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如何把握啟發(fā)學(xué)生思維的度

人民教育出版社章建躍

我們知道，啟發(fā)式教學(xué)就是通過適當(dāng)?shù)膯栴}啟發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)學(xué)生抽象數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)特征而理解概念，分析數(shù)學(xué)對象各要素之間的相互關(guān)系而得出性質(zhì)，建立相關(guān)知識的多元聯(lián)系表征而發(fā)現(xiàn)解題思路，發(fā)現(xiàn)實(shí)際問題中的數(shù)量關(guān)系、空間形式而建立數(shù)學(xué)模型等等。因此，教師提問題的質(zhì)量決定了教學(xué)的質(zhì)量，而問題的質(zhì)量主要體現(xiàn)在“啟發(fā)度”的把握上。“啟發(fā)度”可以從兩個(gè)方面衡量：是否反映數(shù)學(xué)本質(zhì)和是否在學(xué)生思維最近發(fā)展區(qū)內(nèi)。由此可見，高質(zhì)量的問題基于“理解數(shù)學(xué)”、“理解學(xué)生”。

最近跟隨“名師送教下鄉(xiāng)”，聽到名師上的一堂“正弦定理”課，發(fā)現(xiàn)大家都沒有關(guān)注到教學(xué)中的“啟發(fā)度”問題，不經(jīng)意間就喪失了“思維的教學(xué)”的機(jī)會(huì)。在給出正弦定理后，老師提出如下問題：

要證明三個(gè)對稱式連等，可以先證明兩式相等，然后看能否同理可得。要證

，即證

。如圖1，

和

的幾何意義是什么？你能證明它們相等嗎？

在這一問題的強(qiáng)力“引導(dǎo)”下，學(xué)生順利“發(fā)現(xiàn)”了

和

的幾何意義都是

邊上的高，證明也“水到渠成”。但“順利”的證明使學(xué)生失去了實(shí)質(zhì)性數(shù)學(xué)思考的機(jī)會(huì)：

第一，正弦定理的結(jié)構(gòu)具有對稱性，在構(gòu)建證明思路的過程中具有先行組織者作用，教師指出“要證明三個(gè)對稱式連等，可以先證明兩式相等，然后看能否同理可得”，使學(xué)生失去了分析表達(dá)式結(jié)構(gòu)特征并據(jù)此構(gòu)建簡捷的證明思路的機(jī)會(huì)；

第二，證明過程中，將表達(dá)式變形為

，這是發(fā)現(xiàn)證明方法的關(guān)鍵，教師點(diǎn)明“要證

，即證

”，大幅度降低了這一內(nèi)容的思維教學(xué)價(jià)值；

第三，BC邊上的高AD是聯(lián)系

和

的橋梁，或者說是高AD的兩種等價(jià)表示，是正弦定理的“題眼”，教師不僅提示了“

和

的幾何意義”，而且還給出了圖形，輔助線AD扎破了“題眼”，堵塞了學(xué)生的思維空間。

以圖1為基礎(chǔ)得出證明后，教師提出如下問題：“上述證法能行嗎？”

課堂上，學(xué)生面面相覷。當(dāng)時(shí)，我與身邊的學(xué)生交流：“你知道老師問什么嗎？”學(xué)生回答：“不太清楚。大概是證明中有什么錯(cuò)誤。”“發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤了嗎？”“沒錯(cuò)呀！”“那老師想讓你們干什么？”“不知道！”

老師見學(xué)生不知所云，就自己說：這一證明對銳角三角形是成立的，但對直角三角形和鈍角三角形沒有證明，應(yīng)該補(bǔ)上。接著就給出了如下補(bǔ)證：

若

是直角三角形，不妨設(shè)

為直角，則

。又

，所以

。

若

是鈍角三角形，不妨設(shè)

為鈍角。如圖2，

作

邊上的高

。在

，

；在

，

。則

，即

。

同理　

。

故

。

綜上，正弦定理得證。

我再與身邊的學(xué)生交流：“聽懂了嗎？”“懂了。”“為什么要分三種情況證明？”“因?yàn)橛腥N類型的三角形。”“這就是分類的理由嗎？”“大概是吧。”“老師說‘不妨’設(shè)

為鈍角，什么意思？”“不知道！”由學(xué)生的這些回答可見，這堂課他知道了“是什么”，但對“為什么”則基本不知道。

深入思考，發(fā)現(xiàn)這一段教學(xué)在思維的啟發(fā)度上很值得推敲：

首先是教師提出的問題“上述證法能行嗎？”這是一個(gè)不明確的問題，談不上啟發(fā)，難怪學(xué)生沒有反映。

接著，在沒有啟發(fā)學(xué)生思考這一證明為什么對另兩類三角形不適用的情況下，老師直接提出要分類證明，難怪學(xué)生表示“聽懂了，但不知道為什么”。

第三，證明中有兩個(gè)“不妨”，這是很要緊的，它基于正弦定理的結(jié)構(gòu)特征，是證明“對稱式”的一般套路，教師沒有讓學(xué)生明白為什么可以這樣做，失去了一次如何根據(jù)問題的特點(diǎn)優(yōu)化數(shù)學(xué)證明、給出簡潔的數(shù)學(xué)表達(dá)的思維教學(xué)機(jī)會(huì)。

實(shí)際上，需要分類證明是因?yàn)樗鞯母哂腥愇恢谩谌切蝺?nèi)、與三角形一邊重合、在三角形外，籠統(tǒng)地說“三角形有三類”不能說明問題。

例如，

為鈍角時(shí)，作AB邊上的高

，有

，與銳角三角形的情形一致。

而在具體證明中，利用好不同類型三角形的高的特征，將使證明變得簡捷。例如，在

為鈍角時(shí)，BC和CA邊上的高是“同類”的，由此就可“同理”得出兩個(gè)等式關(guān)系。這些都是設(shè)計(jì)啟發(fā)性問題的“點(diǎn)”。

其實(shí)，還有進(jìn)一步的問題，即啟發(fā)學(xué)生調(diào)動(dòng)相關(guān)知識，避免分類而證明之。這是對問題深化認(rèn)識的過程，也是通過建立知識的聯(lián)系而找到證明“巧法”的過程。化歸為直角三角形的證法，基本且容易想到，貌似笨拙但大巧若拙；其他“巧法”，需要調(diào)動(dòng)更多的相關(guān)知識，不容易想到，其作用是通過建立知識的聯(lián)系性而發(fā)展良好認(rèn)知結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)靈活解題。

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