新年的第一篇博文還是談我的老本行—數學。
如果你讀懂了此文，那至少說明了兩個問題：一是俺的科普水平高，二是你的悟性高。如果你讀不懂，那只能說明一個問題：你的悟性太差。哈哈，別介意，其實還是俺的科普水平太差。
很多人都說喜歡數學，可你是否真的了解數學？可知道數學的核心是什么？或者說數學的主旋律是什么？不知道吧？我告訴你吧，是“分類”。分類也是一些自然科學的主旋律，例如動物有多少種類？人分多少種？俗話說：“人以群分，物以類聚”講的就是這個東東。問題是，怎樣分類？數學是如此的復雜，即便對一些簡單的數學對象要完成其分類也是異常的困難，能做到有限單群的分類那樣精彩者數學上可謂鳳毛麟角。要進行分類，首先要確定分類的標準，舉個通俗的例子，如果我們要把人分成“好人”與“壞人”，那我們就要給出一些指標來，滿足這些指標的就是“好人”，滿足另外一些指標的就是“壞人”，因此，關鍵在于指標的確定，指標取得科學，分類就科學。男人與女人是最簡單的分類，但雌與雄卻未能盡分天下之人，如太監是男人還是女人就說不清楚。
對數學對象進行分類有很多種指標，但我們應該清楚，空間中除了圖形，常常還伴有變換，例如旋轉、平移、升縮等，圖形的某種特性在這些變換下會不會發生變化？一旦發生變化，變換后的圖形就不是原來的圖形了。不同的數學領域變換也很不相同，例如，代數里常用的是相似、正交等變換，拓撲里常用的是連續變換，微分幾何里常用的是可微變換。要對某些數學對象實施分類，就要尋找在相應的變換下保持不變的指標，這個指標稱為不變量（即在某種變換下保持不變的量）。
也許很多人對不變量這個詞很陌生，但我敢說只要你讀過高中，學過立體幾何，你至少見過一個不變量，這就是歐拉數2。如果你上過大學，學過線性代數、解析幾何，你至少還見過一些不變量，只是老師可能沒告訴你那是不變量，嘿嘿，沒準老師自己都沒意識到那是一種不變量。我們先來看看解析幾何，解析幾何主要研究二次曲線或二次曲面，除了退化的情形，二次曲面（曲線）分橢球面、拋物面、雙曲面等，如何根據曲面方程判斷它是什么樣的曲面呢？相信大家都知道，根據二次項系數的符號來判斷。我們還知道，二次曲面在旋轉變換下的形狀不會發生變化，換句話說，方程二次項系數的符號在坐標旋轉變換下不會發生變化，瞧，不變量出來了。你知道二次項系數的符號叫什么嗎？這就看你是不是熟悉線性代數了，如果你學過線性代數，你應該還記得線性代數中有個重要的東東—二次型，每個二次型都可以經過正交變換化成標準形，即只含平方項的二次型。二次型其實就是高維空間中的二次曲面，只是我們沒法畫出它們的圖像，然而，通過它的標準形可以判斷它是個什么樣的“圖形”。現在想起來了嗎？是什么決定了它們的形狀？是慣性指標（也叫慣性指數）！平方項中系數為正的個數稱為正慣性指標，系數為負的個數稱為負慣性指標，正慣性指標與負慣性指標之差稱為慣性指標，可以證明慣性指標在正交變換下保持不變。如果你能用矩陣的方式寫出三維空間中的坐標旋轉公式，那你就不難發現，所謂坐標旋轉實際上就是正交變換，由此可見，線性代數不過是N維空間中的幾何。矩陣的若當標準型也是一種不變量，想想看，它在什么變換下保持不變？
聲稱不變量是現代數學的主旋律并不為過，現代數學的幾乎每個領域都有著自己的不變量，其理論之豐富與艱深，不是一般人可以想象的。神奇的是不同學科中所發現的不變量相互間有著不可思議的關系！我們來看一個最簡單的例子（此處只是個直觀的描述，敘述并不嚴密，例如解析函數的范圍并沒有加以限定，事實上，通常人們限定在某種度量下的解析函數構成的空間，如Hardy 空間、Bergman空間等）：
（閱讀此段感到困難者可跳過）記T為復平面C內的單位圓周，即
T={z∈C||z|=1}，f（z）=zn，z∈T，n是某個整數，
如果用指數形式來表示，則z=eiθ，θ是幅角。假設n是正整數，想象一下，當θ從0變到2π時，zn繞圓周T走了幾圈？它剛好沿逆時針方向走了n圈（如果n是負整數，則剛好沿順時針方向走了-n圈，按照慣例，逆時針方向稱為正向，順時針方向稱為負向）。我們把n稱為函數f（z）繞原點的繞數（winding number），記作w（f，0），這是個拓撲指標，它決定了方程f（z）=c的解的個數。現在我們稍微走得遠一點，假設g（z）是解析函數（后面再解釋為什么用解析函數以及什么區域上的解析函數），用f（z）去乘g（z）意味著什么？實際上是對g（z）做了一次變換，由于函數的四則運算是逐點定義的，所以
Tf（z）g（z）=f（z）g（z）
是一個線性變換，取定一個解析函數h（z），方程
Tf（z）g（z）=h（z）
是否有解？相信學過復變函數的人一定知道該方程未必有解，原因是Tf未必是個滿射，上述方程有解當且僅當h（z）在Tf的像空間中。那么，Tf的核有多大？像空間有多大？記
KerTf={g|Tfg=0}，R（Tf）={Tfg|g是解析函數}，
KerTf={0}意味著方程的解是唯一的，Tf是滿射意味著對一切的h，方程
Tfg=h有解。這里的KerTf的確等于零，但Tf卻不是個滿射，這就是說，對某些h，方程
Tf（z）g（z）=h（z）
是無解的，這種h有多少？能否確定它的維數？一般情況下，使得方程
Tf（z）g（z）=h（z）
無解的h可能形成一個無限維的空間，但對這里的f，可以驗證，這樣的h只形成一個有限維空間（事實上，它是n維的），我們把無解的h形成的空間稱為Tf的余核，記作
CokerTf，KerTf的維數與CokerTf的維數之差稱為Tf的Fredholm指標，記作IndexTf，這是線性變換（算子）理論中的一個重要不變量，它有著許多重要性質，此處就不能討論了，對
f（z）=zn，IndexTf=-n。
我們發現
IndexTf=-w（f，0），
這個關系是偶然的嗎？對更一般的f類似結論是否仍然成立？奇妙的是，這個關系式具有一般意義！這就是著名的指標公式，它是Atiyha-Singer指標理論的雛形，反應了符號映射的拓撲特征與線性變換的分析特征的內在聯系。
暈了吧？還有個問題沒回答呢，為什么要用解析函數？它的一個重要工程背景是“黑箱”的描述，Laplace變換將時間域上的微分方程轉變成了頻率域上的代數方程（即上面討論的乘法變換），系統的一種重要情形是穩定箱（stable box），它對應的傳輸函數就是右半平面內沒有極點的解析函數(可能你會奇怪，上面討論的圓周，這里卻是右半平面，好辦，做一下共形變換就行了）。
數學中的不變量很多，每一個都堪稱“絕色佳人”，美麗無比，代（數）、分（析）、微（分幾何）、拓（撲）幾大家族的美女們各有千秋，但遺憾的是，誰都不是完美無暇，指望任何一個完成分類都是徒勞的。于是各路豪杰仍在不斷的創造，期望有朝一日造出個空前絕后、美艷不可方物的尤物來完成歷史使命。知道雜交能出優良品種的不只有袁隆平，數學家們也知道，數學各個分支的相互滲透已是司空見慣的事情，事實上，有時候你已經很難分清某個數學家是搞幾何的還是搞分析的。
