第三章 導數 章節復習
二. 本周教學重難點：
【典型例題】
[例1] 求下列函數的導數
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
解：
（1）令
則
（2）∵
∴
（3）
（4）對于
∵
兩邊取導數得
∴
∴
（5）∵
∴
[例2] 求過曲線上的點，且與過這點的切線垂直的直線的方程。
解：由，得
∴ 曲線在點的切線的斜率是
故所求直線的斜率為
∴ 所求直線的方程為
即
[例3] 求函數的單調區間
解：的定義域為
由，得或
由，得或
∴ 的單調增區間是和，單調減區間和
[例4] 已知函數在處有極值，其圖象在處的切線平行于直線，試求函數的極大值與極小值的差。
解：
由于在處有極值 ∴
即 ①
又 ∵ ∴ ②
由①②得
∴
令，得
由于在，時，
時，
∴ 是極大值，是極小值 ∴
[例5] 已知函數在R上是減函數，求的取值范圍。
解：求函數的導數：
（1）當時，是減函數
且
所以，當時，由，知是減函數
（2）當時，
由函數在R上的單調性，可知當時，是減函數
（3）當時，在R上存在一個區間，其上有
所以，當時，函數不是減函數
綜上所述，所求的取值范圍是
[例6] 已知函數在處取得極值。
（1）討論和是函數的極大值還是極小值；
（2）過點A（0，16）作曲線的切線，求此切線方程。
解：
（1）
依題意，，即
解得
∴ ，
令，得
若，則
故在上是增函數
在上是增函數
若，則
故在上是減函數
所以是極大值，是極小值
（2）曲線方程為
點A（0，16）不在曲線上
設切點為M（），則點M的坐標滿足
因，故切線的方程為
注意到點A（0，16）在切線上，有
化簡得，解得
所以，切點為M（），切線方程為
[例7] 若函數在區間（1，4）內為減函數，在區間（6，+）上為增函數，試求實數的取值范圍。
解：函數的導數，令
解得或
當即時，函數在（1，+）上為增函數，不合題意
當即時，函數在（）上為增函數，在（1，）內為減函數，在（，+）上為增函數
依題意應有當時，
當時，0
所以，解得
所以的取值范圍是[5，7]
[例8] 某廠生產某種產品件的總成本C（）=（萬元），又知產品單價的平方與產品件數成反比，生產100件這樣的產品單價為50萬元，問產量定為多少時總利潤最大？
解：設單價為，由題意，
當時，
∴
∴ ，即
∴ 總利潤
令
∴ ，解得
當時，；當時，
∴ 當時，有最大值
答：當產量為25萬件時，總利潤最大。
【模擬試題】
一. 選擇題
1. 函數在內（ ）
A. 只有最大值 B. 只有最小值
C. 只有最大值或只有最小值 D. 既有最大值又有最小值
2. 已知，函數在上是單調減函數，則的最大值為（ ）
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
3. 若函數在處有最值，那么等于（ ）
A. 2 B. 1 C. D. 0
4. 設在上可導，且，則當時，有（ ）
A.
B.
C.
D.
5. 在函數的圖象上，其切線的傾斜角小于的點中，坐標為整數的點的個數是（ ）
A. 3 B. 2 C. 1 D. 0
6. 函數（為常數）在上有最大值3，那么此函數在上的最小值為（ ）
A. B. C. D. 以上都不對
7. 若函數在區間內單調遞增，則的取值范圍是（ ）
A. B. C. D.
8. 函數在閉區間上的最大值、最小值分別是（ ）
A. B. C. D.
二. 解答題
1. 已知向量，若函數在區間（）上是增函數，求的取值范圍。
2. 已知函數在[2，4]上是增函數，求的取值范圍。
3. 已知
（1）求的單調區間和值域；
（2）設，函數，若對于任意，總存在，使得成立，求的取值范圍。
【試題答案】
一.
1. D
2. C
解析：由題知，∴ ，又，∴ 的最大值為3
3. A
解析：
由題意，，即 ∴
4. C
解析：因為在[]上可導，且
所以
即有，則有成立，故選C
5. D
解析：，由題意知，即
∴ 不可能為整數，整點個數為0，選D。
6. A
解析：，由，得
而當時，
時，
∴ 當時，取最大值
即=
∴
又，故
7. B
解析：設，則
① 當時，在區間內單調遞增，則在上單調遞減
即當時恒有
∴
② 當時，在區間上單調遞增，則在上單調遞增
即當時恒有，與矛盾
③ 當時，符合題意 ∴ ，選B
8. C
解析：用導數法解，先求極值，再求最值，令，得
，
∴ 最大值為3，最小值為
二.
1. 解：依定義
則
若在上是增函數
則在上可設
∴ 在區間上恒成立
考慮函數，由于的圖象是對稱軸為且開口向上的拋物線，故要使在區間上恒成立，即
而當時，在上滿足
即在上是增函數
故的取值范圍是
2. 解：令 ∵
在[2，4]上有意義且
∴ ，即
∵ 在[2，4]上為增函數及
∴ ，或在[2，4]上恒成立
∴ 或
解得或，又 ∴
即的取值范圍為（）
3. 解：
（1）對函數求導，得
，解得或
當變化時，的變化情況如下表：
| 0 | （0， |
| （ | 1 |
|
| － | 0 | + |
|
|
|
|
|
|
|
所以，當時，是減函數
當時，是增函數
當時，的值域為
（2）對函數求導，得
因為，當時，
因此當時，為減函數
從而當時，有
又，，即當時有
任給，
存在使得，則
即
解①式得或 解②式得
又，故的取值范圍為
