最近，一部以網絡詐騙為背景的電影《孤注一擲》爆火，影片取材自上萬例真實案件，講述了程序員潘生、模特梁安娜被海外高薪招聘吸引，出國淘金，卻意外落入境外詐騙工廠陷阱的故事。看過的小伙伴不知是否還記得影片開頭提到的凱利公式，它很好地詮釋了賭徒迷信的是運氣，賭場相信的卻是數學。一個癡迷于發財夢的賭徒永遠不明白，與自己對賭的不是運氣，也不是莊家，而是狄利克雷、伯努利、高斯、納什、凱利這樣的數學大師。今天，我們就來聊聊為什么說你永遠贏不了“凱利公式”？
凱利公式的前世今生
凱利于1923年出生在美國德克薩斯州，1953年獲得物理學博士學位后，去了號稱諾獎批發部的貝爾實驗室工作。在貝爾實驗室中，他認識了好友兼同事，著名信息論創始人的克勞德·香農。1956年凱利受到香農信息論的啟發，在《貝爾技術系統期刊》中發表了一篇名為《對信息傳輸速率的新解釋》的論文。然而這并不是論文原來的標題，原標題更有意思，叫《信息論與賭博》。因為公司高層覺得這樣的標題有損公司道德形象，才被迫他換了一個新名字。但凱利的初衷確實是以一個棒球比賽的賭徒視角，去思考如何合理押注才能讓資產得到最大指數的增長。雖然標題不嚴肅，但論文的證明過程卻相當嚴謹。凱利公式正是在這樣的背景下提出來的，它指出在一個期望收益為正的重復性賭局或者重復性投資中，每一期應該下注的最優比例。
凱利公式長啥樣
上面這個式子便是凱利公式的廬山真面目，在公式中，各參數代表的意義為：
f=應投注的資本比值；
p=獲勝的概率；
q=失敗的概率，即1-p；
b=除去本金外計算的賠率。
公式上面的分子bp-q代表“贏面”，數學中也叫“期望值”。什么才是不多不少的合適賭注呢？凱利告訴我們要通過選擇最佳投注比例才能長期獲得最高盈利。看完這個公式你可能還有點懵，下面我們來舉個例子。
假如甲乙兩人玩投骰子游戲，投到1、2、3甲贏，投到4、5、6乙贏，每次游戲下注10元。贏了拿走30元，輸了就沒有錢拿。那么，對于雙方來說：
p=0.5；q=0.5；b=
；
如果你有100元錢，根據公式：f= [（2*0.5）-0.5] /2 = 25%
也就是說，在這種勝率下，你可以投25元錢試試手氣最合理。賭場的操盤者在每一次下注時，都會謹記數學原則，而作為普通的賭徒，除了心中默念“菩薩保佑”外，哪里知道這后面的數理知識。所以，就算你贏得了財神爺的支持，但你也永遠贏不了“凱利公式”。
看得到的是概率，看不見的是陷阱
我們知道，大量重復的隨機現象背后，其實藏著某種必然規律，這也許就是我們這個世界的潛在規律和運行法則。以拋硬幣為例，當投擲次數足夠大時，出現正（反）面的頻率將逐漸接近于1/2，且隨著投擲次數的增加，偏差會越來越小，如下圖。這是最早發現的大數定律之一。
擲硬幣頻率分布圖
從表面概率看，這確實是場公平的游戲。但這種公平是有一定條件的。大數定律講究“大量重復的隨機現象”，只有足夠多次試驗才能使得硬幣正反面出現次數與總次數之比幾乎等于1/2。可具體多少次才算“足夠多”？才能夠把它用在個人對賭上？沒有人知道。因為，概率論給出的答案是——無窮大。把“大數定律”當“小數定律”，覺得游戲是無條件“公平”的，正面和反面出現的頻率都為1/2。這種在潛意識里被奉為圭臬的“公平”，緊接著讓你踏入了第二個誤解——“賭徒謬誤”。
賭場謬誤的來源是因為將前后互相獨立的隨機事件當成有關聯而產生的。怎么樣算是獨立的隨機事件呢？比如說，拋硬幣一次，是一個隨機事件；再拋一次，是另一個隨機事件。兩個事件獨立的意思是說，第二次的結果并不依賴于第一次的結果，互相沒有關聯。道理容易懂，但有時仍會犯糊涂。比如說，當你用硬幣接連拋了5次正面，到了第6次，你可能會認為這次正面出現的概率更小了（＜1/2），反面出現的概率更大了（＞1/2)。也有人是逆向思維，認為既然5次都是正面，也可能繼續是正面(也被稱為熱手謬誤)。實際上這兩種想法，都是掉進了“賭徒謬誤”的泥坑。也就是說，將獨立事件想成了互相關聯事件。
數學家愛德華·索普（Edward Thorp）曾經應用凱利公式，在賭場賺了幾十萬美元，并且寫了一本名為《擊敗莊家》的書。但是賭場也不傻，不會坐以待斃，把索普列入黑名單，并修改了21點游戲的規則，于是重新確立概率優勢。由此看來，對我們普通人來說，要想真正贏得人生這場賭局，法則只有一個：不賭。
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