拿破侖·波拿巴是十九世紀(jì)法國偉大的軍事家、政治家，法蘭西第一帝國的皇帝。拿破侖也是一名頗具才能的數(shù)學(xué)愛好者，上軍校時曾獲得數(shù)學(xué)獎，被其數(shù)學(xué)老師視為得意門生。他發(fā)現(xiàn)并證明了以下定理：
以任意三角形各邊為邊分別向外側(cè)作等邊三角形，則他們的中心構(gòu)成一個等邊三角形。該等邊三角形稱為拿破侖三角形。如果向內(nèi)作三角形，結(jié)論同樣成立。
放手家長（頭條號@放手家長）曾利用復(fù)數(shù)三點比的性質(zhì)，對上述定理給出了一個非常漂亮的證明。證明簡潔美觀，感興趣的讀者可以去了解一下。
現(xiàn)在，我們重新思考拿破侖定理，初等幾何最常見兩大類幾何圖形就是三角形和矩形了。拿破侖定理中，是根據(jù)三角形的每條邊同時向內(nèi)或向外做正三角形，那么如果向外或向內(nèi)做正方形會如何呢？
如下圖，任取三角形ABC,以三條邊分別向外做正方形。取三個正方形的中心，連接成新三角形DEF。利用幾何畫板作圖如下：
然而，并沒有正三角出現(xiàn)，甚至連個等腰三角形也不是。似乎此路不通。
不著急。我們再仔細觀察一下上面的圖形。看起來，如果連接BG的話，似乎BG和EF是垂直的，而且長度還差不多。由三條邊的未加限定的一般性可知，假如BG和EF垂直且相等的話，那CE和FG垂直且相等，AF和EG垂直且相等。從圖上看來，似乎是成立的！不妨一試。
這里以驗證線段BG和EF的關(guān)系為例：隱藏?zé)o關(guān)線段，連接BG。移動三角形各個頂點，觀察EF、BG的長度和斜率變化，如下：
在變化的過程中，EF與BG始終相等且兩者斜率乘積為-1，也就是互相垂直。
現(xiàn)在，幾乎可以肯定結(jié)論是正確的，但幾何畫板不是證明。還需要給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。類似地，這里用復(fù)數(shù)的性質(zhì)進行證明。兩線段垂直且相等，其實就是旋轉(zhuǎn)90°的關(guān)系。等價于線段對應(yīng)的復(fù)數(shù)z1和z2滿足z1=±i*z2（i是虛數(shù)單位，i^2=-1)。
建立復(fù)平面，A,B,C,E,F,G各點分別表示一個復(fù)數(shù)。怎么樣處理這六個點呢？題設(shè)是先有任意一個三角形ABC，再有三個點EFG的，所以思路就是建立EFG三個點和ABC三點之間的關(guān)系。
容易知道，三角形AEB是等腰直角三角形，AE=BE,且互相垂直，對應(yīng)復(fù)數(shù)關(guān)系，也就是：
同理，有
于是
從而|EF|=|BG|，兩者的確垂直且相等。同理可證CE和FG垂直且相等，AF和EG垂直且相等。
證明完畢！
現(xiàn)在，我們再思考一下。拿破侖定理是利用任意三角形然后再做正三角形，上面的推廣把正三角形變成了正方形，以任意三角形然后再做正方形，我們也得到比較不錯的性質(zhì)。但是，似乎哪里有些不和諧的地方？
任意三角形是不是可以改成任意四邊形呢？以該四邊形的四條邊再做四個正方形，這樣是不是和拿破侖定理更有”對稱性“的一種推廣形式呢？不妨一試。
幾何畫板作圖如下：作任意四邊形ABCD,分別以各邊向外做正方形，中心分別是EFGH.
有了前面的鋪墊，一眼可以看出GE與FH垂直且相等。
類似地，利用復(fù)數(shù)，有如下證明：
于是，我們得到奧貝爾定理：任意一個四邊形（凸或凹皆可），在其各邊外側(cè)構(gòu)造一個正方形。將對邊正方形的中心連線，就得到兩條長度相等且互相垂直的線段。三角形可以視為四邊形的特例——一條邊為0的四邊形。此時，兩個頂點以及相應(yīng)正方形的中心收縮為同一個點，奧貝爾定理仍成立。
復(fù)數(shù)作為幾何證明的一種方法，其實就是解析幾何中的向量分析。但復(fù)數(shù)天然地既可視為數(shù)，又可視為旋轉(zhuǎn)拉伸變換，具有良好的運算性質(zhì)和清晰的幾何意義，所以許多平面幾何的問題，運用復(fù)數(shù)都可以做出比較簡潔的解答。
