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初中數學技巧題匯總

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通過比較，可以發現事物的相同點和不同點，更容易找到事物的變化規律。找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據這些已知的量找出一般規律。揭示的規律，常常包含著事物的序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就比較容易發現其中的奧秘。
     初中數學考試中，經常出現數列的找規律題，本文就此類題的解題方法進行探索：
     一、基本方法——看增幅
   （一）如增幅相等（實為等差數列）：對每個數和它的前一個數進行比較，如增幅相等，則第n個數可以表示為：a1+(n－1)b，其中a為數列的第一位數，b為增幅，(n－1)b為第一位數到第n位的總增幅。然后再簡化代數式a+(n－1)b。
例：4、10、16、22、28……，求第n位數。
分析：第二位數起，每位數都比前一位數增加6，增幅都是6，所以，第n位數是：4+(n－1) 6＝6n－2
   （二）如增幅不相等，但是增幅以同等幅度增加（即增幅的增幅相等，也即增幅為等差數列）。如增幅分別為3、5、7、9，說明增幅以同等幅度增加。此種數列第n位的數也有一種通用求法。
    基本思路是：1、求出數列的第n－1位到第n位的增幅；
               2、求出第1位到第第n位的總增幅；
               3、數列的第1位數加上總增幅即是第n位數。

此解法雖然較煩，但是此類題的通用解法，當然此題也可用其它技巧，或用分析觀察的方法求出，方法就簡單的多了。
   （三）增幅不相等，但是增幅同比增加，即增幅為等比數列，如：2、3、5、9,17增幅為1、2、4、8.
   （四）增幅不相等，且增幅也不以同等幅度增加（即增幅的增幅也不相等）。此類題大概沒有通用解法，只用分析觀察的方法，但是，此類題包括第二類的題，如用分析觀察法，也有一些技巧。
    二、基本技巧
   （一）標出序列號：找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據這些已知的量找出一般規律。找出的規律，通常包序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就比較容易發現其中的奧秘。
    例如，觀察下列各式數：0，3，8，15，24，……。試按此規律寫出的第100個數是 100 ，第n個數是 n 。
解答這一題，可以先找一般規律，然后使用這個規律，計算出第100個數。我們把有關的量放在一起加以比較：
    給出的數：0，3，8，15，24，……。
    序列號：  1，2，3， 4， 5，……。
   容易發現，已知數的每一項，都等于它的序列號的平方減1。因此，第n項是 －1，第100項是 —1

（二）公因式法：每位數分成最小公因式相乘，然后再找規律，看是不是與n,或2n、3n有關。
例如：1，9，25，49，（81），（121），的第n項為（  ），

1，2，3，4，5．。。。。。。，從中可以看出n=2時，正好是2×2－1的平方,n=3時，正好是2×3－1的平方，以此類推。
  （三）看例題：
A： 2、9、28、65.....增幅是7、19、37....，增幅的增幅是12、18
答案與3有關且是n的3次冪，即： n +1
B：2、4、8、16.......增幅是2、4、8.. .....答案與2的乘方有關即：
   （四）有的可對每位數同時減去第一位數，成為第二位開始的新數列，然后用（一）、（二）、（三）技巧找出每位數與位置的關系。再在找出的規律上加上第一位數，恢復到原來。
例：2、5、10、17、26……，同時減去2后得到新數列： 0、3、8、15、24……，
序列號：1、2、3、4、5，從順序號中可以看出當n=1時，得1*1－1得0，當n=2時，2*2－1得3，3*3－1=8，以此類推，得到第n個數為 。再看原數列是同時減2得到的新數列，則在 的基礎上加2，得到原數列第n項      

 （五）有的可對每位數同時加上，或乘以，或除以第一位數，成為新數列，然后，在再找出規律，并恢復到原來。
例 ： 4，16，36，64，？，144，196，… ？（第一百個數）
同除以4后可得新數列：1、4、9、16…，很顯然是位置數的平方，得到新數列第n項即n ，原數列是同除以4得到的新數列，所以求出新數列n的公式后再乘以4即，4 n ，則求出第一百個數為4*100 =40000
   （六）同技巧（四）、（五）一樣，有的可對每位數同加、或減、或乘、或除同一數（一般為1、2、3）。當然，同時加、或減的可能性大一些，同時乘、或除的不太常見。
   （七）觀察一下，能否把一個數列的奇數位置與偶數位置分開成為兩個數列，再分別找規律。
    三、基本步驟
   1、 先看增幅是否相等，如相等，用基本方法（一）解題。
   2、 如不相等，綜合運用技巧（一）、（二）、（三）找規律
   3、 如不行，就運用技巧（四）、（五）、（六），變換成新數列，然后運用技巧（一）、（二）、（三）找出新數列的規律
    4、 最后，如增幅以同等幅度增加，則用用基本方法（二）解題
    四、練習題
例1：一道初中數學找規律題
0，3，8，15，24，······ 2，5，10，17，26，····· 0，6，16，30，48······
（1）第一組有什么規律？

答：從前面的分析可以看出是位置數的平方減一。
（2）第二、三組分別跟第一組有什么關系？

答：第一組是位置數平方減一，那么第二組每項對應減去第一組每項，從中可以看出都等于2，說明第二組的每項都比第一組的每項多2，則第二組第n項是：位置數平方減1加2，得位置數平方加1即 。

第三組可以看出正好是第一組每項數的2倍，則第三組第n項是：
（3）取每組的第7個數，求這三個數的和？

答：用上述三組數的第n項公式可以求出，第一組第七個數是7的平方減一得48，第二組第七個數是7的平方加一得50，第三組第七個數是2乘以括號7的平方減一得96，48+50+96=194
2、觀察下面兩行數
2，4，8，16，32，64， ．．．（1）
5，7，11，19，35，67．．．（2）
根據你發現的規律，取每行第十個數，求得他們的和。（要求寫出最后的計算結果和詳細解題過程。）

解：第一組可以看出是2 ，第二組可以看出是第一組的每項都加3，即2 +3，

則第一組第十個數是2 =1024，第二組第十個數是2 +3得1027，兩項相加得2051。
  3、白黑白黑黑白黑黑黑白黑黑黑黑白黑黑黑黑黑 排列的珠子，前2002個中有幾個是黑的？

解：從數列中可以看出規律即：1，1，1，2，1，3，1，4，1，5 ，…….，每二項中后項減前項為0，1，2，3，4，5……，正好是等差數列，并且數列中偶項位置全部為黑色珠子，因此得出2002除以2得1001，即前2002個中有1001個是黑色的。

 4、 =8    =16   =24 ……用含有N的代數式表示規律

解：被減數是不包含1的奇數的平方，減數是包括1的奇數的平方，差是8的倍數，奇數項第n個項為2n－1，而被減數正是比減數多2，則被減數為2n－1+2,得2n+1，則用含有n的代數式表示為： =8n。
   寫出兩個連續自然數的平方差為888的等式

解：通過上述代數式得出，平方差為888即8n=8X111,得出n=111，代入公式：

（222+1） －（222－1） =888
五、對于數表
1、先看行的規律，然后，以列為單位用數列找規律方法找規律
2、看看有沒有一個數是上面兩數或下面兩數的和或差

　六、數字推理基本類型
　　按數字之間的關系，可將數字推理題分為以下幾種類型：
　　1.和差關系。又分為等差、移動求和或差兩種。
　　(1)等差關系。
　　12，20，30，42，( 56  )
　　127，112，97，82，( 67 )
　　3，4，7，12，( 19 )，28
　 (2)移動求和或差。從第三項起，每一項都是前兩項之和或差。
　　1，2，3，5，( 8 )，13
　　A.9   B.11   C.8　  D.7
　　選C。1 +2=3，2+ 3=5，3+ 5=8，5+ 8=13
　　0，1，1，2，4，7，13，( 24)
　　 A.22　 B.23　 C.24　 D.25
　　選C。注意此題為前三項之和等于下一項。一般考試中不會變態到要你求前四項之和，所以個人感覺這屬于移動求和或差中最難的。
　　5，3，2，1，1，(0 )
　　A.－3    B.－2    C.0　   D.2
　　選C。前兩項相減得到第三項。
   2.乘除關系。又分為等比、移動求積或商兩種
　　(1)等比，從第二項起，每一項與它前一項的比等于一個常數或一個等差數列。
　　8，12，18，27，(40.5)后項與前項之比為1.5。
　　6，6，9，18，45，(135)后項與前項之比為等差數列，分別為1，1.5，2，2.5，3
　　(2)移動求積或商關系。從第三項起，每一項都是前兩項之積或商。
　　2，5，10，50，(500)
　　100，50，2，25，(2/25)
　　3，4，6，12，36，(216) 從第三項起，第三項為前兩項之積除以2
　　1，7，8，57，(457)第三項為前兩項之積加 1
3.平方關系
　　1，4，9，16，25，(36)，49 為位置數的平方。
　　66，83，102，123，(146) ，看數很大，其實是不難的，66可以看作64+2，83可以看作81+2，102可以看作100+2，123可以看作121+2，以此類推，可以看出是8，9，10，11，12的平方加2
4.立方關系
　　1，8，27，(81)，125  位置數的立方。
　　3，10，29，(83)，127　位置數的立方加 2
　　0，1，2，9，(730)　后項為前項的立方加1
　5.分數數列。
關鍵是把分子和分母看作兩個不同的數列，有的還需進行簡單的通分，則可得出答案
　　              ( )分子為等比即位置數的平方，分母為等差數列，則第n項代數式為：
　　2/3 1/2  2/5  1/3　(1/4)　將1/2化為2/4，1/3化為2/6，可得到如下數列：2/3, 2/4, 2/5, 2/6, 2/7, 2/8 …….可知下一個為2/9，如果求第n項代數式即： ，分解后得：
6.、質數數列
　　2，3，5，(7)，11  質數數列
　　4，6，10，14，22，(26)  每項除以2得到質數數列
　　20，22，25，30，37，(48)  后項與前項相減得質數數列。
7.、雙重數列。
   又分為三種：
　　(1)每兩項為一組，如
　　1，3，3，9，5，15，7，(21)　第一與第二，第三與第四等每兩項后項與前項之比為3
　　2，5，7，10，9，12，10，(13)每兩項中后項減前項之差為3
　　1/7，14，1/21，42，1/36，72，1/52，(104  )　兩項為一組，每組的后項等于前項倒數*2
　　(2)兩個數列相隔，其中一個數列可能無任何規律，但只要把握有規律變化的數列就可得出結果。
　　22，39，25，38，31，37，40，36，(52) 由兩個數列，22，25，31，40，( )和39，38，37，36組成，相互隔開，均為等差。
　　34，36，35，35，(36)，34，37，(33) 由兩個數列相隔而成，一個遞增，一個遞減
　　(3)數列中的數字帶小數，其中整數部分為一個數列，小數部分為另一個數列。
　　2.01，　4.03， 8.04， 16.07，(32.11)整數部分為等比，小數部分為移動求和數列。雙重數列難題也較少。能看出是雙重數列，題目一般已經解出。特別是前兩種，當數字的個數超過7個時，為雙重數列的可能性相當大。
8.、組合數列。
最常見的是和差關系與乘除關系組合、和差關系與平方立方關系組合。需要熟悉前面的幾種關系后，才能較好較快地解決這類題。
　　1，1，3，7，17，41，(  99 )
　　A.89　  B.99   C.109   D.119
　　選B。此為移動求和與乘除關系組合。第三項為第二項*2加第一項，即1X2+1=3、3X2+1=7，7X2+3=17，17X2+7=41，則空中應為41X2+17=99
　　65，35，17，3，(  1 )
　　A.1    B.2   C.0    D.4
　　選A。平方關系與和差關系組合，分別為8的平方加1，6的平方減1，4的平方加1，2的平方減1，下一個應為0的平方加1=1
　　4，6，10，18，34，( 66  )
　　A.50  B.64   C.66   D.68
　　選C。各差關系與等比關系組合。依次相減，得2，4，8，16( )，可推知下一個為32，32 +34=66
　　6，15，35，77，(   )
　　A.106　B.117　C.136　D.143
　　選D。此題看似比較復雜，是等差與等比組合數列。如果拆分開來可以看出，6=2X3、15=3x5、35=7X5、77=11X7，正好是質數2 、3，5，7、11數列的后項乘以前項的結果，得出下一個應為13X11=143
　　2，8，24，64，( 160  )
　　A.160　 B.512   C.124    D.164
　　選A。此題較復雜，冪數列與等差數列組合。2=1X2 的1次方，8=2X2 的平方，24=3*X2 ，64=4X2 ，下一個則為5X2 =160
　　0，6，24，60，120，( 210 )
　　A.186　 B.210　 C.220　 D.226
　　選B。和差與立方關系組合。0=1的3次方－1，6=2的3次方－2，24=3的3次方－3，60=4的3次方－4，120=5的3次方－5。空中應是6的3次方－6=210
　　1，4，8，14，24，42，(76  )
　　A.76  B .66   C.64   D.68
　　選A。兩個等差與一個等比數列組合依次相減，原數列后項減前項得3，4，6，10，18，(  34  )，得到新數列后，再相減，得1，2，4，8，16，(  32  )，此為等比數列，下一個為32，倒推到3，4，6，8，10，34，再倒推至1，4，8，14，24，42，76，可知選A。
9.、其他數列。
　　2，6，12，20，( 30 )
　　A.40    B.32    C.30     D.28
　　選C。2=1*2，6=2*3，12=3*4，20=4*5，下一個為5*6=30
　  1，1，2，6，24，( 120 )
　　A.48 　 B.96 　C.120　 D.144
　　選C。后項=前項X遞增數列。1=1*1，2=1*2，6=2*3，24=6*4，下一個為120=24*5

1，4，8，13，16，20，( 25 )
　　A.20   B.25   C.27   D.28
　　選B。每4項為一重復，后期減前項依次相減得3，4，5。下個重復也為3，4，5，推知得25。
　　27，16，5，( 0 )，1/7
　　A.16  B.1   C.0   D.2
　　選B。依次為3的3次方，4的2次方，5的1次方，6的0次方，7的－1次方。
四、解題方法
　　數字推理題難度較大，但并非無規律可循，了解和掌握一定的方法和技巧對解答數字推理問題大有幫助。
　　1.快速掃描已給出的幾個數字，仔細觀察和分析各數之間的關系，尤其是前三個數之間的關系，大膽提出假設，并迅速將這種假設延伸到下面的數，如果能得到驗證，即說明找出規律，問題即迎刃而解；如果假設被否定，立即改變思考角度，提出另外一種假設，直到找出規律為止。
　　2.推導規律時往往需要簡單計算，為節省時間，要盡量多用心算，少用筆算或不用筆算。
　　3.空缺項在最后的，從前往后推導規律；空缺項在最前面的，則從后往前尋找規律；空缺項在中間的可以兩邊同時推導。
(一)等差數列
　　相鄰數之間的差值相等，整個數字序列依次遞增或遞減。等差數列是數字推理測驗中排列數字的常見規律之一。它還包括了幾種最基本、最常見的數字排列方式：
　　自然數數列：1，2，3，4，5，6……
　　偶數數列：2，4，6，8，10，12……
　　奇數數列：1，3，5，7，9，11，13……
　　例題1 ：103，81，59，( 37  )，15。
　　A.68   B.42    C.37    D.39
　　解析：答案為C。這顯然是一個等差數列，前后項的差為22。
　　例題2：2，5，8，( 11  )。
　　A.10   B.11   C.12    D.13
　　解析：從題中的前3個數字可以看出這是一個典型的等差數列，即后面的數字與前面數字之間的差等于一個常數。題中第二個數字為5，第一個數字為2，兩者的差為3，由觀察得知第三個、第二個數字也滿足此規律，那么在此基礎上對未知的一項進行推理，即8 +3=11，第四項應該是11，即答案為B。
　　例題3：123，456，789，( 1122  )。
　　A.1122   B.101112   C.11112   D.100112
　　解析：答案為A。這題的第一項為123，第二項為456，第三項為789，三項中相鄰兩項的差都是333，所以是一個等差數列，未知項應該是789 +333=1122。注意，解答數字推理題時，應著眼于探尋數列中各數字間的內在規律，而不能從數字表面上去找規律，比如本題從123，456，789這一排列，便選擇101112，肯定不對。
　　例題4： 11，17，23，( 29  )，35。
　　A.25   B.27   C.29   D.31
　　解析：答案為C。這同樣是一個等差數列，前項與后項相差6。
　　例題5： 12，15，18，( 21  )，24，27。
　　A.20   B.21   C.22   D.23
　　解析：答案為B。這是一個典型的等差數列，題中相鄰兩數之差均為3，未知項即18+ 3=21，或24－3=21，由此可知第四項應該是21。
(二)等比數列
　　相鄰數之間的比值相等，整個數字序列依次遞增或遞減。等比數列在數字推理測驗中，也是排列數字的常見規律之一。
　　例題1： 2，1，1/2，( B  )。
　　A.0   B.1/4   C.1/8   D.－1
　　解析：從題中的前3個數字可以看出這是一個典型的等比數列，即后面的數字與前面數字之間的比值等于一個常數。題中第二個數字為1，第一個數字為2，兩者的比值為1/2，由觀察得知第三個、第二個數字也滿足此規律，那么在此基礎上對未知的一項進行推理，即(1/2)/2，第四項應該是1/4，即答案為B。
　　例題2： 2，8，32，128，( 512  )。
　　A.256     B.342    C.512    D.1024
　　解析：答案為C。這是一個等比數列，后一項與前一項的比值為4。
　　例題3： 2，－4，8，－16，(  32  )。
　　A.32     B.64     C.－32    D.－64
　　解析：答案為A。這仍然是一個等比數列，前后項的比值為－2。
(三)平方數列
　　1、完全平方數列：
　　正序：1，4，9，16，25
　　逆序：100，81，64，49，36
　　2、一個數的平方是第二個數。
　　1)直接得出：2，4，16，( 256 )
　　解析：前一個數的平方等于第二個數，答案為256。
　　2)一個數的平方加減一個數等于第二個數：
　　1，2，5，26，(677) 前一個數的平方加1等于第二個數，答案為677。
　　3、隱含完全平方數列：
　　1)通過加減一個常數歸成完全平方數列：0，3，8，15，24，( 35  )
　　前一個數加1分別得到1，4，9，16，25，分別為1，2，3，4，5的平方，答案35
　　2)相隔加減，得到一個平方數列：
　　例：65，35，17，( 3 )，1
　　A.15    B.13   C.9    D.3
　　解析：不難感覺到隱含一個平方數列。進一步思考發現規律是：65等于8的平方加1，35等于6的平方減1，17等于4的平方加1，再觀察時發現：奇位置數時都是加1，偶位置數時都是減1，所以下一個數應該是2的平方減1等于3，答案是D。
　　例：1，4，16，49，121，( 169  )。(2005年考題)
　　A.256    B.225    C.196    D.169

解析：從數字中可以看出1的平方，2的平方，4的平方，7的平方，11的平方，正好是1，2，4，7，11.。。。。，可以看出后項減前項正好是1，2，3，4，5，。。。。。。。，從中可以看出應為11+5=16，16的平方是256，所以選A。
　　例：2，3，10，15，26，( 35 )。(2005年考題)
　　A.29    B.32    C.35    D.37
　　解析：看數列為2=1的平方+1，3=2的平方減1，10=3的平方加1，15=4的平方減1，26=5的平方加1，再觀察時發現：位置數奇時都是加1，位置數偶時都是減1，因而下一個數應該是6的平方減1=35，前n項代數式為： 所以答案是C.35。
(四)立方數列
　　立方數列與平方數列類似。
　　例題1： 1，8，27，64，( 125 )
　　解析：數列中前四項為1，2，3，4的立方，顯然答案為5的立方，為125。
　　例題2：0，7，26，63 ，( 124  )
　　解析：前四項分別為1，2，3，4的立方減1，答案為5的立方減1，為124。
　　例3： －2，－8，0，64，(   )。(2006年考題)
　　A.64    B.128    C.156    D 250
　　解析：從數列中可以看出，－2，－8，0，64都是某一個數的立方關系，－2=(1－3)×1 ，－8=（2－3）X2 ，0=（3－3）X3 ，64=（4－3）X4 ，前n項代數式為： ，因此最后一項因該為(5－3)×5 ＝250 選D
　　例4：0，9，26，65，124，( 239  )(2007年考題)
　　解析：前五項分別為1，2，3，4，5的立方加1或者減1，規律為位置數是偶數的加1，則奇數減1。即：前n項=n + (－1) 。答案為239。
　　在近幾年的考試中，也出現了n次冪的形式
　　例5：1，32，81，64，25，(  6 )，1。(2006年考題)
　　A.5     B.6     C.10     D.12
　　解析：逐項拆解容易發現1=1 ，32=2 ，81=3 ，64=4 ，25=5 ，則答案已經很明顯了，6的1次冪，即6 選B。
(五)、加法數列
　　數列中前兩個數的和等于后面第三個數：n1+n2=n3

　　例題1： 1，1，2，3，5，( 8 )。
　　     A8    B7    C9    D10
　　解析：第一項與第二項之和等于第三項，第二項與第三項之和等于第四項，第三項與第四項之和等于第五項，按此規律3 +5=8答案為A。
　　例題2： 4，5，( 9 )，14，23，37
　　A 6    B 7    C 8    D 9
　　解析：與例一相同答案為D
　　例題3： 22，35，56，90，( 145  ) 99年考題
　　A 162    B 156    C 148    D 145
　　解析：22 +35－1=56， 35+ 56－1=90 ，56+ 90－1=145，答案為D
 　(六)、減法數列
　　前兩個數的差等于后面第三個數：n1－n2=n3
　　例題1：6，3，3，( 0  )，3，－3
　　   A 0      B 1    C 2    D 3
　　解析：6－3=3，3－3=0 ，3－0=3 ，0－3=－3答案是A。(提醒您別忘了：“空缺項在中間，從兩邊找規律”)
   (七)、乘法數列
　　1、前兩個數的乘積等于第三個數
　　例題1：1，2，2，4，8，32，( 256   )
　　前兩個數的乘積等于第三個數，答案是256。
　　例題2：2，12，36，80，(    ) (2007年考題)
　　A.100    B.125    C.150    D.175
　　解析：2×1， 3×4 ，4×9，5×16 自然下一項應該為6×25＝150 選C，此題還可以變形為： ， ， ， …..,以此類推，得出
　　2、兩數相乘的積呈現規律：等差，等比，平方等數列。
　　例題2：3/2， 2/3， 3/4，1/3，3/8 ( A ) (99年海關考題)
　　   A 1/6      B 2/9      C 4/3     D 4/9
　　解析：3/2×2/3=1 2/3×3/4=1/2 3/4×1/3=1/4 1/3×3/8=1/8 3/8×?=1/16 答案是 A。
　  (八)、除法數列
　　與乘法數列相類似，一般也分為如下兩種形式：
　　1、兩數相除等于第三數。
　　2、兩數相除的商呈現規律：順序，等差，等比，平方等。
    (九)、質數數列
　　由質數從小到大的排列：2，3，5，7，11，13，17，19…
    (十)、循環數列
　　幾個數按一定的次序循環出現的數列。
　　例：3，4，5，3，4，5，3，4，5，3，4
　　以上數列只是一些常用的基本數列，考題中的數列是在以上數列基礎之上構造而成的，下面我們主要分析以下近幾年考題中經常出現的幾種數列形式。
   1、二級數列
　　這里所謂的二級數列是指數列中前后兩個數的和、差、積或商構成一個我們熟悉的某種數列形式。
　　例1：2  6  12  20  30  ( 42 )(2002年考題)
　　A.38     B.42    C.48    D.56
　　解析：后一個數與前個數的差分別為：4，6，8，10這顯然是一個等差數列，因而要選的答案與30的差應該是12，所以答案應該是B。
　　例2：20  22  25  30  37  (   ) (2002年考題)
　　A.39   B.45   C.48   D.51
　　解析：后一個數與前一個數的差分別為：2，3，5，7這是一個質數數列，因而要選的答案與37的差應該是11，所以答案應該是C。
　　例3：2   5   11   20   32   ( 47  ) (2002年考題)
　　A.43    B.45    C.47    D.49
　　解析：后一個數與前一個數的差分別為：3，6，9，12這顯然是一個等差數列，因而要 選的答案與32的差應該是15，所以答案應該是C。
　　例4：4  5  7   1l   19   ( 35  ) (2002年考題)
　　A.27    B.31    C.35    D.41
　　解析：后一個數與前一個數的差分別為：1，2，4，8這是一個等比數列，因而要 選的答案與19的差應該是16，所以答案應該是C。
　　例5：3  4  7  16   ( 43  ) (2002年考題)
　　A.23   B.27   C.39   D.43
　　解析：后一個數與前一個數的差分別為：1，3，9這顯然也是一個等比數列，因而要選的答案與16的差應該是27，所以答案應該是D。
　　例6：32  27  23  20  18  ( 17 )   (2002年考題)
　　A.14   B.15   C.16   D.17
　　解析：后一個數與前一個數的差分別為：－5，－4，－3，－2這顯然是一個等差數列，因而要 選的答案與18的差應該是－1，所以答案應該是D。
　　例7：1， 4， 8， 13， 16， 20， ( 25 ) (2003年考題)
　　A.20   B.25   C.27   D.28
　　解析：后一個數與前一個數的差分別為：3，4，5，3，4這是一個循環數列，因而要 選的答案與20的差應該是5，所以答案應該是B。
　　例8：1， 3， 7， 15， 31， ( 63  ) (2003年考題)
　　A.61    B.62    C.63     D.64
　　解析：后一個數與前一個數的差分別為：2，4，8，16這顯然是一個等比數列，因而要 選的答案與31的差應該是32，所以答案應該是C。
　　例9：( 69 )，36，19，10，5，2(2003年考題)
　　A.77   B.69   C.54   D.48
　　解析：前一個數與后一個數的差分別為：3，5，9，17這個數列中前一個數的2倍減1得后一個數，后面的數應該是17*2－1=33，因而33+36=69答案應該是 B。
　　例10：1，2，6，15，31，( 56 ) (2003年考題)
　　A.53    B.56    C.62    D.87
　　解析：后一個數與前一個數的差分別為：1，4，9，16這顯然是一個完全平方數列，因而要選的答案與31的差應該是25，所以答案應該是B。
　　例11：1，3，18，216，( 5184 )
　　A.1023     B.1892    C.243    D.5184
　　解析：后一個數與前一個數的比值分別為：3，6，12這顯然是一個等比數列，因而要選的答案與216的比值應該是24，所以答案應該是D：216*24=5184。
　　例12： －2  1  7  16  ( 28 )  43
　　A.25     B.28     C.3l     D.35
　　解析：后一個數與前一個數的差值分別為：3，6，9這顯然是一個等差數列，因而要選的答案與16的差值應該是12，所以答案應該是B。
　　例13：1  3   6   10   15   ( )
　　A.20     B.21     C.30     D.25
　　解析：相鄰兩個數的和構成一個完全平方數列，即：1+3=4=2的平方，6+10=16=4的平方，則15+？=36=6的平方呢，答案應該是B。
　　例14：102，96，108，84，132，( 36 ) ，（228）(2006年考)

解析：后項減前項分別得－6，12，－24，48，是一個等比數列，則48后面的數應為－96，132－96=36，再看－96后面應是96X2=192，192+36=228。

妙題賞析：

規律類的中考試題，無論在素材的選取、文字的表述、題型的設計等方面都別具一格，令人耳目一新，其目的是繼續考察學生的創新意識與實踐能力，在往年“數字類”、“計算類”、“圖形類”的基礎上，今年又推陳出新，增加了“設計類”與“動態類”兩種新題型，現將歷年來中考規律類中考試題分析如下：

1、設計類

【例1】(2005年大連市中考題)在數學活動中，小明為了求 的值（結果用n表示），設計如圖a所示的圖形。（1）請你利用這個幾何圖形求 的值為          。

（2）請你利用圖b，再設計一個能求 的值的幾何圖形。

【例2】(2005年河北省中考題)觀察下面的圖形（每一個正方形的邊長均為1）和相應的等式，探究其中的規律：

（1）寫出第五個等式，并在下邊給出的五個正方形上畫出與之對應的圖示；

（2）猜想并寫出與第n個圖形相對應的等式。

解析：【例1】(1) （2）可設計如圖1，圖2， 圖3，圖4所示的方案：

【例2】（1） ，對應的圖形是

（2） 。

此類試題除要求考生寫出規律性的答案外，還要求設計出一套對應的方案，本題魅力四射，光彩奪目，極富挑戰性，要求考生大膽的嘗試，力求用圖形說話。考察學生的動手實踐能力與創新能力，體現了“課改改到哪，中考就考到哪！”的命題思想。

2、動態類

【例3】(2005年連云港市中考題)右圖是一回形圖，其回形通道的寬與OB的長均為1，回形線與射線OA交于點A1，A2，A3，…。若從O點到A1點的回形線為第1圈（長為7），從A1點到A2點的回形線為第2圈，……，依此類推。則第10圈的長為            。

【例4】(2005年重慶市中考題)已知甲運動方式為：先豎直向上運動1個單位長度后，再水平向右運動2個單位長度；乙運動方式為：先豎直向下運動2個單位長度后，再水平向左運動3個單位長度。在平面直角坐標系內，現有一動點P第1次從原點O出發按甲方式運動到點P1，第2次從點P1出發按乙方式運動到點P2，第3次從點P2出發再按甲方式運動到點P3，第4次從點P3出發再按乙方式運動到點P4,……。依此運動規律，則經過第11次運動后，動點P所在位置P11的坐標是                     。

解析：【例3】我們從簡單的情形出發，從中發現規律，第1圈的長為1+1+2+2+1，第2圈的長為2+3+4+4+2，第三圈的長為3+5+6+6+3，第四圈的長為4+7+8+8+4，……歸納得到第10圈的長為10+19+20+20+10＝79。【例4】（－3，－4）

3、數字類

【例5】(2005年福州市中考題)瑞士中學教師巴爾末成功地從光譜數據 ， ， ， ，……，中得到巴爾末公式，從而打開了光譜奧妙的大門。請你按這種規律寫出第七個數據是                     。

解析：【例5】這列數的分子分別為3，4，5的平方數，而分母比分子分別小4，則第7個數的分子為81，分母為77，故這列數的第7個為 。

【例6】(2005年長春市中考題)按下列規律排列的一列數對（1，2）（4，5）（7，8），…，第5個數對是                     。

解析：【例6】有序數對的 前一個數比后一個數小1，而每一個有序數對的第一個數形成等差數數列，1，4，7，故第5個數為13，故第5個有序數對為（13，14）。

【例7】(2005年威海市中考題)一組按規律排列的數： ， ， ， ， ，…請你推斷第9個數是                     

解析：【例7】中這列數的分母為2，3，4，5，6……的平方數，分子形成而二階等差數列，依次相差2，4，6，8……故第9個數為1+2+4+6+8+10+12+14+16＝73，分母為100，故答案為 。

【例8】(2005年濟南市中考題)把數字按如圖所示排列起來，從上開始，依次為第一行、第二行、第三行……，中間用虛線圍的一列，從上至下依次為1、5、13、25、…，則第10個數為                     。

解析：【例8】的一列數形成二階等差數列，他們依次相差4，8，12，16……故第10個數為1+4+8+12+16+20+24+28+32+36＝181。

【例9】(2005年武漢市中考題)下面是一個有規律排列的數表……上面數表中第9行、第7列的數是                     。

【例9】

4、計算類

【例10】(2005年陜西省中考題)觀察下列等式：         ，…… 則第n個等式可以表示為                     。

解析：【例10】

【例11】(2005年哈爾濱市中考題)觀察下列各式： ， ， ，……根據前面的規律，得：                     。（其中n為正整數）

解析：【例11】

【例12】(2005年耒陽市中考題)觀察下列等式：觀察下列等式：4－1=3，9－4=5，16－9=7，25－16=9，36－25=11，……這些等式反映了自然數間的某種規律，設n（n≥1）表示了自然數，用關于n的等式表示這個規律為                     。

解析：【例12】 （n≥1，n表示了自然數）

5、 圖形類

【例13】(2005年淄博市中考題)在平面直角坐標系中，橫坐標、縱坐標都為整數的點稱為整點。觀察圖中每一個正方形（實線）四條邊上的整點的個數，請你猜測由里向外第10個正方形（實線）四條邊上的整點共有                     個。

解析：【例13】第一個正方形的整點數為2×4－4＝4，第二個正方形的 正點數有3×4－4＝8，第三個正方形的整點數為4×4－4＝12個，……故第10個正方形的整點數為11×4－4＝40，

【例14】(2005年寧夏回自治區中考題) “ ”代表甲種植物，“ ”代表乙種植物，為美化環境，采用如圖所示方案種植。按此規律，第六個圖案中應種植乙種植物                     株。

【例14】第一個圖案中以乙中植物有2×2＝4個，第二個圖案中以乙中植物有3×3＝9個，第三個圖案中以乙中植物有4×4＝16個，……故第六個圖案中以乙中植物有7×7＝49個.

【例15】(2005年呼和浩特市中考題)如圖，是用積木擺放的一組圖案，觀察圖形并探索：第五個圖案中共有                     塊積木，第n個圖案中共有                     塊積木。

【例15】第一個圖案有1塊積木，第二個圖案形有1+3＝4＝2的平方，第三個圖案有1+3+5＝9＝3的平方，……故第5個圖案中積木有1+3+5+7+9＝25＝5的平方個塊，第n個圖案中積木有n的平方個塊。

綜觀規律性中考試題，考察了學生收集數據，分析數據，處理信息的能力，考生在回答此類試題時，要體現“從特殊到一般，從抽象到具體”的思想，要從簡單的情形出發，認真比較，發現規律，分析聯想，歸納猜想，推出結論，一舉成功。

2007?無錫）圖1是由若干個小圓圈堆成的一個形如正三角形的圖案，最上面－層有一個圓圈，以下各層均比上－層多一個圓圈，一共堆了n層．將圖1倒置后與原圖1拼成圖2的形狀，這樣我們可以算出圖1中所有圓圈的個數為1+2+3+…+n= ．

如果圖1中的圓圈共有12層，
（1）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖3的方式填上一串連續的正整數1，2，3，4，…，則最底層最左邊這個圓圈中的數是；
（2）我們自上往下，在每個圓圈中都按圖4的方式填上一串連續的整數－23，－22，－21，…，求圖4中所有圓圈中各數的絕對值之和．

解析：（1）圖3中依次排列為1，2，4，7，11……，如果用后項減前項依次得到1，2，3，4，5……，正好是等差數列，再展開原數列可以看出第一位是1，從第二位開始后項減前項得到等差數列，分解一下：1，1+1，1+1+2，1+1+2+3，1+1+2+3+4……,從分解看，第n個圓圈的個數應為1+(1+2+3+4+……n)，而1+2+3+4+……+n正好是連續自然數和的公式推導，上面已給出了公式: 1+2+3+…+n= ，則第n項公式為1+ ，已知共有12層，那么求圖3最左邊最底層這個圓圈中的數應是12層的第一個數，那么1+11（11+1）/2=67.

解析：（2）已知圖中的圓圈共有12層，按圖4的方式填上－23，，－22，－21，……,求圖4中所有圓圈中各數的絕對值之和？

第一層到第十二層共有多少個圓圈呢，運用等差數列求和公式得：（1+12）12/2=78個，那78個圓圈中有多少個負數，多少個正數呢，從已知條件可以看出，第一個數是－23，到－1有23個負數，1個0，78－24=54個正數， 1至54，所以分段求和，兩段相加得到圖4中所有圓圈的和。第一段：S= =（|－23|+|－1|）*23/2=276,第二段=（1+54）*54/2=1485，相加后得1761。

例如、觀察下列數表：

解析：根據數列所反映的規律，第 行第 列交叉點上的數應為______ .（樂山市2006年初中畢業會考暨高中階段招生統一考試）這一題，看上去內容比較多，實際很簡單。題目條件里的數構成一個正方形。讓我們求的是左上角至右下角對角線上第n個數是多少。我們把對角線上的數抽出來，就是1，3，5，7，……。這是奇數從小到大的排列。于是，問題便轉化成求第n個奇數的表達式。即2n－1。

還有，邵陽市2006年初中畢業學業考試試題卷（課改區）的數學試題“圖中的螺旋形由一系列等腰直角三角形組成，其序號依次為①、②、③、④、⑤……，則第n個等腰直角三角形的斜邊長為_____________。”也可以按照這個思想求解。

二、 要抓題目里的變量

找數學規律的題目，都會涉及到一個或者幾個變化的量。所謂找規律，多數情況下，是指變量的變化規律。所以，抓住了變量，就等于抓住了解決問題的關鍵。

例如，用同樣規格的黑白兩種顏色的正方形瓷磚按下圖方式鋪地板，則第（3）個圖形中有黑色瓷磚      塊，第 個圖形中需要黑色瓷磚      塊（用含 的代數式表示）.（海南省2006年初中畢業升考試數學科試題（課改區））

這一題的關鍵是求第 個圖形中需要幾塊黑色瓷磚？

解析：在這三個圖形中，前邊4塊黑瓷磚不變，變化的是后面的黑瓷磚。它們的數量分別是，第一個圖形中多出0×3塊黑瓷磚，第二個圖形中多出1×3塊黑瓷磚，第三個圖形中多出2×3塊黑瓷磚，依次類推，第n個圖形中多出（n－1）×3塊黑瓷磚。所以，第n個圖形中一共有4+（n－1）×3塊黑瓷磚。

云南省2006年課改實驗區高中（中專）招生統一考試也出有類似的題目：“觀察圖（l）至（4）中小圓圈的擺放規律，并按這樣的規律繼續擺放，記第n個圖中小圓圈的個數為m，則，m=           （用含 n 的代數式表示）.”

三、 要善于比較

“有比較才有鑒別”。通過比較，可以發現事物的相同點和不同點，更容易找到事物的變化規律。找規律的題目，通常按照一定的順序給出一系列量，要求我們根據這些已知的量找出一般規律。揭示的規律，常常包含著事物的序列號。所以，把變量和序列號放在一起加以比較，就比較容易發現其中的奧秘。

例如，觀察下列各式數：0，3，8，15，24，……。試按此規律寫出的第100個數是        。”

解答這一題，可以先找一般規律，然后使用這個規律，計算出第100個數。我們把有關的量放在一起加以比較：

給出的數：0，3，8，15，24，……。

序列號： 1，2，3， 4， 5，……。

容易發現，已知數的每一項，都等于它的序列號的平方減1。因此，第n項是n2－1，第100項是1002－1。

如果題目比較復雜，或者包含的變量比較多。解題的時候，不但考慮已知數的序列號，還要考慮其他因素。

譬如，日照市2005年中等學校招生考試數學試題“已知下列等式：

① 13＝12；

② 13＋23＝32；

③ 13＋23＋33＝62；

④ 13＋23＋33＋43＝102 ；

…… ……

由此規律知，第⑤個等式是                      ．”

解析：這個題目，在給出的等式中，左邊的加數個數在變化，加數的底數在變化，右邊的和也在變化。所以，需要進行比較的因素也比較多。就左邊而言，從上到下進行比較，發現加數個數依次增加一個。所以，第⑤個等式應該有5個加數；從左向右比較加數的底數，發現它們呈自然數排列。所以，第⑤個等式的左邊是13＋23＋33＋43＋53。再來看等式的右邊，指數沒有變化，變化的是底數。等式的左邊也是指數沒有變化，變化的是底數。比較等式兩邊的底數，發現和的底數與加數的底數和相等。所以，第⑤個等式右邊的底數是（1+2+3+4+5），和為152。

四、要善于尋找事物的循環節

有些題目包含著事物的循環規律，找到了事物的循環規律，其他問題就可以迎刃而解。

譬如，玉林市2005年中考數學試題：“觀察下列球的排列規律(其中●是實心球，○是空心球)：

●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●○○●●○○○○○●……

從第1個球起到第2004個球止，共有實心球        個。”

這些球，從左到右，按照固定的順序排列，每隔10個球循環一次，循環節是●○○●●○○○○○。每個循環節里有3個實心球。我們只要知道2004包含有多少個循環節，就容易計算出實心球的個數。因為2004÷10=200（余4）。所以，2004個球里有200個循環節，還余4個球。200個循環節里有200×3=600個實心球，剩下的4個球里有2個實心球。所以，一共有602個實心球。

五、要抓住題目中隱藏的不變量

有些題目，雖然形式發生了變化，但是本質并沒有改變。我們只要在觀察形式變化的過程中，始終注意尋找它的不變量，就可以揭示出事物的本質規律。

例如，2006年蕪湖市（課改實驗區）初中畢業學業考試題“請你仔細觀察圖中等邊三角形圖形的變換規律，寫出你發現關于等邊三角形內一點到三邊距離的數學事實：              。”

在這三個圖形中，白色的三角形是等邊三角形，里邊鑲嵌著三個黑色三角形。從左向右觀察，其中上邊兩個黑色三角形按照順時針的方向發生了旋轉，但是形狀沒有發生變化，當然黑色三角形的高也沒有發生變化。左起第一個圖形里黑色三角形高的和是等邊三角形里一點到三邊的距離和，最后一個圖形里，三個黑色三角形高的和是等邊三角形的高。所以，等邊三角形里任意一點到三邊的距離和等于它的高。

六、要進行計算嘗試

找規律，當然是找數學規律。而數學規律，多數是函數的解析式。函數的解析式里常常包含著數學運算。因此，找規律，在很大程度上是在找能夠反映已知量的數學運算式子。所以，從運算入手，嘗試著做一些計算，也是解答找規律題的好途徑。

例如，漢川市2006年中考試卷數學“觀察下列各式：0，x1，x2，2x3，3x4，5x5，8x6，……。試按此規律寫出的第10個式子是        。”

這一題，包含有兩個變量，一個是各項的指數，一個是各項的系數。容易看出各項的指數等于它的序列號減1，而系數的變化規律就不那么容易發現啦。然而，如果我們把系數抽出來，嘗試做一些簡單的計算，就不難發現系數的變化規律。

系數排列情況：0，1，1，2，3，5，8，……。

從左至右觀察系數的排列，依次求相鄰兩項的和，你會發現，這個和正好是后一項。也就是說原數列相鄰兩項的系數和等于后面一項的系數。使用這個規律，不難推出原數列第8項的系數是5+8=13，第9項的系數是8+13=21，第10項的系數是13+21=34。

所以，原數列第10項是34x9。