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初高中銜接---數學(五):三角形與圓
1

    三角形的“四心”        

三角形是最重要的基本平面圖形,很多較復雜的圖形問題可以化歸為三角形的問題.

在三角形中有外心、內心、重心、垂心.4個重要的點稱為三角形的四心”.

1. 外 心 

外心是三角形三邊的垂直平分線的交點,也是三角形的外接圓的圓心.

性質:

(1)外心到三角形的三個頂點的距離相等;

(2)過外心作一邊的垂線必平分此邊;

(3)外心與一邊中點的連線垂直于此邊;

(4)銳角三角形的外心在三角形內,直角三角形的外心是斜邊的中點,鈍角三角形的外心在三角形外.

2. 內 心 

內心是三角形的三條內角平分線的交點,也是三角形的內切圓的圓心.

性質:

3. 重 心 

重心是三角形的三條中線的交點.

性質:

三角形的重心在三角形的內部,恰好是每條中線的三等分點,即重心到三角形頂點的距離等于它到對邊中點距離的2倍. 重心和三角形三個頂點的連線組成的三個三角形面積相等.

4. 垂 心

垂心是三角形的三條高的交點.

性質:

(1)銳角三角形的垂心一定在三角形的內部,直角三角形的垂心為他的直角頂點,鈍角三角形的垂心在三角形的外部(如圖3).

(2)頂點與垂心的連線必垂直對邊.

2

    幾種特殊的三角形        

1. 等腰三角形底邊上三線(角平分線、中線、高線)合一.因而在等腰三角形ABC中,三角形的內心I、重心G、垂心H必然在一條直線上.

2. 正三角形三條邊長相等,三個角相等,且四心(內心、重心、垂心、外心)合一,該點稱為正三角形的中心.

3

    直線與圓       

圓與圓的關系 

垂徑定理

在直線與圓相交時,設兩個交點分別為AB.若直線經過圓心,則AB為直徑;若直線不經過圓心,如圖,連結圓心O和弦AB的中點M的線段OM垂直于這條弦AB.且在Rt△OMA中,OA為圓的半徑rOM為圓心到直線的距離dMA為弦長AB的一半,根據勾股定理,有

切線長定理

切割線定理


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編輯:小忘

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