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前面介紹了正弦和余弦函數(shù)的n倍角公式(用棣莫弗公式推導(dǎo)三角函數(shù)的n倍角公式)：

歐拉在《無(wú)窮分析引論》中還用它們推導(dǎo)出了三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，方法如下。

設(shè)nθ=x，并對(duì)上述兩式等號(hào)兩端分別求n→＋∞時(shí)的極限即可得到所求結(jié)果。對(duì)于第一個(gè)等式等號(hào)右端的部分，有

因此

上式就是余弦函數(shù)冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式，同理可得正弦函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式

通過(guò)冪級(jí)數(shù)的除法也可以由正弦函數(shù)和余弦函數(shù)的展開(kāi)式得到其他三角函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開(kāi)式。值得注意的是上面將求級(jí)數(shù)的極限轉(zhuǎn)化為求各項(xiàng)極限之和，即交換求函數(shù)極限與級(jí)數(shù)求和的順序，事實(shí)上交換順序后結(jié)果并不一定相等，但這里確實(shí)是相等的。

另外還可以通過(guò)固定θ值，按照前面介紹的廣義二項(xiàng)式定理的推導(dǎo)方式將自然數(shù)n推廣到任意實(shí)數(shù)求出無(wú)窮級(jí)數(shù)。還可以按照求三角函數(shù)無(wú)窮級(jí)數(shù)的方法求出雙曲函數(shù)(三角函數(shù)的近親——雙曲函數(shù))的無(wú)窮級(jí)數(shù)，進(jìn)一步求出指數(shù)函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)。

可以用上述三角函數(shù)的無(wú)窮級(jí)數(shù)展開(kāi)式的前面有限項(xiàng)之和估算三角函數(shù)值，通常選取的項(xiàng)數(shù)越多越精確，在[0,π/2]區(qū)間內(nèi)取前面幾項(xiàng)計(jì)算一般就足夠精確。

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