浙江省常山縣第一中學 熊星飛
圓錐曲線的兩根不對稱問題是近年來平面解析幾何中的重點和難點問題，學生在解題時普遍感到難以入手.筆者研究發現,可以通過交換兩點的位置,快速化不對稱問題為對稱問題(即對稱交換法).本文通過一道試題舉例說明對稱變換法的使用，供讀者參考.
試題 如圖1，已知橢圓
解 設M(x1,y1),N(x2,y2),直線l的方程為y=kx+1.與橢圓方程聯立并消去y,得(3+4k2)x2+8kx-8=0,于是
由
用yi=kxi+1(i=1,2)代入,化簡得
kx1x2+(2k+2)x1+(4k-1)x2+6=0.②
由
(2k+3)x1+4kx2+6=0.③
顯然,①②③ 都不是關于x1,x2對稱的輪換式,不能用韋達理理直接代入化簡求解.
對于此類問題,一般來說,可以考慮從以下幾種角度出發求解.
解法1 方程組法
考慮三元方程組
先由③④兩式消去變量x2，可得
經檢驗，
評注 這種方法具有一般性,由于計算量較大,耗費時間,在解題中一般不會使用.
解法2 平方化簡法
把①式兩邊平方,得
由點M，N在橢圓上,得
于是
經檢驗，
評注 這種解法利用平方法使非對稱式轉化為關于x1,x2的對稱式,方便了用韋達定理代入求解.但由于平方變形,使得不符合要求的等式k1=-2k2也混入了方程的解中,由此產生的增根,需要進一步驗根.
解法3 垂徑定理法
由于A,B是橢圓上關于中心對稱的兩點,且N是橢圓上的點,故
經檢驗，當
評注 此法根據橢圓的垂徑定理及條件k1=2k2,快速得到關于x1,x2對稱式,但由于化簡過程的不等價會產生增根.
解法4 對稱交換法
(2k+3)x2+4kx1+6=0.⑦
將③與⑦相加或相乘，均可得到關于x1,x2對稱式,求得
也可以把③與⑦相減，得(-2k+3)(x1-x2)=0，由x1≠x2，得
評注 這種方法由原來的不對稱,交換x1與x2后,把得到的兩式通過加法或乘法等運算使得其成為對稱式,可快速求解.甚至還可以把③⑦兩式相減繞過韋達定理直接求解.這種對稱交換兩根的方法是這種兩根不對稱問題通性解法,簡單易求.
反思 該題已知條件kAM=2kBN中沒有明確點M與N的相對位置關系,說明M與N兩點的地位相同,因此其坐標可以相互交換,因此kAN=2kBM也成立.即這種圓錐曲線中表面上的不對稱性,其實質還是一種隱蔽的對稱性問題.
解法5 極點極線法
如圖2，由于四邊形AMBN四個頂點A,B,M,N均在橢圓上,且對角線AB與MN相交于點
設P(-4k,t)，則由
評注 此法與前面的解析法不同,屬于高觀點求解，直接應用圓錐曲線極點極線的特性得到關于k的方程,且沒有產生增根.
《普通高中新課程標準》要求高中數學課程要培養學生的核心素養,要求教師把握數學本質,啟發思考,改進教學.通過高中數學課程的學習,樹立敢于質疑、善于思考、嚴謹求實的科學精神,不斷提高實踐能力,提升創新意識.本文通過幾種解法的比較,雖然解題方法各異,但都體現了數學的核心思想方法——方程的思想.通過不同途徑得到關于斜率k的方程.方法3是借用了橢圓的“垂徑定理”,使原本具有對稱性的kAM與kAN,轉化為看似不具對稱性的kAM與kBN,給這道題蒙上了一層神秘的面紗,也許這就是命題的本意.方法4是圓錐曲線中兩根對稱問題(隱蔽性對稱問題),交換兩點坐標，通過加法或乘法運算轉化為對稱式,揭開了這種不對稱性的問題的面紗.方法5簡單快捷,最終還是借助于橢圓極線的對稱性化解了不對稱.正所謂“看山是山,看水是水;看山不是山,看水不是水;最終看山還是山,看水還是水”.
