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在中考數學中，函數與幾何綜合問題有多重要，我想不用老師多說，大家心里都很清楚。此類問題一般是把幾何圖形“植入”平面直角坐標系中，再結合函數的圖像和性質，從而形成函數與幾何綜合性較強的中考試題，大部分都是以壓軸題的形式出現。
應很多讀者朋友的要求，今天我們一起來講講反比例函數與幾何相關的綜合問題，希望能更好幫助大家學好此塊內容，戰勝中考。
函數與幾何綜合問題最大的特點就是“數”與“形”相互結合、相互滲透，反比例函數與幾何相關的綜合問題也不例外。其次在現實生活中，也存在著大量的反比例關系，影響著我們生活方方面面，通過反比例函數知識內容的學習，學生學會把這些實際問題轉化成反比例函數來解決，從而達到提高分析問題、解決實際問題的能力。
那么什么是反比例函數呢？
一般地，如果兩個變量x、y之間的關系可以表示成y=k/x (k為常數，k≠0)的形式，那么稱y是x的反比例函數。
因為y=k/x是一個分式，所以自變量X的取值范圍是X≠0。
y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x-1。
表達式為：x是自變量，y是因變量，y是x的函數。
中考數學，反比例函數與幾何綜合問題，典型例題分析1：
如圖，反比例函數y=k/x的圖象經過點A（-1,4),直線y=-x + b(b≠0) 與雙曲線y=k/x在第二、四象限分別相交于P，Q 兩點，與x軸、y 軸分別相交于C,D 兩點.
(1)求k 的值;
(2)當b=-2 時，求△OCD 的面積；
(3)連接OQ，是否存在實數b,使得S△ODQ=S△OCD？ 若存在，請求出b 的值；若不存在，請說明理由.
解：（1）∵反比例函數y=k/x的圖象經過點A （﹣1，4 ），
∴k= ﹣1×4= ﹣4 ；
（2 ）當b= ﹣2 時，直線解析式為y= ﹣x ﹣2 ，
∵y=0 時，﹣x ﹣2=0 ，解得x= ﹣2 ，
∴C （﹣2 ，0 ），
∵當x=0 時，y= ﹣x ﹣2= ﹣2 ，
∴D （0，﹣2 ），
∴S△ OCD=2×2/2=2 ；
（3 ）存在．
當y=0 時，﹣x+b=0 ，解得x=b ，
則C （b ，0 ），
∵S△ ODQ=S△ OCD，
∴點Q 和點C 到OD 的距離相等，
考點分析：
反比例函數與一次函數的交點問題；計算題。
題干分析：
（1）根據反比例函數的圖象上點的坐標特征易得k= ﹣4 ；
（2 ）當b= ﹣2 時，直線解析式為y= ﹣x ﹣2 ，則利用坐標軸上點的坐標特征可求出C （﹣2 ，0 ），D （0，﹣2 ），然后根據三角形面積公式求解；
（3 ）先表示出C （b ，0 ），根據三角形面積公式，由于S△ ODQ=S△ OCD ，所以點Q 和 點C 到OD 的距離相等，則Q 的橫坐標為（﹣b ，0 ），利用直線解析式可得到Q （﹣b ，2b ），再根據反比例函數的圖象上點的坐標特征得到﹣b ·2b= ﹣4 ，然后解方程即可得到滿足條件的b的值。
解題反思：
本題考查了反比例函數與一次函數的交點：求反比例函數與一次函數的交點坐標，把兩個函數關系式聯立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點。也考查了反比例函數圖象上點的坐標特征和三角形面積公式。
k在反比例函數中是一個非常重要的量，很多問題的正確解決關鍵就在于如何用這個k。
如確定反比函數解析式我們一般采用的是待定系數法，而在反比例函數解析式y=k/x中，只需確定一個待定系數k。因此求反比例函數的解析式只需要確定一對對應值或圖像上的一個點的坐標，即可求出k的值，從而確定其解析式。
k不僅能幫助我們確定反比例函數的解析式，更具有特殊的幾何意義。如過反比例函數y=k/x（k≠0）圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PM ·PN=|y| ·|x|=|xy|。
∵y=k/x
∴xy=k,S=|k|。
中考數學，反比例函數與幾何綜合問題，典型例題分析2：
如圖，反比例函數y=k/x（k≠0，x＞0）的圖象與直線y=3x相交于點C，過直線上點A（1，3）作AB⊥x軸于點B，交反比例函數圖象于點D，且AB=3BD．
（1）求k的值；
（2）求點C的坐標；
（3）在y軸上確定一點M，使點M到C、D兩點距離之和d=MC+MD最小，求點M的坐標．
考點分析：
反比例函數與一次函數的交點問題；軸對稱-最短路線問題．
題干分析：
（1）根據A坐標，以及AB=3BD求出D坐標，代入反比例解析式求出k的值；
（2）直線y=3x與反比例解析式聯立方程組即可求出點C坐標；
（3）作C關于y軸的對稱點C′，連接C′D交y軸于M，則d=MC+MD最小，得到C′的坐標，求得直線C′D的解析式，直線與y軸的交點即為所求。
解題反思：
此題考查了反比例函數與一次函數的交點問題，涉及的知識有：坐標與圖形性質，待定系數法確定函數解析式，以及直線與反比例的交點求法，熟練掌握待定系數法是解本題的關鍵。
反比例函數的圖像屬于以原點為對稱中心的中心對稱的雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。反比例函數圖象中每一象限的每一支曲線會無限接近X軸Y軸但不會與坐標軸相交（y≠0）。
通過對近幾年中考數學試題的分析，我們發現反比例函數與幾何綜合問題，溝一般可以分為以下三大類:
1、利用反比例函數的比例系數的幾何意義探究圖形的面積或探究結構相同的若干個幾何圖形的面積間的規律；
2、根據幾何圖形的面積確定k的值；
3、以點的坐標為載體進行規律探究。
函數與幾何綜合問題最大的特點就是體現數形結合的數學思想方法，反比例函數相關綜合問題也不例外，因此大家在解決反比例函數與幾何綜合問題時候，一定要認真學習、理解消化相關的數學思想方法，這樣才能綜合提高自身的解決問題能力。
