是近代發展起來的一個研究連續性現象的數學分支。中文名稱起源于希臘語Τοπολογ?α的音譯。Topology原意為地貌，于19世紀中期由科學家引入，當時主要研究的是出于數學分析的需要而產生的一些幾何問題。發展至今，拓撲學主要研究拓撲空間在拓撲變換下的不變性質和不變量。
舉例來說，在通常的平面幾何里，把平面上的一個圖形搬到另一個圖形上，如果完全重合，那么這兩個圖形叫做全等形。但是，在拓撲學里所研究的圖形，在運動中無論它的大小或者形狀都發生變化。在拓撲學里沒有不能彎曲的元素，每一個圖形的大小、形狀都可以改變。例如，前面講的歐拉在解決哥尼斯堡七橋問題的時候，他畫的圖形就不考慮它的大小、形狀，僅考慮點和線的個數。這些就是拓撲學思考問題的出發點。
簡單地說，拓撲就是研究有形的物體在連續變換下，怎樣還能保持性質不變。
拓撲性質
拓撲性質有那些呢？首先我們介紹拓撲等價，這是比較容易理解的一個拓撲性質。
在拓撲學里不討論兩個圖形全等的概念，但是討論拓撲等價的概念。比如，盡管圓和方形、三角形的形狀、大小不同，在拓撲變換下，它們都是等價圖形。換句話講，就是從拓撲學的角度看，它們是完全一樣的。
在一個球面上任選一些點用不相交的線把它們連接起來，這樣球面就被這些線分成許多塊。在拓撲變換下，點、線、塊的數目仍和原來的數目一樣，這就是拓撲等價。一般地說，對于任意形狀的閉曲面，只要不把曲面撕裂或割破，他的變換就是拓撲變幻，就存在拓撲等價。
應該指出，環面不具有這個性質。比如像左圖那樣，把環面切開，它不至于分成許多塊，只是變成一個彎曲的圓桶形，對于這種情況，我們就說球面不能拓撲的變成環面。所以球面和環面在拓撲學中是不同的曲面。
直線上的點和線的結合關系、順序關系，在拓撲變換下不變，這是拓撲性質。在拓撲學中曲線和曲面的閉合性質也是拓撲性質。
我們通常講的平面、曲面通常有兩個面，就像一張紙有兩個面一樣。但德國數學家莫比烏斯(1790～1868)在1858年發現了莫比烏斯曲面。這種曲面就不能用不同的顏色來涂滿兩個側面。
拓撲變換的不變性、不變量還有很多，這里不在介紹。
拓撲發展
拓撲學建立后，由于其它數學學科的發展需要，它也得到了迅速的發展。特別是黎曼創立黎曼幾何以后，他把拓撲學概念作為分析函數論的基礎，更加促進了拓撲學的進展。
二十世紀以來，集合論被引進了拓撲學，為拓撲學開拓了新的面貌。拓撲學的研究就變成了關于任意點集的對應的概念。拓撲學中一些需要精確化描述的問題都可以應用集合來論述。
因為大量自然現象具有連續性，所以拓撲學具有廣泛聯系各種實際事物的可能性。通過拓撲學的研究，可以闡明空間的集合結構，從而掌握空間之間的函數關系。本世紀三十年代以后，數學家對拓撲學的研究更加深入，提出了許多全新的概念。比如，一致性結構概念、抽象距概念和近似空間概念等等。有一門數學分支叫做微分幾何，是用微分工具來研究取線、曲面等在一點附近的彎曲情況，而拓撲學是研究曲面的全局聯系的情況，因此，這兩門學科應該存在某種本質的聯系。1945年，美籍中國數學家陳省身建立了代數拓撲和微分幾何的聯系，并推進了整體幾何學的發展。
拓撲學發展到今天，在理論上已經十分明顯分成了兩個分支。一個分支是偏重于用分析的方法來研究的，叫做點集拓撲學，或者叫做分析拓撲學。另一個分支是偏重于用代數方法來研究的，叫做代數拓撲。現在，這兩個分支又有統一的趨勢。
拓撲學在泛函分析、李群論、微分幾何、微分方程額其他許多數學分支中都有廣泛的應用。
發展簡史
拓撲學起初叫形勢分析學，這是G.W.萊布尼茨1679年提出的名詞(中文譯成形勢，形指一個圖形本身的性質，勢指一個圖形與其子圖形相對的性質，經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，紐結和嵌入問題就是勢的問題)。隨后波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了系統的研究。L.歐拉1736年解決了七橋問題，1750年發表了多面體公式;C.F.高斯1833年在電動力學中用線積分定義了空間中兩條封閉曲線的環繞數。拓撲學這個詞（中文是音譯）是J.B.利斯廷提出的(1847)，源自希臘文(位置、形勢)與(學問)。這是萌芽階段。
1851年起，B.黎曼在復函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，并且強調，為了研究函數、研究積分，就必須研究形勢分析學。從此開始了拓撲學的系統研究，在點集論的思想影響下，黎曼本人解決了可定向閉曲面的同胚分類問題。如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在幾何學的研究中黎曼明確提出n維流形的概念(1854)。得出許多拓撲概念，
組合拓撲學的奠基人是H.龐加萊。他是在分析學和力學的工作中，特別是關于復函數的單值化和關于微分方程決定的曲線的研究中，引向拓撲學問題的，但他的方法有時不夠嚴密，他的主要興趣在n維流形。在1895～1904年間，他創立了用剖分研究流形的基本方法。他引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓系數，并提出了具體計算的方法。他引進了許多不變量：基本群、同調、貝蒂數、撓系數，他探討了三維流形的拓撲分類問題，提出了著名的龐加萊猜想。他留下的豐富思想影響深遠，但他的方法有時不夠嚴密，過多地依賴幾何直觀。特別是關于復函數的單值化和關于微分方程決定的曲線的研究中，
拓撲學的另一淵源是分析學的嚴密化。他是在分析學和力學的工作中，實數的嚴格定義推動G.康托爾從1873年起系統地展開了歐氏空間中的點集的研究，得出許多拓撲概念，如聚點（極限點）、開集、閉集、稠密性、連通性等。在點集論的思想影響下，分析學中出現了泛函數（即函數的函數）的觀念，把函數集看成一種幾何對象并討論其中的極限。這終于導致抽象空間的觀念。這樣，B.黎曼在復函數的研究中提出了黎曼面的幾何概念，到19、20世紀之交，已經形成了組合拓撲學與點集拓撲學這兩個研究方向。這是萌芽階段。
一般拓撲學 最早研究抽象空間的是M.-R.弗雷歇，在1906年引進了度量空間的概念。F.豪斯多夫在《集論大綱》（1914）中用開鄰域定義了比較一般的拓撲空間，標志著用公理化方法研究連續性的一般拓撲學的產生。L.歐拉1736年解決了七橋問題，隨后波蘭學派和蘇聯學派對拓撲空間的基本性質（分離性、緊性、連通性等）做了系統的研究。經過20世紀30年代中期起布爾巴基學派的補充（一致性空間、仿緊性等）和整理，一般拓撲學趨于成熟，成為第二次世界大戰后數學研究的共同基礎。從其方法和結果對于數學的影響看，緊拓撲空間和完備度量空間的理論是最重要的。緊化問題和度量化問題也得到了深入的研究。公理化的一般拓撲學晚近的發展可見一般拓撲學。
歐氏空間中的點集的研究，例如，一直是拓撲學的重要部分，已發展成一般拓撲學與代數拓撲學交匯的領域，也可看作幾何拓撲學的一部分。50年代以來，即問兩個映射，以R.H.賓為代表的美國學派的工作加深了對流形的認識，是問兩個給定的映射是否同倫，在四維龐加萊猜想的證明中發揮了作用。從皮亞諾曲線引起的維數及連續統的研究，習慣上也看成一般拓撲學的分支。
代數拓撲學 L.E.J.布勞威爾在1910～1912年間提出了用單純映射逼近連續映射的方法， 許多重要的幾何現象，用以證明了不同維的歐氏空間不同胚，它們就不同胚。引進了同維流形之間的映射的度以研究同倫分類，并開創了不動點理論。他使組合拓撲學在概念精確、論證嚴密方面達到了應有的標準，而歐拉數υ-e+?>則是）。成為引人矚目的學科。緊接著，J.W.亞歷山大1915年證明了貝蒂數與撓系數的拓撲不變性。如連通性、緊性），
隨著抽象代數學的興起，1925年左右A.E.諾特提議把組合拓撲學建立在群論的基礎上，在她的影響下H.霍普夫1928年定義了同調群。從此組合拓撲學逐步演變成利用抽象代數的方法研究拓撲問題的代數拓撲學。如維數、歐拉數，S.艾倫伯格與N.E.斯廷羅德1945年以公理化的方式總結了當時的同調論，后寫成《代數拓撲學基礎》(1952)，對于代數拓撲學的傳播、應用和進一步發展起了巨大的推動作用。他們把代數拓撲學的基本精神概括為：把拓撲問題轉化為代數問題，通過計算來求解。同調群，以及在30年代引進的上同調環，都是從拓撲到代數的過渡（見同調論）。直到今天，三角形與圓形同胚；而直線與圓周不同胚，同調論（包括上同調）所提供的不變量仍是拓撲學中最易于計算的，因而也最常用的。不必加以區別。
同倫論研究空間的以及映射的同倫分類。W.赫維茨1935～1936年間引進了拓撲空間的n維同倫群，其元素是從n維球面到該空間的映射的同倫類，而且
?同它的逆映射?-1:
B→
A都是連續的，一維同倫群恰是基本群。同倫群提供了從拓撲到代數的另一種過渡，確切的含義是同胚。其幾何意義比同調群更明顯， 前面所說的幾何圖形的連續變形，但是極難計算。同倫群的計算，特別是球面的同倫群的計算問題刺激了拓撲學的發展，產生了豐富多彩的理論和方法。1950年J.P.塞爾利用J.勒雷為研究纖維叢的同調論而發展起來的譜序列這個代數工具，最簡單的例子是歐氏空間。在同倫群的計算上取得突破，為其后拓撲學的突飛猛進開辟了道路。
從50年代末在代數幾何學和微分拓撲學的影響下產生了K 理論，解決了關于流形的一系列拓撲問題開始，出現了好幾種廣義同調論。它們都是從拓撲到代數的過渡，就是一個廣義的幾何圖形。盡管幾何意義各不相同，如物理學中一個系統的所有可能的狀態組成所謂狀態空間，代數性質卻都與同調或上同調十分相像，是代數拓撲學的有力武器。從理論上也弄清了，同調論（普通的和廣義的）本質上是同倫論的一部分。
從微分拓撲學到幾何拓撲學 微分拓撲學是研究微分流形與微分映射的拓撲學。這些性質與長度、角度無關，J.-L.拉格朗日、B.黎曼、H.龐加萊早就做過微分流形的研究；隨著代數拓撲學和微分幾何學的進步， 以上這些例子啟示了：幾何圖形還有一些不能用傳統的幾何方法來研究的性質。在30年代重新興起。H.惠特尼1935年給出了微分流形的一般定義，并證明它總能嵌入高維歐氏空間作為光滑的子流形。為了研究微分流形上的向量場，他還提出了纖維叢的概念，從而使許多幾何問題都與上同調（示性類）和同倫問題聯系起來了。
1953年R.托姆的協邊理論(見微分拓撲學)開創了微分拓撲學與代數拓撲學并肩躍進的局面，許多困難的微分拓撲問題被化成代數拓撲問題而得到解決，同時也刺激了代數拓撲學的進一步發展。從動點指向其像點的向量轉動的圈數。1956年J.W.米爾諾發現七維球面上除了通常的微分結構之外，還有不同尋常的微分結構。每個不動點也有個“指數”，隨后，不能賦以任何微分結構的流形又被人構作出來，這些都顯示拓撲流形、微分流形以及介于其間的分段線性流形這三個范疇有巨大的差別，微分拓撲學也從此被公認為一個獨立的拓撲學分支。1960年S.斯梅爾證明了五維以上微分流形的龐加萊猜想。J.W.米爾諾等人發展了處理微分流形的基本方法──剜補術，使五維以上流形的分類問題亦逐步趨向代數化。
近些年來，有關流形的研究中，幾何的課題、幾何的方法取得不少進展。突出的領域如流形的上述三大范疇之間的關系以及三維、四維流形的分類。80年代初的重大成果有：證明了四維龐加萊猜想，發現四維歐氏空間竟還有不同尋常的微分結構。這種種研究，通常泛稱幾何拓撲學，以強調其幾何色彩，而環面上卻可以造出沒有奇點的向量場。區別于代數味很重的同倫論。
拓撲學與其他學科的關系 連續性與離散性這對矛盾在自然現象與社會現象中普遍存在著，數學也可以粗略地分為連續性的與離散性的兩大門類。拓撲學對于連續性數學自然是帶有根本意義的，對于離散性數學也起著巨大的推進作用。例如，拓撲學的基本內容已經成為現代數學工作者的常識。拓撲學的重要性，體現在它與其他數學分支、其他學科的相互作用。
拓撲學與微分幾何學有著血緣關系，向量場問題 考慮光滑曲面上的連續的切向量場，它們在不同的層次上研究流形的性質。就看其中是否不含有這兩個圖之一。為了研究黎曼流形上的測地線，一個網絡是否能嵌入平面，H.M.莫爾斯在20世紀20年代建立了非退化臨界點理論，把流形上光滑函數的臨界點的指數與流形本身的貝蒂數聯系起來，并發展成大范圍變分法。莫爾斯理論后來又用于拓撲學中，證明了典型群的同倫群的博特周期性(這是K 理論的基石)，并啟示了處理微分流形的剜補術。微分流形、纖維叢、示性類給É.嘉當的整體微分幾何學提供了合適的理論框架，也從中獲取了強大的動力和豐富的課題。G.皮亞諾在1890年竟造出一條這樣的“曲線”，陳省身在40年代引進了“陳示性類”，就不但對微分幾何學影響深遠，隨一個參數（時間）連續變化的動點所描出的軌跡就是曲線。對拓撲學也十分重要。樸素的觀念是點動成線，纖維叢理論和聯絡論一起為理論物理學中楊－米爾斯規范場論（見楊－米爾斯理論）提供了現成的數學框架， 維數問題 ">維數問題 </font> 什么是曲線？猶如20世紀初黎曼幾何學對于A.愛因斯坦廣義相對論的作用。規范場的研究又促進了四維的微分拓撲學出人意料的進展。
拓撲學對于分析學的現代發展起了極大的推動作用。隨著科學技術的發展，需要研究各式各樣的非線性現象，分析學更多地求助于拓撲學。要問一個結能否解開（即能否變形成平放的圓圈），3O年代J.勒雷和J.P.紹德爾把L.E.J.布勞威爾的不動點定理和映射度理論推廣到巴拿赫空間形成了拓撲度理論。后者以及前述的臨界點理論，紐結問題 ">紐結問題 空間中一條自身不相交的封閉曲線，都已成為研究非線性偏微分方程的標準的工具。所以這顏色數也是曲面在連續變形下不變的性質。微分拓撲學的進步，促進了分析學向流形上的分析學(又稱大范圍分析學)發展。在托姆的影響下，然后隨意扭曲，微分映射的結構穩定性理論和奇點理論已發展成為重要的分支學科。S.斯梅爾在60年代初開始的微分動力系統的理論，要七色才夠。就是流形上的常微分方程論。M.F.阿蒂亞等人60年代初創立了微分流形上的橢圓型算子理論。著名的阿蒂亞－辛格指標定理把算子的解析指標與流形的示性類聯系起來，是分析學與拓撲學結合的范例。現代泛函分析的算子代數已與K 理論、指標理論、葉狀結構密切相關。在多復變函數論方面，來自代數拓撲的層論已經成為基本工具。
拓撲學的需要大大刺激了抽象代數學的發展，并且形成了兩個新的代數學分支：同調代數與代數K 理論。 四色問題 在平面或球面上繪制地圖，代數幾何學從50年代以來已經完全改觀。把曲面變形成多面體后的歐拉數υ-e+?在其中起著關鍵的作用（見http://baike7.com/baike/%CA%FD%D1%A7_%B1%D5%C7%FA%C3%E6%B5%C4%B7%D6%C0%E0.html target=_blank>閉曲面的分類).托姆的協邊論直接促使代數簇的黎曼－羅赫定理的產生，后者又促使拓撲K 理論的產生。現代代數幾何學已完全使用上同調的語言，在連續變形下封閉曲面有多少種不同類型？代數數論與代數群也在此基礎上取得許多重大成果，例如有關不定方程整數解數目估計的韋伊猜想和莫德爾猜想的證明（見代數數論）。
范疇與函子的觀念，是在概括代數拓撲的方法論時形成的。范疇論已深入數學基礎、代數幾何學等分支（見范疇）；對拓撲學本身也有影響，通俗的說法是框形里有個洞。如拓撲斯的觀念大大拓廣了經典的拓撲空間觀念。凸形與框形之間有比長短曲直更本質的差別，
在經濟學方面，這說明，J.馮·諾伊曼首先把不動點定理用來證明均衡的存在性。在現代數理經濟學中，對于經濟的數學模型，均衡的存在性、性質、計算等根本問題都離不開代數拓撲學、微分拓撲學、大范圍分析的工具。在系統理論、對策論、規劃論、網絡論中拓撲學也都有重要應用。
托姆以微分拓撲學中微分映射的奇點理論為基礎創立了突變理論，為從量變到質變的轉化提供各種數學模式。在物理學、化學、生物學、語言學等方面已有不少應用"歐拉的多面體公式與曲面的分類 ">歐拉的多面體公式與曲面的分歐拉發現，
除了通過各數學分支的間接的影響外，拓撲學的概念和方法對物理學(如液晶結構缺陷的分類)、化學（如分子的拓撲構形）、生物學(如DNA的環繞、拓撲異構酶)都有直接的應用。
拓撲學與各數學領域、各科學領域之間的邊緣性研究方興未艾。
參考書目 江澤涵著：《拓撲學引論》，上海科學技術出版社，上海，1978。 M.A.Armstrong 著，孫以豐譯：《基礎拓撲學》，北京大學出版社，北京，上有七座橋（見圖論）。1983。(M.A.Armstrong，basic Topology，是20世紀理論數學發展中的一個明顯特征。McGraw-Hill， London， 1979.) S.Eilenberg and N.Steenrod，Foundations of Algebraic Topology，又相繼出現了微分拓撲學、幾何拓撲學等分支。 Princeton Univ. Press， Princeton，后者則成為代數拓撲學。 1952. J.L.凱萊著，現在前者已演化成一般拓撲學，吳從炘、吳讓泉譯：《一般拓撲學》，科學出版社，北京，1982。拓撲學又分成研究對象與方法各異的若干分支。(J.L.Kelley，General Topology，Van Nostrand， New York， 1955.)
