本文作者Vate．
2015年浙江省嘉興市高三期末考?jí)狠S題：
已知無窮數(shù)列{an}滿足：a1=12015，a2n?2an+2an?1=0(n?2)．
（1）試判斷數(shù)列{an}的單調(diào)性；
（2）求證：0an12；
（3）求證：12?a1+12?a2+?+12?an2015．
解答?。?）由遞推式變形可得a2n=2(an?an?1)?0,所以an?an?1，若存在k?2，使得ak=0，則an恒等于零，與a1≠0矛盾，所以an+1>an，即數(shù)列{an}遞增；
（2）由遞推式變形可得(an?1)2=1?2an?1?0,即an?1?12,n?2.若a_{n-1}=\dfrac 12，則a_n=1，這顯然矛盾，故a_n<\dfrac>．又因?yàn)閿?shù)列遞增，所以命題得證．
（3）由遞推式得\dfrac {1}{a_{n-1}}=\dfrac {2}{a_n(2-a_n)}=\dfrac {1}{a_n}+\dfrac {1}{2-a_n},即\dfrac {1}{2-a_n}=\dfrac {1}{a_{n-1}}-\dfrac {1}{a_n},n\geqslant 2.累加可得\begin{split} \sum_{k=1}^n{\dfrac {1}{2-a_k}}=&\sum_{k=1}^n\left(\dfrac {1}{a_{k-1}}-\dfrac {1}{a_k}\right )\\=&\dfrac {1}{a_1}-\dfrac {1}{a_n}.\\<&\dfrac {1}{a_1}="2015.\end{split}">
上述解答看似天衣無縫，但實(shí)際上，由（2）知\dfrac {1}{2-a_k}>\dfrac 12所以\sum_{k=1}^n{\dfrac {1}{2-a_k}}>\dfrac n2.一定是發(fā)散的，當(dāng)n趨于無窮大時(shí)，這個(gè)和式也趨于無窮大，所以（3）不可能成立！
漏洞在哪里？這個(gè)級(jí)數(shù)和到底是收斂的還是發(fā)散的？
我們來看看這個(gè)數(shù)列的情況：由數(shù)列的遞推公式得到a_n=1-\sqrt{1-2a_{n-1}},它的遞推函數(shù)f(x)=1-\sqrt{1-2x}圖象如下：
由遞推函數(shù)的圖象知此數(shù)列遞增，但是不可能有無窮多項(xiàng)，而是到某項(xiàng)a_n\geqslant \dfrac 12時(shí)，數(shù)列即終止．所以此數(shù)列一定是有限數(shù)列，記項(xiàng)數(shù)為N，有a_N\geqslant \dfrac 12．所以這是一個(gè)錯(cuò)題，如果要對(duì)題目進(jìn)行修正，可以將題目改成一個(gè)有N項(xiàng)的有限數(shù)列的\{a_n\}，去研究它的單調(diào)性，證明除最后一項(xiàng)外，每一項(xiàng)的值都在\left(0,\dfrac 12\right )內(nèi)，且有\sum_{k=1}^N{\dfrac {1}{2-a_k}}<>
小編的話 通過迭代函數(shù)的圖象去研究數(shù)列的性質(zhì)，從而找到合適的思路去證明相關(guān)的級(jí)數(shù)不等式是一個(gè)非常有效的方法．當(dāng)然，不能直接由圖象直觀代替證明過程，還需要嚴(yán)格的書寫步驟，更多相關(guān)問題見每日一題[182]迭代函數(shù)法．
感謝凱凱《向量分解的系數(shù)和另解》、趙晚龍《2016高考山西省一質(zhì)檢壓軸題解析》、朱豐澄《平行四邊形法則與內(nèi)積的幾何意義》和《幾何意義再顯威力》．每日一題的內(nèi)容意琦行的博客會(huì)同步更新，有些題目或者方法已經(jīng)整理過，讀者寫稿前可以先搜索確定一下（截止到3.29日的所有投稿已經(jīng)處理完畢）．另外，數(shù)海拾貝最近推出“論劍?！被顒?dòng)，希望讀者朋友們踴躍參與．
“數(shù)海拾貝”由中國最頂尖的高中數(shù)學(xué)教研老師蘭琦和金葉梅主編。第一個(gè)欄目《每日一題》，每天精選一道高中數(shù)學(xué)好題，從破題的思路，圖文并茂的講解到精辟到位的總結(jié)，同學(xué)們每天只要花上10分鐘認(rèn)真閱讀和思考，一定能在兩三個(gè)月獲得明顯的進(jìn)步，在高考中取得好成績。
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