題目 已知橢圓的兩個焦點
，點
滿足
，則
的取值范圍是 ，直線
與橢圓的公共點的個數是 .
這是2010年高考湖北卷文科第15題，本題是一道涉及到點、直線與圓錐曲線的位置關系的判定的考題．從高等幾何的觀點知，這里的點和直線就是橢圓的一對極點與極線，本題第二問實際上是：已知橢圓的極點在橢圓內，判斷極線與橢圓的位置關系．據筆者之前發表的文章中圓錐曲線極點和極線的幾何性質可得如下結論：
定理 已知點和直線是圓錐曲線的一對極點與極線．（1）若極點在曲線上，則極線與曲線的相切于點；（2）若極點在曲線內，則極線與曲線的相離；（2）若極點在曲線外，則極線與曲線的相交．
由該定理不難知道，考題中的直線與橢圓相離，故公共點個數為0．若運用幾何畫板進行實驗操作動態演示，不僅可以驗證確認該結論，而且還可獲得直觀感知從而加深印象強化理解．本文將借用判別式法給出該定理的另一種證明．
為了表達方便我們給出圓錐曲線內部和外部的定義．圓、橢圓是封閉圖形其內部和外部不言而喻，拋物線、雙曲線不是封閉的是開的，我們參考一些雜志專著，對雙曲線和拋物線的內部和外部給出如下定義：焦點所在的平面區域稱為該曲線的內部，不含焦點的平面區域稱為曲線的外部，曲線上的點既不在內部也不在外部．關于點與圓錐曲線位置關系我們有如下結論（這里證明從略）．
引理1 已知點和拋物線．則（1）點在上；（2）點在內；（3）點在外．
引理2 已知點和橢圓（或圓）．則（1）點在上；（2）點在內；（3）點在外．
引理3 已知點和雙曲線．則（1）點在上；（2）點在內；（3）點在外．
圓錐曲線把平面上的點分成三個部分：曲線上的點、曲線內的點和曲線外的點，每一部分的點的坐標對于曲線方程的左右兩邊的值具有相同的大小關系，真是“物以類集，人以群分”．下面將圓錐曲線分為拋物線、橢圓（圓）和雙曲線三種情形，借用判別式法對定理給出如下證明．
定理1 已知點和直線是拋物線的一對極點與極線．則（1）點在上直線與相切于點；（2）點在內直線與相離；（3）點在外直線與相交．
證明 由得，，將其代入拋物線方程得，，所以．所以，（1）點在上直線與相切于點；（2）點在內直線與相離；（3）點在外直線與相交．
定理2 已知點和直線是橢圓（圓）的一對極點與極線．則（1）點在上直線與相切于點；（2）點在內直線與相離；（3）點在外直線與相交．
證明 當時，．則（1）點在直線與相切于點；（2）點在內直線與相離；（3）點在外直線與相交．
當時，，將其代入曲線方程整理得，．所以．所以，
（1）點在上直線與相切于點；（2）點在內直線與相離；（3）點在外直線與相交．
綜上所述，命題結論正確．同理可證如下如下結論：
定理3 已知點和直線是雙曲線的一對極點與極線．則（1）點在上直線與相切于點；（2）點在內直線與相離；（3）點在外直線與相交．
下面舉例說明極點、極線與圓錐曲線位置關系在解題中的應用．
1.判斷點與圓錐曲線的位置關系
例1 若直線和沒有公共點，則過點的直線與橢圓的公共點（ ）
至少有一個 有兩個 只有一個 不存在
解 顯然點和直線恰好是的一對極點和極線，又極線與圓沒有公共點，所以極點在圓內，所以，所以，所以，所以點在橢圓內（實際上，由圖形可知圓上除兩個點在橢圓上外，其余點均在橢圓內，因點在圓內，則點必在橢圓內），故過點的直線與橢圓相交有兩個公共點，故應選．
例2 已知直線與雙曲線沒有公共點，則的取值范圍是 ．
解 因為極線與雙曲線沒有公共點，所以對應極點在雙曲線內部，所以有，故的取值范圍是．
2.判斷直線與圓錐曲線的位置關系
例3 若點是內一點，直線是以點為中點的弦所在的直線，直線的方程為，則（ ）
，且與相離 ，且與相交
，且與相離 ，且與相交
解 顯然點和直線恰好是的一對極點和極線，因極點在圓內，所以極與圓相離．又是直線的一個法向量，所以，而直線是以點為中點的弦所在的直線，所以，所以．故應選．
例4 已知曲線，過點能否作一條直線，與雙曲線相交于兩點，且點是線段的中點？
解 假設存在這樣的直線．設，則 ，兩式相減得，．因點是線段的中點，所以，代入上式可得．若則有，于是兩點重合不合題意，所以，所以，即直線的斜率為，故直線的點斜式方程為，即．將直線方程化為雙曲線的極線方程形式得，因直線對應的極點為，而 ，所以極點在雙曲線內，從而直線與雙曲線相離沒有公共點，這與假設矛盾，故不存在這樣的直線．
