線性空間：
可以進(jìn)行線性運(yùn)算（加法和乘法）的一個(gè)大容器。
基：
看做線性空間里面的一個(gè)坐標(biāo)系就可以；比如：二維平面空間的基就是二維坐標(biāo)系。
點(diǎn)與向量之間的關(guān)系：
點(diǎn)的坐標(biāo)就是一個(gè)向量，該向量代表的是從原點(diǎn)到該點(diǎn)的方向和大小。
線性變換：就是從一個(gè)線性空間 V 的某一個(gè)點(diǎn)躍遷到另一個(gè)線性空間 V 的另一個(gè)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)。蘊(yùn)含的深層含義是一個(gè)點(diǎn)不僅可以變換到同一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)，而且可以變換到另一個(gè)線性空間中的另一個(gè)點(diǎn)去。
注意：我們只探討最常用、最有用的一種變換，就是在同一個(gè)線性空間之內(nèi)的線性變換。也就是說(shuō)，下面所說(shuō)的矩陣，不作說(shuō)明的話，就是方陣，而且是非奇異方陣。
矩陣和線性變換之間的關(guān)系：
矩陣本身描述了一個(gè)坐標(biāo)系，矩陣與矩陣的乘法描述了一個(gè)運(yùn)動(dòng)。換句話說(shuō)：如果矩陣僅僅自己出現(xiàn)，那么他描述了一個(gè)坐標(biāo)系，如果他和另一個(gè)矩陣或向量同時(shí)出現(xiàn)，而且做乘法運(yùn)算，那么它表示運(yùn)動(dòng)（線性變換）。
用數(shù)學(xué)的表達(dá)式，我們寫成：
的意思是說(shuō)矩陣 M 描述了向量 d1到d2的變換（運(yùn)動(dòng)）。而矩陣對(duì)一個(gè)向量的作用無(wú)非是把它伸縮或者旋轉(zhuǎn)。
根據(jù)圖片3，做一些小注釋：
1、通過(guò)線性變換，矩陣A1左乘向量d1后，d1變成了d2，顯然矩陣把向量d1相對(duì)于原來(lái)的坐標(biāo)系進(jìn)行了伸縮和旋轉(zhuǎn)得到了新的向量d2，注意d2的坐標(biāo)值也是相對(duì)于原來(lái)坐標(biāo)系的。
2、矩陣A1的本質(zhì)是以列向量為基的新坐標(biāo)系，A1是非奇異矩陣，列向量是線性無(wú)關(guān)的。但是只能保證列向量不共線，不能保證列向量之間兩兩垂直，即未必是正交的。
3、原來(lái)的向量d1的每一個(gè)值只是相應(yīng)的新坐標(biāo)每一個(gè)維上的權(quán)重，但是不知道是不是單位長(zhǎng)度的。而且A1的列向量只是描述了方向，并沒有描述長(zhǎng)度。結(jié)論就是，新的向量d2在新的坐標(biāo)系下的坐標(biāo)值不是d1，是未知的。
參考：神奇的矩陣。黎文科
