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添輔助線求面積（一）

【例題分析】

一. 閱讀思考

    例1. 圖中線段AF與平行四邊形ABCD的CD邊交于E點(diǎn)，如果三角形DEF的面積為6平方厘米，請(qǐng)你算一算三角形BCE的面積。

    分析與解答：從原圖上看，三角形DEF和三角形BCE之間沒(méi)有任何聯(lián)系。如果能借助第三個(gè)圖形，使它們聯(lián)系起來(lái)就可以使問(wèn)題得到解決。這時(shí)，我們就要添“輔助線”來(lái)幫助解決問(wèn)題。但是，輔助線不能亂添，如果添上后不能使兩個(gè)三角形產(chǎn)生聯(lián)系，就沒(méi)有意義了。

    從圖中可以看出ABCD是平行四邊形，所以AB與CD平行，AD和BC平行。如果我們連接A和C，就可以看出：

    所以

    所以

    例2. 在下圖中，四邊形ABCD的對(duì)角線AC和BD相交于E，AF＝CE，DE＝BG，如果四邊形ABCD的面積是25平方厘米，請(qǐng)算算三角形EFG的面積。

    分析與解答：從圖中可以看出，AC和BD把四邊形分成了四個(gè)三角形，我們可以添上輔助線，來(lái)利用“三角形等底等高面積相等”這一關(guān)系。

    連接AG和CG

    因?yàn)?/span>DE＝BG，所以

    又因?yàn)?/span>

    也就是說(shuō)，

    例3. 在平行四邊形ABCD中，AC為對(duì)角線，EF平行AC。如果三角形AED的面積為10平方厘米，求三角形CDF的面積。

    分析與解答：既然是求三角形的面積，我們就應(yīng)該利用“三角形”等底等高面積相等這一知識(shí)。

    通過(guò)連接AF和CE，可以看出

    又因?yàn)?/span>

    所以

    所以三角形CDF和三角形AED的面積相等，都是10平方厘米。

    同學(xué)們，你們能想出一個(gè)更簡(jiǎn)便的思路嗎？

    例4. 在三角形ADE中，BD＝3AB，CE＝5AC，求三角形ADE是三角形ABC的多少倍？

    分析與解答：要解答這道題，我們可以添上一條輔助線，也就是連接BE。

    添上輔助線后，可以看出：

    所以

    同理，可知因?yàn)?/span>

    所以

二. 嘗試體驗(yàn)

  1. 在圖中，AD＝AB，BE＝2BC，CF＝3AC。如果三角形ABC的面積是4個(gè)面積單位，那么三角形DEF的面積是多少？

  2. 如圖，四邊形ABCD的面積是2平方米，AB＝AE，BC＝BF，DC＝CG，AD＝DH，求四邊形EFGH的面積。

  3. 矩形ABCD的面積是72平方分米，E、F、G分別是邊AB、BC、CD的中點(diǎn)，H為AD邊上任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積是多少？

  4. 在圖中，ABCD是邊長(zhǎng)18厘米的正方形，E和F分別是BC和CD的中點(diǎn)，DE和BF交于O。求四邊形ABOD的面積。

參考答案：

1. 在圖中，AD＝AB，BE＝2BC，CF＝3AC。如果三角形ABC的面積是4個(gè)面積單位，那么三角形DEF的面積是多少？

    答：72個(gè)面積單位

  2. 如圖，四邊形ABCD的面積是2平方米，AB＝AE，BC＝BF，DC＝CG，AD＝DH，求四邊形EFGH的面積。

    答：10平方米

  3. 矩形ABCD的面積是72平方分米，E、F、G分別是邊AB、BC、CD的中點(diǎn)，H為AD邊上任意一點(diǎn)，求陰影部分的面積是多少？

    答：36平方分米

  4. 在圖中，ABCD是邊長(zhǎng)18厘米的正方形，E和F分別是BC和CD的中點(diǎn)，DE和BF交于O。求四邊形ABOD的面積。

    答：216平方厘米

【模擬試題】（答題時(shí)間：25分鐘）

1、E是長(zhǎng)方形ABCD中AB邊的中點(diǎn)，CE和BD交于F。如果三角形EBF的面積是1平方厘米，那么長(zhǎng)方形ABCD的面積是多少平方厘米？

2、如圖所示，ABCD是7×4的長(zhǎng)方形，DEFG是10×2的長(zhǎng)方形，求三角形BCO與三角形EFO的面積之差。

3、（2004·第2屆“希望杯”）

將長(zhǎng)15厘米，寬9厘米的長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬都分成三等份，長(zhǎng)方形內(nèi)任意一點(diǎn)與分點(diǎn)及頂點(diǎn)連結(jié)，如圖所示，則陰影部分的面積是__________平方厘米。

4、如下圖所示，已知三角形ABC面積為1，延長(zhǎng)AB至D，使BD＝AB，延長(zhǎng)BC至E，使CE＝2BC，延長(zhǎng)CA至F，使AF＝3AC，求三角形DEF的面積。

【試題答案】

1、［思路剖析］

先畫(huà)出圖形，如下圖所示。

現(xiàn)在的圖形里沒(méi)有等底或等高的現(xiàn)象，需要連接一些線段，出現(xiàn)等底或等高的圖形，當(dāng)然，最好是三角形。

很容易想到連AF，出現(xiàn)了等底等高的兩個(gè)三角形△AEF、△BEF，面積都是1平方厘米。但這兩個(gè)三角形現(xiàn)在都很難與所求的長(zhǎng)方形面積有什么明顯的關(guān)系。

連AC，交BD于O點(diǎn)，注意O點(diǎn)是AC、BD的中點(diǎn)。現(xiàn)在又有了兩個(gè)等底等高三角形△AOF、△COF，只是這兩個(gè)三角形的面積現(xiàn)在不知道。

其實(shí)，△COF與△BEF面積相等，可以從兩個(gè)角度得到：

    第一，△AOB、△ACE面積都是△ABC的一半，即△AOB面積＝△ACE面積，考慮它們各自減去二者的公共部分：四邊形AOFE，剩下的部分面積仍然應(yīng)該相等，即各自剩下的是△COF與△BEF，面積相等，是1平方厘米。

    第二，觀察△COB與△BEC，如果把BC作為兩個(gè)三角形的底邊，它們就是等底三角形，再考慮相對(duì)這條底邊的高，都等于長(zhǎng)方形邊AB的一半，即高相等，△COB與△BEC是等底等高三角形，面積相等，減去共同部分△BFC，剩下的部分面積仍然應(yīng)該相等，即各自剩下的是△COF與△BEF，面積相等，是1平方厘米。

    這樣，△AOF、△AEF、△BEF面積相等，都是1平方厘米，△AOB的面積就是1＋1＋1＝3（平方厘米），很容易發(fā)現(xiàn)，所求長(zhǎng)方形面積是△AOB的面積的4倍，因此所求長(zhǎng)方形面積為3×4＝12（平方厘米）。

［解答］

    連結(jié)AF，兩個(gè)三角形△AEF、△BEF等底等高，面積都是1平方厘米。

    連結(jié)AC，交BD于O點(diǎn)，O點(diǎn)是AC、BD的中點(diǎn)。△AOF、△COF是等底等高三角形，面積相等。

    因?yàn)椤?/span>AOB、△ACE面積都是△ABC的一半（△AOB面積＝△ACE面積），各自減去四邊形AOFE，剩下的部分是△COF與△BEF，面積相等，是1平方厘米。

    △AOF、△AEF、△BEF面積相等，都是1平方厘米，△AOB的面積就是1＋1＋1＝3（平方厘米），所求長(zhǎng)方形面積是△AOB面積的4倍，因此所求長(zhǎng)方形面積為3×4＝12（平方厘米）。

    答：長(zhǎng)方形ABCD的面積是12平方厘米。

2、［思路剖析］

    直接求出三角形BCO與三角形EFO的面積之差，不太容易做到。如果利用差不變性質(zhì)，將所求面積之差轉(zhuǎn)化為另外兩個(gè)圖形的面積之差，而這兩個(gè)圖形的面積之差容易求出，那么問(wèn)題就解決了。

［解答］

    解法一：連結(jié)B、E（見(jiàn)圖1）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形BEO，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形BEC與三角形BEF的面積之差。所求為

圖1                                                         圖2

    4×（10－7）÷2－2×（10－7）÷2＝3

    解法二：連結(jié)C、F（見(jiàn)圖2）。三角形BCO與三角形EFO都加上三角形CFO，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形BCF與三角形ECF的面積之差。所求為

    4×（10－7）÷2－2×（10－7）÷2＝3

    解法三：延長(zhǎng)BC交GF于H（見(jiàn)圖1）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形COFH，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求三角形BHF與矩形CEFH的面積之差。所求為

    （4＋2）×（10－7）÷2－2×（10－7）＝3

    解法四：延長(zhǎng)AB、FE交于H（見(jiàn)圖2）。三角形BCO與三角形EFO都加上梯形BHEO，則原來(lái)的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求矩形BHEC與直角三角形BHF的面積之差。所求為

    4×（10－7）－（10－7）×（4＋2）÷2＝3

    答：三角形BCO與三角形EFO的面積之差為3。

3、［思路剖析］

分別求各陰影部分面積，再將兩部分面積相加。

［解答］

如圖所示，過(guò)所有三角形的公共頂點(diǎn)分別向長(zhǎng)方形的四條邊作垂線，它們的長(zhǎng)分別為

右上方陰影部分的面積是

所以陰影部分的總面積是

4、［思路剖析］

    本題無(wú)法直接求出三角形DEF的面積，應(yīng)找到其與三角形ABC面積之間的關(guān)系，根據(jù)BD＝AB，CE＝2BC，AF＝3AC發(fā)現(xiàn)，可以分別以BD、CE、AF為底，作與三角形ABC同高的三角形，通過(guò)觀察容易想到連結(jié)CD、AE，如下圖所示，這樣可通過(guò)各個(gè)三角形與小三角形ABC面積之間的關(guān)系，求得大三角形DEF的面積。

［解答］

連結(jié)CD、AE，如圖所示，因?yàn)椤?/span>ABC與△BDC共頂點(diǎn)C，且AB＝BD，所以

因?yàn)椤?/span>ABC與△ACE共頂點(diǎn)A，且CE＝2BC，所以

因?yàn)椤?/span>AEF與△ACE共頂點(diǎn)E，且AF＝3AC，所以

因?yàn)椤?/span>ADC與△AFD共頂點(diǎn)D，且AF＝3AC，所以

因?yàn)椤?/span>BDC與△CDE共頂點(diǎn)D，且CE＝2BC，所以

因?yàn)?/span>

答：三角形DEF的面積為18。