（本文是《哥德爾綱領》（復旦出版社，2018）一書的序言。主要討論如何超出當代哲學的藩籬去重新審視哥德爾思想的意義。轉載請注明出處。）
隨著五卷本《哥德爾文集》的編輯出版，哥德爾生前眾多未發表的手稿被整理出來。這些手稿有很大一部分是關于哲學的，從而引起了國際上對哥德爾哲學的研究熱情。到目前為止，這些研究大致落在兩個范式之下，但是都沒有取得令人滿意的進展。
把哥德爾置于當代分析哲學的背景下看起來是非常自然的事情。因為分析哲學正是靠著數理邏輯的興起才產生的，而哥德爾是塑造當今數理邏輯整個研究領域的人之一。在邏輯學的所有分支上，他的貢獻都是根本性的，都是推動整個領域發展的動力所在。他當之無愧地被稱為“自亞里士多德以來最偉大的邏輯學家”。然而，至少到目前為止，從分析哲學方向上對哥德爾思想的理解和闡釋仍然流于表面。除了對哥德爾柏拉圖主義立場的抱怨之外，哥德爾思想的深刻內涵并未被嚴肅地對待，更遑論富有成果的研究。
這其實也不難理解。當代分析哲學深受經驗論傳統的影響，而哥德爾的哲學則深深植根于理性主義傳統之中，所以站在前者的立場上去看，哥德爾的哲學會顯得非常“不自然”，如果不是“不可理喻”的話。葉峰在《20世紀數學哲學》中曾評論道，哥德爾并未對“作為分析哲學一個分支”的數學哲學產生什么重要的影響?？紤]到維也納學派之后分析哲學的發展，葉峰的評論自然可以理解。只是分析哲學這種強烈的反柏拉圖主義的傾向也并非從一開始就有，弗雷格和早期的羅素都像哥德爾一樣，是堅定的柏拉圖主義者。轉向是后來才發生的。
有一則關于羅素和哥德爾交往的逸事很能生動地說明這種變化。羅素曾在“自述”里回憶自己1944年5月前在普林斯頓高等研究院的一段時光，他自稱“每周一次地”與愛因斯坦、哥德爾和泡利討論。“我不想哥德爾竟是不摻雜質的柏拉圖主義者，分明相信天堂里臥著一個永恒的‘不’，德性高的邏輯學家也許能指望來世在那兒一睹它的芳容。”據王浩說，后來在1971年哥德爾讀到了這個評論，并且起草了一份答復，其中說道：
“至于說到我的“不摻雜質”的柏拉圖主義，它并不比1921年羅素本人的柏拉圖主義更“不摻雜質”吧，當時他在《導論》中說：“邏輯正如動物學一樣是真正在談論現實世界，雖然邏輯有更抽象、更一般這類特色。”顯然那時羅素甚至在現世已經一睹“不”的芳容，只是他后來在維特根斯坦影響之下決意不把它當作一回事?！?/span>
哥德爾從其科學生涯的一開始就對哲學有著濃厚的興趣，他的所有科學研究都有著深刻的哲學動機。他在邏輯和數學研究中，甚至在物理學研究中，最為關心的都是那些“基本的東西”，這正是某種哲學精神的體現。在他看來，凡是基礎的理論工作都會與哲學相關，要么在哲學之中，要么由哲學提供動機，要么有哲學的后果，要么要用哲學作為助探原理。而他自己的重要工作，全部屬于這四個方面中的某一個。事實也正是如此，每個仔細研讀哥德爾的邏輯和數學論文的人，都會發現在復雜的符號和公式背后，體現著作者對根本概念作精確理解的不懈追求。正如王浩評論的：
“……他大概將更多的精力貢獻給了哲學，比科學要多。他的哲學在談話及已發表文章中的應用預兆著一個真正廣博而有力的巨型構架，與柏拉圖、萊布尼茨、胡塞爾哲學都有接觸點。”
（這里引用的是王浩為洛克菲勒大學向哥德爾頒發榮譽學位的典禮而作的對哥德爾工作的評價，時間為1972年6月。據王浩稱他事前就拿給哥德爾過目，后者甚至提出了修改意見。）
更為重要的是，哥德爾的這些哲學思想直到今天仍然深刻影響著邏輯、計算機科學和數學基礎的研究。注意，我這里強調的是哥德爾的哲學和思想，而不是他作為邏輯學家和數學家在以上領域中的那些巨大成就。本書的主題就是對這種影響體現在集合論領域中的一個個案研究。
所以，分析哲學對哥德爾思想的冷淡和低估恐怕不能用來證明哥德爾不是一位重要的哲學家，而只能說明哥德爾并不是傳統意義上的分析哲學家。如果不帶偏見地考察20世紀哲學的發展歷史，會自然得出這樣的印象：在最初借用了數理邏輯的一些基本成果之后，分析哲學之后的整個發展與數理邏輯后來的進展是大異其趣的。對于數理邏輯各個領域隨后的進展，特別是20世紀60年代以后的巨大成就，分析哲學既失去了早期那種學習借鑒的熱情，也失去了這樣做的能力。這其中的原因不僅僅是，或者說根本不是因為數理邏輯變得越來越專門、越來越技術化。根本原因在于對抽象對象、對理性的先天能力、對深刻的形而上學問題的不加分別的拒斥。本書正是打算說明，至少從集合論的最新進展來看，數理邏輯不僅正在產生出比早期更具哲學意義的重要成果，而且其對哲學的期待，不管是作為動機還是助探原理，也比以往任何時候都要高得多。
這當然只是一個宏觀的判斷，分析哲學陣營里也不乏關心數學研究實踐的哲學家。對于他們來說，哥德爾始終是一個重要的思想源泉。例如，加州大學爾灣分校的麥蒂教授在其《數學中的實在論》一書中就說：
“從蒯因/普特南那里，這種調和[的哲學]接受不可或缺論證的核心內容;從哥德爾那里，它接受對顯明性的純數學形式的承認和對此進行解釋的責任。因此它避免了蒯因/普特南的一個主要困難——對數學實踐的不忠實?！?/span>
這種對數學實踐的不忠實，最終使得作為分析哲學一個分支的數學哲學不再是“關于數學”的哲學，而是關于語言、心靈、大腦以及神經元的哲學。但就算這樣，對哥德爾思想的忽視似乎也不完全合情合理。因為即使對以上主題，哥德爾也有著深刻而富有啟發的見解，這些見解當然是基于他對數學基礎中那些根本概念的思考之上。王浩《邏輯之旅》的第六章對此有一個較為詳細的記錄和初步的評論。研究和探討哥德爾思想的這一方面仍有大量的工作要做。
對哥德爾思想研究的另一個范式是討論其與現象學的關系。這方面的成果甚至多于前一個范式。這提醒我們，現象學早期的發展也與數理邏輯和數學基礎問題密切相連。胡塞爾曾深受康托和弗雷格的影響。特別是后者，通過對其《算術哲學》的嚴厲批評，促使胡塞爾放棄了算術中的心理主義。這是胡塞爾思想發展中的一個巨大的轉變。大陸哲學和分析哲學的互相詬病是后來的事情，而且帶有很大的情緒化，并沒有太多的道理可講。哥德爾在一篇未發表的手稿中對胡塞爾的現象學曾經大加贊賞：
“事實上，今天有一門剛剛發端的科學聲稱它擁有一套從事這類意義澄清的系統方法，那就是胡塞爾創立的現象學。在這里，意義澄清就是為了更鮮明地聚焦于所涉及的概念而按一定方式來指導我們的注意力，也就是讓它指向我們自己使用這些概念時的行為，指向我們實施自己行為時的能力，等等。但是，必須清楚地記住，這種現象學并不是其他科學意義上的一門科學。相反，它是 [或者說，無論如何應當是] 一套程式或技術，應當在我們心中產生一種新的意識狀態，我們就在這種狀態中詳盡地描述自己思考時所使用的基本概念，或者把握迄今不為我們所知的其他基本概念。我相信，根本沒有理由從一開始便拒絕這樣一種程式，視為無望的。當然，經驗主義者最沒有理由這樣做，因為那會意味著他們的經驗主義其實是一種倒寫的先驗主義?！?/span>
除此之外，研究者還發現哥德爾閱讀了胡塞爾的幾乎全部著作，并有數量巨大的詳細批注。因此，將哥德爾的思想與現象學聯系起來自然也是富有吸引力的研究方向。但是，除了以上提到的這篇生前并未發表的論文，哥德爾直接討論現象學和胡塞爾思想的文字非常有限。我們因此也無從知道哥德爾所理解的胡塞爾現象學思想的整體面貌。就我們非常有限的知識而言，我們認為哥德爾對現象學的推崇是為了解決其柏拉圖主義立場的認識論問題。為了解釋我們是如何認識抽象對象的，哥德爾需要一種不同于康德的經驗直觀的認識能力，他有時稱之為理性直觀。但是，我們并不清楚這種理性直觀是否就是胡塞爾的本質之觀。由于現象學本身在胡塞爾之后也發展為一場浩大而又紛繁復雜的哲學運動，所以解決以上問題似乎并非易事。我們當然歡迎這個方向上的任何真正進展，但也要明白，現象學因素并不構成哥德爾哲學的主體部分。要從整體上把握哥德爾的思想，我們需要全新的對哲學的理解。
哥德爾對自身哲學的這種處境有著非常清醒的認識。我們甚至可以猜測這是他晚年極少發表哲學著作的原因之一。王浩曾慨嘆說：“假使他生活在一個合拍一點的哲學共同體里，他發表的哲學著作大概會多一點?！备绲聽栐浘芙^同他料定懷有敵意的人說話。他把流行的哲學稱為“時代精神”，認為自文藝復興以來時代精神一直是在“左轉”，即越來越偏向實用主義、物理主義、經驗論。而他自己思想的領域則有強烈的“右傾”傾向，更偏向理想主義、實在論和柏拉圖主義。并且這種偏向是由數學、數學基礎和數學哲學的“本性”所決定的。
為了進一步理解哥德爾對自身哲學處境的這種感受，讓我們進入到數學哲學這一具體的領域，這是哥德爾的哲學和思想集中展現的地方。根據哥德爾的看法，如果哲學中有一個部門能成為柏拉圖主義的最后容身之所，那它一定是數學哲學。然而，在20世紀初，由于集合論悖論的出現，引起了在數學基礎領域的急劇“左轉”。懷疑主義和經驗論者認為數學中出現了自相矛盾，唯一的解決之道就是禁止數學中的無窮概念，或者把數學視為語言的純粹句法。而在哥德爾看來，這個悖論不屬于數學，而是處于數學和哲學的邊緣，并且借助策梅洛的集合論公理化系統，這個悖論已經被徹底解決了。所以那些借助悖論問題而反對集合論、反對實無窮的立場是屈服于時代精神的結果，而不是從事情本身得出的結論。
但是，這樣的論據似乎對反抗時代精神毫無用處，懷疑主義和經驗論仍然占了上風。在經歷了20世紀前30年的激烈爭論之后，希爾伯特的形式主義被哥德爾的不完全性定理擊倒，布勞威爾的直覺主義因為拒斥大部分的經典數學而始終未能被廣泛接受，弗雷格的邏輯主義也因羅素悖論的出現而被宣告失敗。如果說形式主義的失敗是無可爭議的，那么邏輯主義的失敗則非?？梢伞Ｈ绺绲聽査f，這個悖論后來以令人滿意的方式解決了，而且對每個理解集合論的人來說，這是顯而易見的。那為何傳統上依然會認為是悖論打敗了邏輯主義呢？這是一個值得思考的問題。我們不打算在這里展開對這個問題的探討（有興趣的讀者可以參考郝兆寬《邏輯是什么以及邏輯應當是什么》）。而只是想指出，弗雷格的邏輯主義是一種柏拉圖主義，邏輯對于弗雷格來說是研究客觀實在的科學，借用羅素的話說，邏輯正如動物學一樣是真正在談論世界。這當然與《邏輯哲學論》中的觀點截然相反，而與哥德爾的立場完全一致。而后來占了上風的觀點，有時也被稱為邏輯主義，認為數學，更不用說邏輯，不過是語言的句法，與弗雷格的邏輯主義又是完全不同了。這就難怪即使在數學哲學領域，一個當代的職業哲學家也不能理解哥德爾為何對已經在流行哲學中“過時”的柏拉圖主義抱有如此堅定的信念。
但是，正如我們已經提到的，時代精神的勝利是有代價的，它使得數學哲學完全脫離了數學家的實踐，成了一門與數學的任何進展無關的孤芳自賞的學科。雖然在20世紀90年代數學哲學又進入了一個相對活躍的時期，但是上個世紀前30年那種哲學家和數學家同時抱著極大的熱情在一起討論和研究的景象卻沒有再現。數學哲學似乎已經與數學無關了。對此，哈佛大學的考爾納教授在其與武丁合著的《集合論基礎》中評論道：
“在物理學哲學中，有兩類工作。首先，有些工作的進展是獨立于當代物理學發展的。其次，有些工作是與當代物理學的進展緊密相連的。在數學哲學中，我們同樣可以作出類似的區分。但是絕大多數當代工作完全獨立于當代數學的進展。雖然此方面也有不少出色成果，但我們認為追求數學哲學的多樣性，更加密切聯系目前的數學成果，一定會有更大收獲。不僅在評價已有結果的哲學意義上會有巨大收獲，并且通過數學哲學和數學的當代進展之間的相互作用，也會有更大的收獲。”
而另一方面，對哲學日益脫離科學實踐的這種自我孤立，那些期待從哲學中能獲得一些有益靈感的科學家也表達了失望之情：
“迄今，大部分科學家太忙于發展描述宇宙為何物的理論，以至于沒工夫去過問為什么的問題。另一方面，以尋根究底為己任的哲學家跟不上科學理論的進步。在18世紀，哲學家將包括科學在內的整個人類知識當作他們的領域，并討論諸如宇宙有無開初的問題。然而，在19和20世紀，科學變得對哲學家，或除了少數專家以外的任何人而言，過于技術性和數學化了。哲學家如此地縮小他們質疑的范圍，以至于連維特根斯坦——這位本世紀最著名的哲學家都說道：“哲學僅余下的任務是語言分析。”這是從亞里士多德到康德以來哲學的偉大傳統的何等的墮落!”
在這個意義上，哥德爾的哲學是對西方形而上學傳統的一種回歸。如王浩正確評價的，他的思想更接近柏拉圖，更接近萊布尼茨。
本書的一個主要目的就是跳出當代流行哲學的藩籬去展現哥德爾的思想。我們特別想說明的是其思想的活力，其在數學實踐中不斷發揮的重要作用。同時，我們還想說明，數學中，特別是集合論中的那些美妙的結果又如何印證、豐富和發展這種哲學的。這與當代哲學的境況是一個非常鮮明的對比。為此目的，我們選取了“哥德爾綱領”這一主題，將其作為理解上述問題的一個實際的案例。比起哥德爾綱領，康托的連續統假設可能更為讀者所熟悉。事實上，前者可以看作是為解決后者而提出的一種研究方略。當數學家們知道了連續統假設的獨立性之后，關于這個集合論命題的哲學地位就產生了爭論。一派認為獨立性就是對這個問題的最好解決，連續統假設既不是真的也不是假的，這就是最后的答案，因此，這個方向的工作已經完成。這種觀點的哲學動機在于，認為一個數學命題的“真”完全決定于它是否能在一個特定的公理系統內得到證明。目前大家普遍接受的作為數學基礎的公理系統是ZFC。連續統假設因為是獨立于ZFC的，也就是說，它和它的否定都不能在ZFC中證明，因此，按照這一派的觀點，它既不是真的，也不是假的，而是無意義的。但是哥德爾卻認為，一個數學命題的真取決于它是否描述了客觀數學世界的事實。我們不能通過某個公理系統證明它和它的否定，只能說明這個公理系統本身不夠強大。由于公理系統不過是我們對客觀數學世界的認識，所以獨立性現象只是說明我們對客觀數學世界的認識還遠遠不夠。因此，解決獨立性問題的正確途徑不是通過宣告其無意義而回避問題的存在，而是應該通過不斷加深對數學世界的探索而加強我們的公理系統，最終在新的框架內確定它的真值。這就是“哥德爾綱領”的核心思想，即通過尋找新的集合論公理最終解決包括連續統問題在內的那些獨立性問題。
有趣的是，兩種觀點的動機都是哲學的，前者大致可以認為是形式主義的立場，后者當然是柏拉圖主義的主張。但是，它們都對實際的數學研究產生了深遠影響。對于前者來說，工作于ZFC之內去發現新的定理，或者證明一個命題的獨立性是最有吸引力的工作。在這樣的認識下，20世紀60年代以后對力迫的研究豐富多彩，新的獨立性命題也層出不窮。對于后者來說，像大基數公理這樣的的超出ZFC的命題更具魅力，它們是尋找新公理的最可靠的基礎。同時，如何讓已知的集合宇宙容納越來越強的大基數則促進了內模型的發展。這兩個方向也在哥德爾和科恩之后獲得了巨大的成就。
特別是自20世紀80年代以來，這些成就將內模型、大基數和實數子集的可決定性緊密聯系在一起。在此基礎上，武丁教授提出了解決連續統問題的一系列設想。經過近20年的發展，特別是在2010年之后，整個圖景逐漸清晰起來。粗略地說，連續統問題的解決取決于我們是否能夠構造一個包含超緊基數的類似于L的內模型。如果這種構造能夠成功，那就在某種意義上出現了一個終極的模型，在其中連續統假設是真的。目前已知的所有獨立性問題都會找到答案，而且也不能通過集合力迫構造出新的獨立性命題。如果成功，這在任何意義上都應該被看作是哥德爾綱領的實現。當然，另一種可能也始終存在，如果最終證明這種構造是不可能的，或者說超緊基數是不一致的，那事情就會變得更為復雜。不過，如果我們接受波普爾科學證偽的理論，這種同時存在的相互反對的可能性正是科學研究區別于非科學的根本特征。由此可以看出，哥德爾綱領不僅僅是一個哲學口號，哥德爾的柏拉圖主義也不是一個與科學無關的空洞的哲學立場的宣示。它深刻影響著數學實踐，并且產生出具體的數學結果，從而向我們展現了數學和哲學之間那種自古希臘以來就有的緊密聯系，而這正是我們理解的數學哲學的魅力所在。
在本書的寫作過程中，我始終考量的一個問題是它會面對什么樣的讀者。我們已經明確，哥德爾綱領不是當下意義上的一個純粹數學哲學的命題，與數學的研究和實踐無關。相反，它深深地與集合論領域的進展聯系在一起。因此，為了能充分展示其深刻的內涵，數學定理的引用和證明是不可避免的。這樣做的一個更為重要的原因是我們對數學哲學研究范式的理解，這我們已經充分予以說明了。我們同意考爾納教授的看法，這里討論的哲學問題是建立在一個數學定理的復雜網絡上的，這是它的區別于當前范式的根本所在。這樣做的結果就是，很可能使得現有范式中哲學背景的讀者望而卻步。另一方面，純粹數學背景的讀者可能相反，會認為我們涉及了太多的哲學內容。這個問題沒有前者那么嚴重，因為關心集合論的數學家一定會有某些哲學的思考。事實上，我們也認為所有的數學家都應該有一些真正的哲學關懷。這里當然不能詳細論證這一點。不過，本書中的哲學討論絕大多數源自真正的數學家提出的理論，它們大多清晰而簡明。所以應該不會像職業哲學家的那些學究式的論述令數學家們不知所云。當然，最理想的讀者就是那些關心數學哲學、數學基礎，乃至一般形而上學問題，并且具有一定數理邏輯基礎的同好。我期待他們能從本書中受益，甚至獲得進一步研究的動力。有很多作者希望把自己的書描繪為“自我滿足的”，即不假定讀者有任何預備的知識。但在我看來這不可能是真實的，也從未見到一本這樣自我標榜的著作真正做到了這一點。出于這種考慮，加之本書的論題的確并不輕松，我們還是想在此推薦一些有助于理解本書論題的著作，方便讀者參閱。
有關數理邏輯基本知識的著作有很多，門德爾松、申菲爾德和安德頓的書都是名著，可惜都沒有，或者沒有很好的中譯本。中文方面除了我們自己編寫的教科書數理邏輯——證明及其限度》外，新出版的馮琦教授的著作也是一個選擇。順便提一句，在我看來，數理邏輯之于哲學和所有“理論科學”類似于數學分析之于數學和所有數理科學。這里我用理論科學指的是那些主要依靠概念分析和論證的科學，當然也包括數學、理論物理這樣的學科。而且類似于數學分析與高等數學的分別，數理邏輯也有兩種不同的教學模式，那種比較強調形式系統內定理證明的模式類似于高等數學，它的正確名稱應該是“邏輯演算”。而另一種強調一階理論的元性質，強調完全性定理、緊致性、不完全性定理等理論內容的模式則更類似于數學分析。我們以上列舉的教材都屬于后一種模式，也是哲學和理論科學的學生最佳的訓練途徑。
集合論方面，苦能（Kenneth Kunen）和葉赫（Thomas Jech）的書是名著，辛德勒（Ralf Schindler）的新書Set Theory: Exploring Independence and Truth 則更為現代、更適合本書的主題，對初學者也更為困難。我們自己編寫的集合論教科書《集合論——對無窮概念的探索》可能更適合初學者。
關于哥德爾思想，除了5卷本的《哥德爾文集》外，王浩的三本著作是最為重要的參考文獻：《從數學到哲學》、《哥德爾》和《邏輯之旅》。其中后兩種的中譯本非常精良，值得信賴。
最后，我要向許多人表達感謝之情。這本書的主要論題完全得益于新加坡國立大學舉辦的數理邏輯暑期學校，作者自2010年以來幾乎每年都獲邀參加，對新加坡國立大學數學系和數學研究所懷有深深的感激。特別感謝數學研究所主任、新加坡科學院院士莊志達教授。作為國際知名的數學家和邏輯學家，莊先生同時也是一位和藹可親的長者，他對后輩學者的幫助慷慨而無私。更為難能可貴的是莊先生同時是新加坡國立大學哲學系的兼職教授，其對數學基礎相關的哲學問題有著非常令人欽佩的洞見。特別感謝新加坡國立大學的楊躍教授，無論是作為暑期學校的組織者之一，還是作為《哥德爾文集》翻譯小組的主持人，以及作為一系列論文和著作的合作者，楊躍老師對我的幫助都是不可估量的，而我的感激之情也難以言表。我還要感謝中國科學院數學研究所的馮琦教授，以及經常一起參加暑期學校的南京大學喻良教授、北京師范大學施翔暉教授和中山大學王瑋教授。他們對我的幫助體現在平時的討論中，以及我每當遇到相關領域的問題時隨時的請教，并且總能得到令人信服的回答。我與哈佛大學的武丁教授并無私交，但自2010年以來，我幾乎每年都借暑期學校的機會聆聽武丁教授的演講。這些演講有時會持續兩周，至少也有一周。內容則涉及他解決連續統問題相關工作的最新進展。本書最后兩章的內容基本反映了我對武丁教授這些偉大成就的理解和哲學上的解讀。同樣，作為當今世界最為重要的邏輯學家，武丁教授對初學者的耐心和對哲學問題的熱情也給我留下了深刻印象。作者還曾就本書論題的不同方面請教過很多朋友，特別是楊森博士、吳劉臻博士、楊睿之博士，在此也表示深深的謝意。同時感謝復旦大學邏輯學研究生寇亮同學，她閱讀了本書前五章的初稿，細心地指出了一些打印錯誤。
任何致謝的名單都難免掛一漏萬，更多朋友各種形式的幫助在此難以一一述及，但感激之情是同樣的。在當今的時代，討論純粹的學術是一件并不容易的事，我為自己能置身于這樣一群身懷絕技而又天性純粹的學者中感到無比的榮幸。
