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    本節(jié)課幫助學(xué)生學(xué)習(xí)等腰三角形的性質(zhì)，主要解決以下三個(gè)問(wèn)題。
   1.證明兩個(gè)角相等，不是只能用證明兩個(gè)三角形全等的方法，可由“等邊對(duì)等角”即由邊相等向角相等轉(zhuǎn)化。這是證明兩個(gè)角相等的一條捷徑。
    2.通過(guò)學(xué)習(xí)等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合即等腰三角形三線合一的性質(zhì)定理，明確它是證明兩條線段相等、兩個(gè)角相等及兩條直線互相垂直的重要依據(jù)。在等腰三角形中，添加底邊的中線或高線或頂角的平分線是常見(jiàn)的輔助線。
    3.通過(guò)學(xué)習(xí)進(jìn)一步明確等邊三角形是特殊的等腰三角形，它具有等腰三角形的所有性質(zhì)，常常利用等邊三角形三邊相等，三個(gè)角相等且每個(gè)角都等于60°的性質(zhì)，作為證三角形全等的條件。

[問(wèn)題精講]

1.等腰三角形的性質(zhì)定理“等邊對(duì)等角”常結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及推論解決角度的計(jì)算問(wèn)題. 一般用列方程求角的方法.

例1.已知：如圖，∠ACB=90°，D、E在AB上，AD=AC，BE=BC，求∠DCE的度數(shù).     分析：由AD=AC，知△ADC是等腰三角形，因此∠4=∠3+∠DCE. 又由BE=BC，知△BEC是等腰三角形，因而∠2=∠1+∠DCE. 若求∠DCE的度數(shù)，必須利用已知的角度，∠ACB=90°，且再利用三角形內(nèi)角和定理或直角三角形中兩銳角互余這個(gè)隱含的條件溝通∠2與∠4. 我們可推出∠4=∠B+∠1，∠2=∠A+∠3，通過(guò)等量代換，建立方程組，從而解方程組求出∠DCE.

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2.等腰三角形“三線合一”性質(zhì)定理的應(yīng)用，必須注意等腰是前提條件，一條線段為頂角平分線（或底邊上的中線或底邊上的高線）是必要條件，這兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，才能得出這條線段也是底邊上的中線和底邊上的高線（其他兩條）的結(jié)論。我們常常要通過(guò)三角形全等構(gòu)造等腰三角形，從而運(yùn)用“三線合一”的性質(zhì)證明角相等，兩條線段相等,兩條直線垂直。

　　證明：連結(jié)AC、AE
   在△ABC和△AFE中，
    ∵AB=AF，∠B=∠F，BC=FE（已知）
    ∴△ABC≌△AFE（SAS）
    ∴AC=AE（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
    ∴△ACE是等腰三角形（等腰三角形定義）
    ∵D是CE的中點(diǎn)（已知）
    ∴AD⊥CE（等腰三角形底邊上的中線與底邊上的高線互相重合）
　　思考：如果本題要證明∠BCE=∠FED，怎樣推理呢？你的依據(jù)是什么？若證明∠BAD=∠FAD呢？（證明△ABC≌△AFE后，證明對(duì)應(yīng)角相等，再由等腰三角的性質(zhì)，等邊對(duì)等角，及等腰三角形底邊上的中線與頂角的平分線互相重合，得到∠BCD=∠FED，∠BAD=∠FAD.
    摸底檢測(cè)2，利用等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)，作∠BAC的平分線AE，可推出AE⊥BC，這時(shí)出現(xiàn)“燕尾”形的Rt△AEB和Rt△CDB，利用直角三角形兩個(gè)銳角互余及同角的余角相等推出∠BCD=

∠BAC，即等腰三角形一腰上的高與底邊的夾角等于頂角的一半，因此應(yīng)該選擇（C）.
  你知不知道？等邊三角形中不僅三線合一，而且“四心歸一”，分別是：外心、內(nèi)心、重心、垂心。以后做題時(shí)有可能幫你走很多捷徑呢！

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3.在較復(fù)雜的圖形中，能夠識(shí)別出等邊三角形的邊和角所分布的三角形，從而通過(guò)證明兩個(gè)三角形全等而證明兩條線段相等或兩個(gè)角相等。利用等邊三角形的性質(zhì)，可以通過(guò)旋轉(zhuǎn)變換，進(jìn)行一題多變，從而尋找規(guī)律。

例3．已知：點(diǎn)E在AD上，△ABC和△BDE都是等邊三角形，求證：BD+CD=AD     分析：觀察圖形，可以發(fā)現(xiàn)，△BDE是等邊三角形，因此BD=ED，要證BD+CD=AD，只需證CD=AE，而AE、CD又分別在△ABE和△CBD中，若能證明△ABE≌△CBD，自然推出AE=CD . 顯然AB=CB，BE=BD. 此時(shí)證明∠ABE=∠CBD成為了問(wèn)題的突破口，由于∠ABC=60°，∠EBD=60°，因而可得到∠ABC=∠EBD，觀察圖形不難發(fā)現(xiàn)，∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC，即∠ABE=∠CBD，此時(shí)證明思路暢通無(wú)阻地形成了.

　　證明：∵△ABC是等邊三角形，△BED是等邊三角形（已知）
    ∴AB=CB，BE=BD（等邊三角形定義）
    ∴∠ABC=60°，∠EBD=60°（等邊三角形每個(gè)內(nèi)角都等于60°）
    ∴∠ABC-∠EBC=∠EBD-∠EBC，即∠ABE=∠CBD
    在△ABE和△CBD中

    ∴△ABE≌△CBD（SAS）
    ∴AE=CD（全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等）
    ∵AE+ED=AD，且ED=BD，∴BD+CD=AD.
　　思考：此題圖形可看作是以△CBD的BC、BD邊為邊在BC的同側(cè)作等邊△ABC和△BED. 若將△CBD改為直角三角形或改為銳角三角形，再改變一下結(jié)論，你細(xì)心地體會(huì)一下，有什么感悟？（1）已知：如圖一，△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，△BCE，△ABD均為等邊三角形，連結(jié)DE. 求證：BE⊥DE.
    （2）已知：如圖二，△ABE和△ACF分別是以△ABC的AB、AC邊為邊，在△ABC外的等邊三角形，CE、BF相交于O，求∠EOB的度數(shù).
               

　                

    請(qǐng)你試一試，相信你在例3的幫助下，很快就會(huì)形成思路。圖二中的∠EOB應(yīng)等于60°。
    摸底檢測(cè)3中一個(gè)角的平分線又是這個(gè)角所對(duì)邊的垂線，顯然只有等腰三角形頂角平分線垂直于底邊，但此題是任何一個(gè)角的平分線垂直于這個(gè)角的對(duì)邊，顯然這個(gè)三角形是特殊的等腰三角形，只能是等邊三角形，而且在等邊三角形中，“三線合一”的線段有三條。因此這個(gè)題應(yīng)該選（B）.
   曾經(jīng)有過(guò)一個(gè)數(shù)學(xué)家寫了一本小說(shuō)叫“二維國(guó)”，書(shū)中寫道：“等邊三角形是三角階層中的最尊貴的人物，其它的三角形都拼命地希望自己的后代是等邊的。”我們足以看出等邊三角形在三角王國(guó)中的重要地位。一位哲人說(shuō)過(guò)：“對(duì)稱即是美。”等邊三角形是三角形中最對(duì)稱的紳士，也是最優(yōu)雅，最美的。

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1.判斷正誤：
（1）等腰三角形的高一定平分底邊 （ ）
（2）等腰三角形的角平分線垂直平分對(duì)邊 （ ）
（3）等腰三角形的底角平分線垂直一腰 （ ）
（4）等腰三角形兩腰上的高，中線分別相等 （ ）
2.選擇題：
（1）底和腰不相等的等腰三角形，其角平分線、中線和高一共有（ ）條.
    A.3     B.5      C.7       D.9
（2）等腰三角形的底角與相鄰角的關(guān)系是（ ）
    A.底角大于等于相鄰?fù)饨?br>    B.底角小于等于相鄰?fù)饨?br>    C.底角大于相鄰?fù)饨?br>    D.底角小于相鄰?fù)饨?br>（3）如果一個(gè)等腰三角形一腰上的高與另一腰的夾角為45°，那么這個(gè)三角形的底角為（ ）度.
     A.45°      B.67.5°       C.90°        D.135°
3.解答題：
（1）已知：如圖一，在△ABC中，AB=BC，CD平分∠ACB，CE⊥AB于E，∠DCE=57°，求∠ACB的度數(shù).
（2）已知：如圖二，在四邊形ABCD中，BC>BA，AD=CD，BD平分∠ABC，求證：∠A+∠C=180°
                   
（3）如圖三，已知：△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，BD平分∠ABC，CD⊥BD，BD交AC于E，求證：CD=

圖三

提示與答案：
1.×；×；×；√.
    提示：（1）、（2）要注意頂角的條件.
2.C；D；B.
   提示（3）：由45°角所在的直角三角形求出頂角等于45°，再由等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和等于180°求出三角形的底角的度數(shù).
3.提示（1）AB=BC，∴∠A=∠1+∠2，∵∠1=∠2 ∴∠A=2∠1，∵∠E=90°，∠DCE=57°，∴∠CDE=33° ∵∠CDE=∠A+∠1，∴2∠1+∠1=33°，∴∠1=11°∴∠ACB=2∠1=22°.

    提示：（2）：在BC上截取BE=BA，用SAS證△BED≌△BAD，從而ED=AD，由已知AD=CD，推得CD=ED，則∠C=∠CED. 由兩三角形全等又知∠A=∠BED，因此∠A+∠CED=180°，即∠C+∠A=180°.
   提示（3）：延長(zhǎng)CD、BA交于F. 在△BAE與△BDF中，∠BAE=∠BDF=90°，∴∠F=∠AEB，在Rt△CAF與Rt△BAE中，∠ACF=∠2，AB=AC，因此Rt△CAF≌△BAE，∴BE=CF，由∠1=∠2，BD⊥CD，可知BC=BF，CD=