哥德爾對數學做出的最主要的貢獻
庫爾特·哥德爾于
大學時哥德爾對費特萬格勒的數論課很有興趣，這同他后來的工作有很大關系，比如他應用孫子定理來構造由加法與乘法表出的原始遞歸函數。
上大學時，哥德爾對哲學也很有興趣，實際上對哲學的探索始終貫穿著他的一生。他聽哲學教授的講課，特別是經常參加維也納小組的活動。二十世紀最主要的哲學流派——邏輯實證主義當時剛剛開始他們的事業，哥德爾贊成以施里克為首的這個學派的分析方法，即用數理邏輯來對哲學及科學概念進行分析。但是他也一直不同意他們否定客觀實在性，及認為形而上學命題是無意義命題等基本觀點。不過，他的哲學觀點也促使他對于數理邏輯進行深入的鉆研。
當時數理邏輯的經典著作是羅素和懷特海的《數學原理》，這三卷滿是符號的大書，恐怕只有極少數人讀過。1928年，希爾伯特和阿克曼合著的《理論邏輯綱要》出版，這是一本論述簡明、清晰，概括性強的好書，對哥德爾的啟發性很大。書中明確提出一個尚未解決的問題——狹義謂詞演算的完全性問題。哥德爾很快解決了這個問題，把結果寫成博士論文，成為他一生事業的開端。
1929年秋天哥德爾通過了答辯，并在1930年2月得到批準取得博士學位。1930年夏天，哥德爾開始研究希爾伯特計劃，他想證明分析的無矛盾性。9月，他到東普魯士哥尼斯堡去參加科學會會議，許多著名數學家如希爾伯特、馮·諾依曼、海丁、卡爾納普都參加了這次會議。希爾伯特在會上做了題為“邏輯和對自然的認識”的著名演說，他樂觀地宣稱：“我們必須知道，我們將會知道”。可是，就在這個會上哥德爾宣布了他的第一不完全性定理。不久他又證明了第二不完全定理。他的研究結果毫無疑問是對希爾伯特計劃莫大的打擊。
第一不完備性定理：任意一個包含算術系統在內的形式系統中，都存在一個命題，它在這個系統中既不能被證明，也不能被否定。
哥德爾證明了任何一個形式體系，只要包括了簡單的初等數論描述，而且是一致的，它必定包含某些體系內所允許的方法既不能證明，也不能證偽的命題.。
第二不完備性定理：任意一個包含算術系統的形式系統自身不能證明它本身的無矛盾性。
哥德爾的不完全性定理在當時產生了巨大的影響，它不僅粉碎了數學家兩千年來的信念。他告訴人們，真與可證是兩個概念。可證的一定是真的，但真的不一定可證。也就說在某種意義上，悖論的陰影將永遠伴隨著我們。這一理論使數學基礎研究發生了劃時代的變化，更是現代邏輯史上很重要的一座里程碑。該定理與塔斯基的形式語言的真理論，圖靈機和判定問題被贊譽為現代邏輯科學在哲學方面的三大成果。
大數學家外爾說：“上帝是存在的，因為數學無疑是相容的；魔鬼也是存在的，因為我們不能證明這種相容性。”反映了當時一大批數學家的心聲。
1931年哥德爾在維也納大學當助教，他的就職論文得到了很高的評價。從1933年到1938年，他在維也納大學當講師。1932年他到過哥丁根，見到過愛米·諾特、西格爾、甘岑等人。他沒見到早逝的天才厄布朗，但他們交換過信件，厄布朗的信中有最早的遞歸函數想法。但是厄布朗只收到哥德爾一封信。
1933年到1934年，哥德爾第一次來到普林斯頓大學高等研究院。他在這里見到丘奇、克林和羅塞爾。他在普林斯頓大學發表了《論形式數學系統的不可判定命題》的演講，這對后來美國研究遞歸論是極大的推動。
1937年，哥德爾在維也納講授“公理化集合論”，這時他開始集中力量研究這個題目。在他秋天來到高等研究院時，他已經對選擇公理的無矛盾性有所考慮，并把自己的思想同馮·諾依曼交談過。不過，他的可構造集的思想、廣義連續統假設和選擇公理與NGB系統的無矛盾性，一直到1938年秋天才在高等研究院講演，并在1938到1940年發表。這時他已經開始定居美國了。
1938年3月，希特勒兼并奧地利，這時哥德爾剛剛結婚。1939年9月，二次大戰爆發，他于1939年底橫貫蘇聯的西伯利亞太鐵路經日本到了美國，從此再也沒有回奧地利。在美國，除了1940年春季在圣母大學任教外，一直在普林斯頓高等研究院工作。由于研究院里有人反對和阻撓，直到1947年他才被批準為常任研究員，1953年才成為教授。對于這樣偉大的數學家來說，得到這種稱號的時間實在是太晚了。到這時，他在數理邏輯方面的主要工作都已經完成了，他的興趣已經轉向其他方面了。
1947年到1951年，哥德爾開始注意和研究廣義相對論。他同愛因斯坦是多年老鄰居，他們幾乎天天一起散步回家。但是哥德爾表示，他對相對論的興趣并非來自同愛因斯坦的談話，而是來自對康德時空哲學的興趣。1950年，他在國際數學家大會上做的報告，就是關于“旋轉宇宙”的論文。
后來，哥德爾的興趣轉向哲學。他認為，健全的哲學思想對科學研究的成功有很密切的關系。他說，數學及元數學的(特別是關于超窮推理的)客觀主義觀點，對于他的邏輯研究是最根本的。1959年起，哥德爾開始閱讀德國哲學家胡塞爾的哲學著作，并一直保持著強烈的興趣。他認為有些哲學家，特別是拍拉圖和笛卡爾，在他們一生中具有一種與日常生活的世界觀完全不同的直觀的世界觀，也許胡塞爾也曾達到過這種境界。
晚年，哥德爾間或對數理邏輯作些工作。美國符號邏輯協會正在組織力量搜集整理他的著作，準備出版他的全集。他已經出版的邏輯方面的論著不過二十余篇，大都很簡短，不過它們在歷史上的作用是十分巨大的。
