調的計劃和集中的目標。
它們都把數學表述為一種您去做的而不是您去記憶的東西。
它們都強調做研究的數學家的思維和心智的習慣，而且講得很明確。
它們都把學生帶到數學的文化中，這種文化有自己的歷史，自己的審美觀，自己的優美，甚至自己的幽默。
它們都強調師生互動。
問題先于抽象，經驗先于公理系統，而學生的思考則是工作的中心。
每當我列出這樣一個單子時，我總奇怪，為什么不把這作為每個學數學的大學生必備的經驗？ 在美國，設計數學教學計劃時，總慣于列出要學的主題的清單。我們很會做這種事。到處都能找到很合理的清單。我在本文中想要爭論的是，如果我們不能把做數學的精神傳遞給打算教數學的人，這種清單大概不會是有用的。
概括地說，我想提出這樣的看法：幾何是數學中這樣的一個部分，其中視覺思維占主導地位，而代數則是數學中有序思維占主導地位的部分。這種區分也許用另一對詞刻畫更好，即“洞察”對“嚴格”，兩者在真正的數學研究中都起著本質的作用。
它們在教育中的意義也是清楚的。我們的目標應是培養學生發展這兩種思維模式，過分強調一種而損害另一種是錯誤的。……我力圖講清的要點是，幾何并不只是數學的一個分支，而是一種思維方式，它滲入數學的所有分支。
我對幾何作用的減少感到遺憾的另一個理由是，幾何直覺仍是增進數學理解力的很有效的途徑，而且它可以使人增加勇氣，提高修養。需知我不是強要別人增加任何一門幾何課。我只是請求盡可能廣地應用各種水平的幾何思想。
M . 阿蒂亞著， 數學家思想文庫之一 《數學的統一性》
任何數學都要講邏輯推理，但這只是問題的一個方面，更重要的是用數學去解決問題，解決日常生活中，其他學科中出現的數學問題。……這就要培養學生的創造能力，學會處理各種實際數學問題的方法，但要做到這一點，光憑邏輯推理是不夠的。
當然，我不是否認邏輯推理的重要性。一旦把幾個重要的原理確定下來，我們還是要一步一步地嚴格論證，從原理出發，推出那些幾何學命題和結論。另一方面，幾何學有形象化的好處，幾何會給人以數學直覺。不能把幾何學等同于邏輯推理。應該訓練學生的邏輯推理能力，但也應適可而止。只會推理，缺乏數學直覺，是不會有創造性的。
——吳文俊，數學教育不能從培養數學家的要求出發，《面向21世紀的中國數學教育》，
