中考數學中的最值問題，通常考察線段之和的最小值。關于最小值的討論已經很多，有許多模型和方法供大家使用，大家運用的也比較熟練。但是，2019年黃岡中考數學中出現了一道求一條線段最大值的填空題，難住了很多學生。許多學生沒有見過此類題型，所以無從下手。今天，借此機會，和大家探討一下，一條線段最大值問題的知識基礎和解題方法。也許這是以后中考最值問題考查的新趨勢。
一條線段的最大值，和若干線段之和的最小值，就是一個硬幣的正反面，它們的理論依據都是兩點之間，線段最短。
兩點之間線段最短
1、若干線段之和的最小值。
定點A、B，動點C、D，求AC+CD+BD的最小值。當且僅當A，B，C，D共線時，AC+CD+BD的值最小，最小為AB。
2、一條線段的最大值。
動點A，B，C，D，線段AC，CD，DB定長，求AB的最大值。當且僅當A，B，C，D共線時，AB的值最大，最大為AC+CD+BD。
從上分析可以看出，求一條線段的最大值，關鍵是找出該線段兩個端點間首尾相連的定長線段。
那么在圖形中眾多的線段中，如何去找這些定長線段呢？我做了一些總結：
1、直角三角形，斜邊上的中線等于斜邊的一半。
2、正方形中，一個頂點和一邊中點的連線；或對角線交點與頂點（一邊中點）的連線。
3、圓的半徑或直徑。
4、等邊三角形的中線，或等腰三角形底邊上的中線。
常見的定長
通常情況下，線段的最大值就是這些定長的組合。
1、正方和形直角三角形組合
如圖，正方形ABCD，直角三角形AED，AB是定值，求EO的最大值；求EB的最大值。該題的解法就是作AD的中點，算出定長EF，FO，BF。EO最大=EF+OF；BE最大=EF+BF。
2、直角三角形和等邊三角形組合
如圖，等邊三角形ABC，AB是定值，A在Y軸正半軸上運動，B在X軸正半軸上運動，求OC的最大值。該題解法，作AB的中點D，算出定長OD，CD。OC最大=OD+CD。
3、圓和直角三角形
如圖，圓O，半徑是定值，直角三角形OAB，斜邊AB是定值，C是BD的中點，求AC的最大值。該題解法，作OB的中點，算出AE，根據中位線性質，算出CE，AB最大=AE+CE。
當然，有些時候，為了加大難度，定長和所求線段沒有首尾相連，或雖然首尾相連，但不可能共線，這就需要我們通過某種方式進行轉換，把定長和所求線段首尾相連。通常情況下，有兩種情況，一種是把所求線段進行轉換，使之與定長線段首尾相連；另一路是把定長線段進行轉換，使之與所求線段首尾相連。
1、轉換所求線段，使之與定長線段首尾相連。
如圖，三角形ABC中，AB，AC是定值，三角形BCD是等邊三角形，求AD的最大值。兩個定長線段AB和AC，與所求線段不首尾相連，所以通過繞D點旋轉三角形ACD60度，可得AC=EB，三角形ADE是等邊三角形，AE=AD。AE最大=AB+BE=AB+AC。
2、轉換定長線段，構造可共線的首尾相連定長線段。
2019年黃岡中考數學試題第16題就是這樣。
AC、AB、BD定長，M是AB中點，角CMD是120度，求CD的最大值。
難度在于，雖然CA，AB，BD，首尾相連，但這三條線段不可能共線。所以做A點關于CM的對稱點A'，B點關于DE的對稱點B’，AC=AC'，BD=B'D，而根據M是AB中點，角CMD是120度，可得出三角形A'B'M是等邊三角形，A'B'=AM，這樣，就構造出可能共線的三條首尾相連的定長線段。CD最大=CA'+A'B'+B'D。
