三角函數(shù)常見題型
二、高考要求：
了解三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解同角關(guān)系；掌握三角函數(shù)的兩角和（差）的正弦、余弦和正切；理解正余弦定理并會(huì)應(yīng)用．
【典型例題】
I、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)
三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)是高考的熱點(diǎn)，在復(fù)習(xí)時(shí)要充分運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想，把圖象和性質(zhì)結(jié)合起來．本節(jié)主要幫助考生掌握?qǐng)D象和性質(zhì)并會(huì)靈活運(yùn)用．
例1、函數(shù)的圖象為
，如下結(jié)論中正確的是 （寫出所有正確結(jié)論的編號(hào)）．
①圖象關(guān)于直線對(duì)稱；
②圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱；
③函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是增函數(shù)；
④由的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到圖象．
答案：①②③
例2、下面有五個(gè)命題：
①函數(shù)y=sin4x-cos4x的最小正周期是．
②終邊在y軸上的角的集合是{a|a=|．
③在同一坐標(biāo)系中，函數(shù)y=sinx的圖象和函數(shù)y=x的圖象有三個(gè)公共點(diǎn)．
④把函數(shù)
⑤函數(shù)
其中真命題的序號(hào)是 ① ④ （寫出所有真命題的編號(hào)）
解析：①，正確；②錯(cuò)誤；③，和在第一象限無交點(diǎn)，錯(cuò)誤；④正確；⑤錯(cuò)誤．故選①④．
例3、設(shè)z1=m+（2－m2）i，z2=cosθ+（λ+sinθ）i，其中m，λ，θ∈R，已知z1=2z2，求λ的取值范圍．
命題意圖：本題主要考查三角函數(shù)的性質(zhì)，考查考生的綜合分析問題的能力和等價(jià)轉(zhuǎn)化思想的運(yùn)用．
知識(shí)依托：主要依據(jù)等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想和二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題來解決．
錯(cuò)解分析：考生不易運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化的思想方法來解決問題．
技巧與方法：對(duì)于解法一，主要運(yùn)用消參和分離變量的方法把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題；對(duì)于解法二，主要運(yùn)用三角函數(shù)的平方關(guān)系把所求的問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題．
解法一：∵z1=2z2，
∴m+（2－m2）i=2cosθ+（2λ+2sinθ）i，∴
∴λ=1－2cos2θ－sinθ=2sin2θ－sinθ－1=2（sinθ－）2－．
當(dāng)sinθ=時(shí)，λ取最小值－，當(dāng)sinθ=－1時(shí)，λ取最大值2．
解法二：∵z1=2z2 ∴
∴，
∴=1．
∴m4－（3－4λ）m2+4λ2－8λ=0，設(shè)t=m2，則0≤t≤4，
令f（t）=t2－（3－4λ）t+4λ2－8λ，則或f（0）·f（4）≤0
∴
∴－≤λ≤0或0≤λ≤2．
∴λ的取值范圍是［－，2］．
例4、如下圖，某地一天從6時(shí)到14時(shí)的溫度變化曲線近似滿足函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b．
（1）求這段時(shí)間的最大溫差．
（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式．
命題意圖：本題以應(yīng)用題的形式考查備考中的熱點(diǎn)題型，要求考生把所學(xué)的三角函數(shù)知識(shí)與實(shí)際問題結(jié)合起來分析、思考，充分體現(xiàn)了“以能力立意”的命題原則．
知識(shí)依托：依據(jù)圖象正確寫出解析式．
錯(cuò)解分析：不易準(zhǔn)確判斷所給圖象所屬的三角函數(shù)式的各個(gè)特定系數(shù)和字母．
技巧與方法：數(shù)形結(jié)合的思想，以及運(yùn)用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式．
解：（1）由圖示，這段時(shí)間的最大溫差是30－10=20（℃）；
（2）圖中從6時(shí)到14時(shí)的圖象是函數(shù)y=Asin（ωx+φ）+b的半個(gè)周期的圖象．
∴=14－6，解得ω=，由圖示A=（30－10）=10，b=（30+10）=20，這時(shí)y=10sin（x+φ）+20，將x=6，y=10代入上式可取φ=π．綜上所求的解析式為y=10sin（x+
π）+20，x∈［6，14］．
例5、已知函數(shù)f（x）=2cosxsin（x+）－sin2x+sinxcosx
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求f（x）的最小值及取得最小值時(shí)相應(yīng)的x的值；
命題意圖：本題主要考查三角公式、周期、最值、反函數(shù)等知識(shí)，還考查計(jì)算變形能力，綜合運(yùn)用知識(shí)的能力．
知識(shí)依托：熟知三角函數(shù)公式以及三角函數(shù)的性質(zhì)、反函數(shù)等知識(shí)．
錯(cuò)解分析：在求f-－1（1）的值時(shí)易走彎路．
技巧與方法：等價(jià)轉(zhuǎn)化，逆向思維．
解：（1）f（x）=2cosxsin（x+）－sin2x+sinxcosx
=2cosx（sinxcos+cosxsin）－sin2x+sinxcosx
=2sinxcosx+cos2x=2sin（2x+）
∴f（x）的最小正周期T=π
（2）當(dāng)2x+=2kπ－，即x=kπ－（k∈Z）時(shí)，f（x）取得最小值－2．
方法歸納：
本難點(diǎn)所涉及的問題及解決的方法主要有：
1、考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的基礎(chǔ)題目，此類題目要求考生在熟練掌握三角函數(shù)圖象的基礎(chǔ)上要對(duì)三角函數(shù)的性質(zhì)靈活運(yùn)用．
2、三角函數(shù)與其他知識(shí)相結(jié)合的綜合題目，此類題目要求考生具有較強(qiáng)的分析能力和邏輯思維能力．在今后的命題趨勢(shì)中綜合性題型仍會(huì)成為熱點(diǎn)和重點(diǎn)，并可以逐漸加強(qiáng)．
3、三角函數(shù)與實(shí)際問題的綜合應(yīng)用．
此類題目要求考生具有較強(qiáng)的知識(shí)遷移能力和數(shù)學(xué)建模能力，要注意數(shù)形結(jié)合思想在解題中的應(yīng)用．
II、三角函數(shù)的式值
例6、下列各式中，值為的是（ ）
（A） （B）
（C） （D）
答案：B
例7、不查表求sin220°+cos280°+sin20°cos80°的值．
命題意圖：本題主要考查兩角和、二倍角公式及降冪求值的方法，對(duì)計(jì)算能力的要求較高．
知識(shí)依托：熟知三角公式并能靈活應(yīng)用．
錯(cuò)解分析：公式不熟，計(jì)算易出錯(cuò)．
技巧與方法：解法一利用三角公式進(jìn)行等價(jià)變形；解法二轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，使解法更簡(jiǎn)單更精妙，需認(rèn)真體會(huì)．
解法一：sin220°+cos280°+sin20°cos80°
=（1－cos40°）+（1+cos160°）+ sin20°cos80°
=1－cos40°+cos160°+sin20°cos（60°+20°）
=1－cos40°+（cos120°cos40°－sin120°sin40°）+sin20°（cos60°cos20°－sin60°sin20°）
=1－cos40°－cos40°－sin40°+sin40°－sin220°
=1－cos40°－（1－cos40°）=
解法二：設(shè)x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°
y=cos220°+sin280°－cos20°sin80°，則
x+y=1+1－sin60°=，x－y=－cos40°+cos160°+sin100°
=－2sin100°sin60°+sin100°=0
∴x=y=，即x=sin220°+cos280°+sin20°cos80°=．
例8、已知<<<，
（I）求的值．
（II）求．
分析：本題考查三角恒等變形的主要基本公式、三角函數(shù)值的符號(hào)，已知三角函數(shù)值求角以及計(jì)算能力．
解：（I）由，得
∴，于是
（II）由，得
又∵，∴
由得：
所以
例9、設(shè)關(guān)于x的函數(shù)y=2cos2x－2acosx－（2a+1）的最小值為f（a），試確定滿足f（a）=的a值，并對(duì)此時(shí)的a值求y的最大值．
命題意圖：本題主要考查最值問題、三角函數(shù)的有界性、計(jì)算能力以及較強(qiáng)的邏輯思維能力．
知識(shí)依托：二次函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題．
錯(cuò)解分析：考生不易考查三角函數(shù)的有界性，對(duì)區(qū)間的分類易出錯(cuò)．
技巧與方法：利用等價(jià)轉(zhuǎn)化把問題化歸為二次函數(shù)問題，還要用到配方法、數(shù)形結(jié)合、分類講座等．
解：由y=2（cosx－）2－及cosx∈［－1，1］得：
f（a）=
∵f（a）=，∴1－4a=a=［2，+∞
故－－2a－1=，解得：a=－1，此時(shí)，
y=2（cosx+）2+，當(dāng)cosx=1時(shí)，即x=2kπ，k∈Z，ymax=5．
●方法歸納：
本難點(diǎn)所涉及的問題以及解決的方法主要有：
1、求值問題的基本類型：1°給角求值，2°給值求值，3°給式求值，4°求函數(shù)式的最值或值域，5°化簡(jiǎn)求值．
2、技巧與方法：
1°要尋求角與角關(guān)系的特殊性，化非特殊角為特殊角，熟練準(zhǔn)確地應(yīng)用公式．
2°注意切割化弦、異角化同角、異名化同名、角的變換等常規(guī)技巧的運(yùn)用．
3°對(duì)于條件求值問題，要認(rèn)真尋找條件和結(jié)論的關(guān)系，尋找解題的突破口，很難入手的問題，可利用分析法．
4°求最值問題，常用配方法、換元法來解決．
III、三角函數(shù)的綜合運(yùn)用
三角形中的三角函數(shù)關(guān)系是歷年高考的重點(diǎn)內(nèi)容之一，本節(jié)主要幫助考生深刻理解正、余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧．
例10、在海島A上有一座海拔1千米的山，山頂設(shè)有一個(gè)觀察站P，上午11時(shí)，測(cè)得一輪船在島北30°東，俯角為60°的B處，到11時(shí)10分又測(cè)得該船在島北60°西、俯角為30°的C處．
（1）求船的航行速度是每小時(shí)多少千米；
（2）又經(jīng)過一段時(shí)間后，船到達(dá)海島的正西方向的D處，問此時(shí)船距島A有多遠(yuǎn)？
命題意圖：本題主要考查三角形基礎(chǔ)知識(shí)，以及學(xué)生的識(shí)圖能力和綜合運(yùn)用三角知識(shí)解決實(shí)際問題的能力．
知識(shí)依托：主要利用三角形的三角關(guān)系，關(guān)鍵找準(zhǔn)方位角，合理利用邊角關(guān)系．
錯(cuò)解分析：考生對(duì)方位角識(shí)別不準(zhǔn)，計(jì)算易出錯(cuò)．
技巧與方法：主要依據(jù)三角形中的邊角關(guān)系并且運(yùn)用正弦定理來解決問題．
解：（1）在Rt△PAB中，∠APB=60° PA=1，∴AB=（千米）
在Rt△PAC中，∠APC=30°，∴AC=（千米）
在△ACB中，∠CAB=30°+60°=90°
（2）∠DAC=90°－60°=30°
sinDCA=sin（180°－∠ACB）=sinACB=
sinCDA=sin（∠ACB－30°）=sinACB·cos30°－cosACB·sin30°．
在△ACD中，據(jù)正弦定理得，
∴
答：此時(shí)船距島A為千米．
例11、解不等式．
分析：本小題主要考查三角函數(shù)的基本性質(zhì)，含絕對(duì)值不等式的解法，考查基本運(yùn)算能力．
解：因?yàn)閷?duì)任意，，所以原不等式等價(jià)于．
即，，，故解為．
所以原不等式的解集為．
例12、設(shè)函數(shù)，，
其中，將的最小值記為．
（I）求的表達(dá)式；
（II）討論在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性并求極值．
分析：本小題主要考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系，倍角的正弦公式，正弦函數(shù)的值域，多項(xiàng)式函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，函數(shù)的單調(diào)性，考查應(yīng)用導(dǎo)數(shù)分析解決多項(xiàng)式函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，極值與最值等問題的綜合能力．本小題滿分14分．
解：（I）我們有
．
由于，，故當(dāng)時(shí)，達(dá)到其最小值，即
．
（II）我們有．
列表如下：
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| 極大值 |
| 極小值 |
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由此可見，在區(qū)間和單調(diào)增加，在區(qū)間單調(diào)減小，極小值為，極大值為．
例13、已知為的最小正周期，，且a·b．求的值．
分析：本小題主要考查周期函數(shù)、平面向量數(shù)量積與三角函數(shù)基本關(guān)系式，考查運(yùn)算能力和推理能力．本小題滿分12分．
解：因?yàn)?/span>為的最小正周期，故．
因，又．故．
由于，所以
．
例14、已知函數(shù)，．
（I）求的最大值和最小值；
（II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
分析：本小題主要考查三角函數(shù)和不等式的基本知識(shí)，以及運(yùn)用三角公式、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)解題的能力．
解：（Ⅰ）
．
又，，即，
．
（Ⅱ），，
且，
，即的取值范圍是．
例15、如圖，函數(shù)的圖象與軸相交于點(diǎn)，且該函數(shù)的最小正周期為．
（1）求和的值；
（2）已知點(diǎn)，點(diǎn)是該函數(shù)圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)，時(shí)，求的值．
解：（1）將，代入函數(shù)中得，
因?yàn)?/span>，所以．
由已知，且，得．
（2）因?yàn)辄c(diǎn)，是的中點(diǎn)，．
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為．
又因?yàn)辄c(diǎn)在的圖象上，且，所以，
，從而得或，
即或．
【模擬試題】
1、是第四象限角，，則 ．
2、給出四個(gè)命題：（1）若sin2A=sin2B，則△ABC為等腰三角形；（2）若sinA=cosB，則△ABC為直角三角形；（3）若sin2A+sin2B+sin2C＜2，則△ABC為鈍角三角形；（4）若cos（A－B）cos（B－C）cos（C－A）=1，則△ABC為正三角形．以上正確命題的個(gè)數(shù)是 ．
3、在△ABC中，已知A、B、C成等差數(shù)列，則的值為__________．
4、函數(shù)f（x）=（）｜cosx｜在［－π，π］上的單調(diào)減區(qū)間為_________．
5、設(shè)ω＞0，若函數(shù)f（x）=2sinωx在［－］上單調(diào)遞增，則ω的取值范圍是_________．
6、已知＜β＜α＜，cos（α－β）=，sin（α+β）=－，求sin2α的值_________．
7、在△ABC中，A為最小角，C為最大角，已知cos（2A+C）=－，sinB=，則cos2（B+C）=__________．
8、已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長(zhǎng)分別為AB=2，BC=6，CD=DA=4，求四邊形ABCD的面積．
9、函數(shù)的最小正周期和最大值分別為 ， ．
10、在中，已知，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求的值．
11、已知函數(shù)．
（Ⅰ）求函數(shù)的最小正周期；
（Ⅱ）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值．
12、已知α、β為銳角，且x（α+β－）＞0，試證不等式f（x）=x＜2對(duì)一切非零實(shí)數(shù)都成立．
13、是否存在實(shí)數(shù)a，使得函數(shù)y=sin2x+a·cosx+a－在閉區(qū)間［0，］上的最大值是1？若存在，求出對(duì)應(yīng)的a值；若不存在，試說明理由．
14、設(shè)二次函數(shù)f（x）=x2+bx+c（b，c∈R），已知不論α、β為何實(shí)數(shù)恒有f（sinα）≥0和f（2+cosβ）≤0．
（1）求證：b+c=－1；
（2）求證c≥3；
（3）若函數(shù)f（sinα）的最大值為8，求b，c的值．
【試題答案】
1、答案：
2、答案：2
解析：其中（3）（4）正確．
3、解析：∵A+B+C=π，A+C=2B，
答案：
4、答案：
解：在［－π，π］上，y=｜cosx｜的單調(diào)遞增區(qū)間是［－，0］及［，π］．而f（x）依｜cosx｜取值的遞增而遞減，故［－，0］及［，π］為f（x）的遞減區(qū)間．
5、解：由－≤ωx≤，得f（x）的遞增區(qū)間為［－，］，由題設(shè)得
6、解法一：∵＜β＜α＜，∴0＜α－β＜．π＜α+β＜，
∴sin（α－β）=
∴sin2α=sin［（α－β）+（α+β）］
=sin（α－β）cos（α+β）+cos（α－β）sin（α+β）
解法二：∵sin（α－β）=，cos（α+β）=－，
∴sin2α+sin2β=2sin（α+β）cos（α－β）=－
sin2α－sin2β=2cos（α+β）sin（α－β）=－
∴sin2α=
7、解析：∵A為最小角∴2A+C=A+A+C＜A+B+C=180°．
∵cos（2A+C）=－，∴sin（2A+C）=．
∵C為最大角，∴B為銳角，又sinB=．故cosB=．
即sin（A+C）=，cos（A+C）=－．
∵cos（B+C）=－cosA=－cos［（2A+C）－（A+C）］=－，
∴cos2（B+C）=2cos2（B+C）－1=．
答案：
8、解：如圖：連結(jié)BD，則有四邊形ABCD的面積：
S=S△ABD+S△CDB=·AB·ADsinA+·BC·CD·sinC
∵A+C=180°，∴sinA=sinC
故S=（AB·AD+BC·CD）sinA=（2×4+6×4）sinA=16sinA
由余弦定理，在△ABD中，BD2=AB2+AD2－2AB·AD·cosA=20－16cosA
在△CDB中，BD2=CB2+CD2－2CB·CD·cosC=52－48cosC
∴20－16cosA=52－48cosC，∵cosC=－cosA，
∴64cosA=－32，cosA=－，又0°＜A＜180°，∴A=120°故S=16sin120°=8．
9、答案：
10、（Ⅰ）解：在中，，由正弦定理，
． 所以．
（Ⅱ）解：因?yàn)?/span>，所以角為鈍角，從而角為銳角，于是
，
，
．
．
11、（Ⅰ）解：．
因此，函數(shù)的最小正周期為．
（Ⅱ）解法一：因?yàn)?/span>在區(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，，
，
故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為．
解法二：作函數(shù)在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下：
由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為
12、證明：若x＞0，則α+β＞∵α、β為銳角，
∴0＜－α＜β＜;0＜－β＜，
∴0＜sin（－α）＜sinβ．0＜sin（－β）＜sinα，
∴0＜cosα＜sinβ，0＜cosβ＜sinα，∴0＜＜1，0＜＜1，
∴f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，∴f（x）＜f（0）=2．
若x＜0，α+β＜，∵α、β為銳角，
0＜β＜－α＜，0＜α＜－β＜，0＜sinβ＜sin（－α），
∴sinβ＜cosα，0＜sinα＜sin（－β），
∴sinα＜cosβ，∴＞1， ＞1，
∵f（x）在（－∞，0）上單調(diào)遞增，∴f（x）＜f（0）=2，∴結(jié)論成立．
13、解：
綜合上述知，存在符合題設(shè)．
14、解：（1）∵－1≤sinα≤1且f（sinα）≥0恒成立，∴f（1）≥0
∵1≤2+cosβ≤3，且f（2+cosβ）≤0恒成立．∴f（1）≤0．
從而知f（1）=0∴b+c+1=0．
（2）由f（2+cosβ）≤0，知f（3）≤0，∴9+3b+c≤0．又因?yàn)?/span>b+c=－1，∴c≥3．
（3）∵f（sinα）=sin2α+（－1－c）sinα+c=（sinα－）2+c－2，
當(dāng)sinα=－1時(shí)，［f（sinα）］max=8，由解得b=－4，c=3．
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