經(jīng)濟學為什么需要數(shù)學？
數(shù)學在經(jīng)濟學研究中發(fā)揮了什么作用？數(shù)學作為一種精確的邏輯語言與工具，能夠使經(jīng)濟學分析嚴謹化。當然，也有其他方法能夠使經(jīng)濟學分析嚴謹化， 例如，“以彼之矛，攻其之盾”的學術爭論也能使邏輯分析嚴謹化。
經(jīng)濟現(xiàn)象錯綜復雜，若想透過經(jīng)濟現(xiàn)象揭示經(jīng)濟的本質(zhì)特征，則需要對經(jīng)濟現(xiàn)象進行提煉，將其上升為理論。數(shù)學作為一種抽象思維工具，特別適用于從復雜經(jīng)濟現(xiàn)象中揭示其本質(zhì)關系。恩格斯說過，數(shù)學是現(xiàn)實世界中的空間形式和數(shù)量關系，任何一門科學的真正完善在于數(shù)學工具的廣泛使用。特別是經(jīng)濟學作為一門研究稀缺資源最優(yōu)配置的科學，非常適合將優(yōu)化數(shù)學方法與工具運用于經(jīng)濟學研究。同時，經(jīng)濟學充滿著大量的不確定性，而概率論是描述不確定的最佳數(shù)學工具。
應該強調(diào)，經(jīng)濟思想特別是創(chuàng)造性的經(jīng)濟思想不是從數(shù)學推導中產(chǎn)生的。但是，單有思想是遠遠不夠的，還必須有解決問題的方法，思想和方法一起才能構建一個完整的、系統(tǒng)化的理論。思想是提出科學問題的先導，而方法則是解決科學問題的鑰匙。例如，哥德巴赫猜想（“1+1”）是數(shù)學的一個重要命題，但多少年來一直沒有人能夠證明這個猜想，一直到陳景潤才證明了“1+2”，陳景潤的方法也因此被譽為“陳氏定理”。在物理學，物理學家曾一直想測度光速有多快，美國諾貝爾物理學獎得主阿爾伯特·邁克爾遜（Albert Michelson）發(fā)明了一個實驗裝置，被稱為邁克爾遜干涉儀，解決了這個問題。
以下我們通過幾個經(jīng)濟學經(jīng)典理論案例，說明數(shù)學在經(jīng)濟學中所發(fā)揮的重要作用。
瓦爾拉斯1874年提出一般均衡論（Walras，1954），認為通過自由競爭，存在一組均衡價格，能夠使整個經(jīng)濟處于均衡狀態(tài)，并達到帕累托最優(yōu)。瓦爾拉斯設想通過一個“拍賣”叫價機制達到這樣的均衡，但沒有從數(shù)學上嚴格證明。這個工作后來由阿羅和德布魯（Arrow and Debreu，1954）運用數(shù)學“不動點定理”（fixed point theorem）完成了，從而為一般均衡論和新古典經(jīng)濟學奠定了堅實的理論基礎，阿羅和德布魯也因此獲得了諾貝爾經(jīng)濟科學獎。可能有人會認為，用不動點定理證明一般均衡的存在，在數(shù)學上非常漂亮，理論結構也很完美，但是這些數(shù)學方法到底在現(xiàn)實中有沒有用呢？大家可以回想一下可計算一般均衡（computational general equilibrium，CGE）模型的廣泛應用。不僅在國外，中國的經(jīng)濟學家包括一些經(jīng)濟智庫長期以來也大量使用可計算一般均衡模型評估各種經(jīng)濟政策，特別是宏觀經(jīng)濟政策、產(chǎn)業(yè)政策、區(qū)域政策以及重大事件對中國與世界經(jīng)濟的沖擊和影響。
這原是應用數(shù)學的一個分支，后來與經(jīng)濟行為假設不斷結合，形成了今天的博弈論，成為現(xiàn)代微觀經(jīng)濟學的核心理論基礎。博弈論最主要的開拓者是數(shù)學家馮·諾依曼（John von Neumann）和納什（John Nash）以及經(jīng)濟學家摩根斯特恩（Oskar Morgenstern）。其中納什是美國數(shù)學家，22歲獲得普林斯頓大學數(shù)學博士學位。他和海薩尼（John Harsanyi）、澤爾滕（Reinhard Selten）一起獲得了1994年的諾貝爾經(jīng)濟科學獎，以表彰他為博弈論奠定數(shù)學基礎所做出的杰出貢獻。納什也是微分幾何與偏微分方程領域的一位開拓者。
馬科維茨（Markowitz，1952）應用概率論與統(tǒng)計學的分析方法與工具，以均值和方差刻畫投資組合的預期回報和風險，建立了投資組合理論。馬科維茨在1990年獲得諾貝爾經(jīng)濟科學獎，他在獲獎演講（Markowitz，1991）中這樣說：“當年我在芝加哥大學進行經(jīng)濟學博士論文答辯時，費里德曼（Milton Friedman）教授稱投資組合理論不屬于經(jīng)濟學，因而我的論文不屬于經(jīng)濟學范疇，也就不能授予我經(jīng)濟學博士學位。我知道他只是半開玩笑，因為答辯委員會并沒有花費太長的時間爭論就決定授予我博士學位。對于他的說法，現(xiàn)在我也愿意承認，當年博士論文答辯時，投資組合理論并不是經(jīng)濟學的一部分，但它現(xiàn)在是了。”這個例子說明了數(shù)學特別是概率統(tǒng)計方法在金融學中的創(chuàng)造性應用，拓展了金融學的研究領域與邊界。
布萊克和斯科爾斯（Black and Scholes，1973）應用隨機微分方程，結合無套利機會等金融市場基本假設，提出了歐式期權產(chǎn)品定價理論。這篇論文與莫頓（Merton，1973）的論文一起，奠定了后來興起的金融工程學科與金融工程產(chǎn)業(yè)的理論基礎，斯科爾斯和莫頓因此于1997年獲得諾貝爾經(jīng)濟科學獎。但是Black和Scholes（1973）這篇論文因為其超前思想和高深數(shù)學，在送審發(fā)表中經(jīng)歷了曲折的過程，最后發(fā)表在芝加哥大學主辦的《政治經(jīng)濟學期刊》（Journal of Political Economy）（Black，1987）。
