張 丹 北京教育學院 副教授 賈福錄 北京教育科學研究院 中學高級教師 宋燕暉 北京市東城區史家小學分校 中學高級教師 一、數據分析觀念的內涵1. 在實驗稿《課標》中“統計觀念”是核心概念，現在為什么改名為“數據分析觀念” 呢？ 在《不列顛百科全書》中關于統計學是這樣定義：統計學是關于收集和分析數據的科學和藝術。 的確，統計學的一個研究對象是數據，它是通過收集數據，以及對數據的分析來幫我們解決問題的。 在義務教育階段 我們 處理的數據都是有實際背景的，正如課表組組長 史寧中 教授所述：“數據是信息的載體，這個載體包括數，也包括言語、信號、圖像，凡是能夠承載事物信息的東西都構成數據，而統計學就是通過這些載體來提取信息進行分析的科學和藝術。” 可見，統計學的一個核心是數據分析，實驗稿中叫統計觀念，現在叫數據分析觀念，這兩點并沒有本質性的不同，而是用這樣的語言更加點出了統計的核心就是數據分析讓人一目了然。 2. 數據分析觀念的內涵 在課標當中，對于數據分析觀念，有這樣的描述：了解在現實生活中有許多問題應當先做調查研究，收集數據，通過分析做出判斷，體會數據中蘊涵著信息； 了解對于同樣的數據可以有多種分析的方法，需要根據問題的背景選擇合適的方法；通過數據分析體驗隨機性，一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能不同，另一方面說明只要有足夠的數據就可能從中發現規律。數據分析是統計的核心。 3. 如何發展學生的 “ 數據分析觀念 ” ？ 第一，就是讓學生去經歷這個數據分析的過程，體會數據中蘊含的信息。 例如，清華附屬小學 安華 老師執教的一年級《統計》。 安 老師為學生提供了四部動畫片，選出大家最喜歡看的一部進行播放。學生的想法各不相同，這可怎么辦呢？老師啟發學生自己去想辦法，讓學生感悟到我們是為了解決問題而來做統計的。統計什么？怎樣統計呢？學生自始至終都在思考中，他們最先想到舉手表決，卻沒有準確統計出結果，然后又繼續想辦法，有的學生說站起來這樣數的更清楚了，還有說在小組內去統計，然后我們再匯總，最后大家都統一到用投票表決的方法來統計。當數據統計上來以后，如何讓學生體會數據中蘊含的信息呢？ 安 老師讓學生利用數據來推斷，看哪部動畫片，要用數據來說話。恰巧當時這個班正好有一個孩子是請假沒來，老師提出問題：如果這名同學也來投票表決，還是去看“多啦 A 夢”嗎？學生根據數據利用簡單推理也做出了判斷。 第二，鼓勵學生掌握數據分析的方法，根據問題的背景能選擇合適的方法。 例如，體育課上 11 名男同學 100 米 跑的成績： 13 秒 2 17 秒 13 秒 5 15 秒 8 12 秒 17 秒 1 16 秒 7 15 秒 6 17 秒 16 秒 6 16 秒 7 。 平均數： 15 秒 6 ，中位數： 16 秒 6 （1）如果選擇參加一項比賽，希望有一半的男同學可以參加，選擇哪個成績作為標準？ （2）如果希望確定一個較高的標準，選擇哪個成績作為標準？（答案不唯一） （3）如果要確定一個標準，你如何確定？為什么？ 第三，通過數據分析，讓學生感受數據的隨機性。 史寧中說：“統計與概率領域的教學重點是發展學生的數據分析意識，培養學生的隨機觀念，難點在于，如何創設恰當的活動，體現隨機性以及數據獲得、分析、處理進而作出決策的全過程。” 例如：上學時間。 學生記錄自己在一個星期內每天上學途中所需要的時間，如果把記錄時間精確到分，可能學生每天上學途中需要的時間是不一樣的，可以讓學生感悟數據的隨機性；更進一步，讓學生感悟雖然數據是隨機的，但數據較多時具有某種穩定性，可以從中得到很多信息，比如，通過一個星期的調查可以知道“大概”需要多少時間。 為什么我們要在統計概率教學中，把數據分析觀念作為一個核心概念呢？可以從標準解讀中對核心概念的價值進行分析。 在標準解讀中，提出了四個方面的價值。第一，它們是學生在義務教育階段數學課程中最應培養的數學素養，是促進學生發展的重要方面 ( 教育價值 ) ；第二，核心概念往往是一類課程內容的核心或聚焦點，它有利于我們把握課程內容的線索和層次，抓住教學中的關鍵；第三，核心概念本質上體現的是數學的基本思想；第四，這些核心概念都是數學課程的目標點，也應該成為數學課堂教學的目標，并通過教師的教學予以落實。 二、統計與概率的內容變化及主線分析（一）新課標中關于“統計與概率”的內容標準1. 《標準》中有關“統計與概率”的內容標準   2． 分析調整原因 “統計與概率”內容結構做了較大調整，使三個學段內容學習的層次性更加明確。強調培養數據分析觀念，與學生的現實生活聯系得更加緊密。內容結構上，三個學段有較大的差別。第一學段內容大減少，只保留 3 條要求。主要是學會分類、會進行簡單的數據搜集與整理的；第二學段分為“簡單數據統計過程”和“隨機現象發生的可能性”兩部分，共 8 條；第三學段分為“抽樣與數據分析”和“事件的概率兩部分”，共 11 條。這樣調整的原因在于，在實驗過程中原來第一學段對于統計與概率內容的要求，按照學生現有的理解水平，學習有一定困難，教學設計與實施有很大難度。同時，在內容上與后面兩個學段有很大的重復。因此，較大幅度降低了第一學段統計與概率內容的要求，對后兩個學段的內容也做相關的調整，如中位數、眾數等內容從第二學段移到第三學段。這樣使統計與概率內容在三個學段的要求上有明顯區分，在難度上也表現一定的梯度。 （二）統計與概率的內容主線統計與概率的內容主線，主要包括四方面的內容，第一是數據分析過程；第二是數據分析方法；第三是數據的隨機性；第四是隨機現象及簡單事件發生的概率。這四條主線很重要，我們常說教知識不僅僅要教給學生一顆一顆的珍珠，還需要把這些珍珠串成一條一條美麗的項鏈，顯然主線就是串這個項鏈非常重要的方面。 我們可以看到課標每個學段的第一句話，都是提出了有關過程的要求，顯然就成為了統計學習的最主要或者最首要的一個主線，《標準》在三個階段都提出了相應的要求：在第一學段中，提出“經歷簡單的數據收集和整理過程”；在第二學段中，提出“經歷簡單的收集、整理、描述和分析數據的過程（可使用計算器）”。在第三學段中，提出“經歷收集、整理、描述和分析數據的活動，了解數據處理的過程；能用計算器處理較為復雜的數據”。 從三個學段的要求不難看到，首先過程都是重要的，第二數據分析的過程可以包括收集、整理、描述和分析，另外隨著年齡的差別，在要求上會有所差別，第一學段經歷簡單就可以了，到第二學段稍微要把描述分析數據提出來是這樣一個過程，為了使大家對這個過程，再加深理解，我們下面列舉標準中的一個案例，來說明這個過程。 第一學段（《標準》例 19 ）：對全班同學的身高進行調查分析。 從以下的數據中可以得到哪些信息呢？ 第 1 小組 116 128 124 135 128 141 第 2 小組 129 130 134 127 134 138 第 3 小組 138 142 119 123 127 146 第 4 小組 119 137 136 138 150 152 第 5 小組 125 120 131 143 135 148 第 6 小組 138 132 147 139 148 139 [ 說明 ] 學校一般每年都要測量學生的身高，這為學習統計提供了很好的數據資源，因此這個問題可以貫穿第一學段和第二學段，根據不同學段的學生特點，要求可以有所不同。希望學生把每年測量身高的數據都保留下來，養成保存資料的習慣。在第一學段，主要讓學生感悟可以從數據中得到一些信息。教學中可以作如下設計： （ 1 ）指導學生將全班同學的身高進行匯總。 （ 2 ）從匯總后的數據中發現信息。比如，最高（最大值）、最矮（最小值）、相差多少（極差），大部分同學的身高是多少（眾數）等。在討論過程中，括號中的有些名詞并不需要出現，但是希望學生體會數據所代表的意義。 （ 3 ）在整理中，可以讓學生嘗試創造靈活的方法。例如，尋找最高，可以直接比較尋找，當學生人數比較多時，也可以分組尋找組內最高，然后在每組的最高中尋找最高；在考慮順序問題時，學生可能會有不同的排序方法。例如，先找到最小（大）的，然后在剩余的數中再找到最小（大）的，依次將這些數按從小（大）到大（小）的順序進行排序；或者先固定一個數，拿第二個數與之比較，然后取第三個數與前兩個數比較，根據它們之間的大小關系決定位置，這樣繼續下去，最后將這些數排序。無論學生的出發點如何，只要思路清晰、排序正確即可。 第二學段（《標準》例 38 ）： 對全班同學的身高的數據進行整理和分析。 [ 說明 ] 在上面的例子中，已經引導學生對全班同學的身高的數據進行初步分析。在這個學段中，要求學生結合以前積累的身高數據，進行進一步的整理，然后進行分析。整理的目的是為了便于分析，例如，條形統計圖有利于直觀了解不同高度段的學生數及其差異；扇形統計圖有利于直觀了解不同高度段的學生占全班學生的比例及其差異；折線統計圖有利于直觀了解幾年來學生身高變化的情況，預測未來身高變化趨勢。學生還可以討論用什么數據來代表全班同學的身高，自己的身高在全班的什么位置。 教學設計時，可以關注如下要點： （ 1 ）組織學生討論并明確畫統計圖的基本標準。如果學生意見不一致，可以根據意見的不同把學生分組，各自畫出統計圖后進行比較。 （ 2 ）可以把幾年來全班同學平均身高的數據畫出折線統計圖，讓學生與自己身高數據的折線圖進行分析比較。還可以對男女生的身高數據進行分析和比較。 （ 3 ）組織學生討論用什么數據來代表全班同學的身高，自己的身高在全班的什么位置。學生可以用平均身高作為代表，用自己的身高與平均身高進行比較；可以用出現次數最多的身高作為代表（“眾數”的意義），用自己的身高與其相比；也可以用班級中等水平學生的身高作為代表（“中位數”的意義），用自己的身高與其相比。學生只要能說出自己的理由就可以，不需要出現“眾數”“中位數”等名詞（只要求教師理解，不要求給學生講解）。 （ 4 ）雖然數據整理和分析的方法可以有所不同，但要求分析的結論清晰，能夠更好地反映實際背景。 第三學段： 比較自己班級與別的班級同學的身高狀況。 [ 說明 ] 對于兩個班級學生身高狀況比較，通常可以通過平均值來判斷，但有時候僅僅通過平均數是不夠的，如果一個班同學之間身高差異很大，而另一個班同學之間身高差異很小，即使前一個班的平均高一些，也不能說這個班的整體狀況很好。因此，在判斷身高狀況時，不僅要看平均值，還需要參考方差。 同樣的一個內容，在不同的年級可以有不同的要求，第一學段，要求的難度，就是在提取信息的數量上，要求并不是非常的高，關鍵是讓他意識到，感悟到數據是信息，那么到了第二學段，顯得這個要求又有所變化了，總之要讓學生經歷數據的收集、整理、描述、分析的過程，要親自參與其中。 三、數據分析的方法1．收集數據的方法 在收集數據的方法中我們要把握這么幾點：第一點就是我們所涉及的數據，可能是全體數據，或者我們說總體數據，也可能是通過抽樣獲得的數據，抽樣數據，在小學階段，學生收集的基本上都是總體數據。 第二個就是數據的來源，實際上是有兩種，一種就是閱讀別人現成的數據，比如說報刊資料上等等的數據，還有一點就是需要自己的調查的數據，對于小學來說除了要看別人的數據非常重要，也要自己要做一些調查數據，在這方面很多老師都有非常好的經驗和設計好的例子，比如我看到一些課堂中，老師們引入了讓一年級的孩子來統計換乳牙的情況，或者讓有些同學來統計看電視的時間等等，值得注意的是如果我們讓學生去收集自己調查的數據，一定要教給他們一些方法，比如說我曾看到，有的學生并不知道什么叫乳牙，他也不知道看電視的時間應該怎么統計，所以這樣以來呢，報出來的數據就不夠真實，是比影響統計的效果，那我們可以安排一些活動，讓學生在老師的指導下，或者在家長的幫助下，讓他來去調查，這樣會更好。 常用的收集數據的方法包括這么幾方面：調查的方法、實驗的方法、測量的方法、查閱資料的方法等等。總而言之，學生應該對收集數據的方法有一個比較豐富的體驗，《課標》無論在第一學段還是第二學段都提出了這樣的要求，比如說在第一學段課標是這樣說的，要了解一些調查、測量等收集數據的簡單方法。那么有的老師說這兩個好像也沒有太大區別，其實嚴格意義上都是學生自己去做，當然我們可以這么理解，調查就是學生去問問自己的同伴，那么測量呢，比如說我們可以量量這個課桌有多長，我們量量我們班的課桌大體上都是多長，包括我們在前面舉過的上學時間都可以理解是測量。在第二學段，顯然又進了一步，要求學生能夠自己來設計簡單的調查表，這跟第一學段相比有進一步的提高，而且能夠選擇適當的方法了，就不僅僅是了解了，在選擇方法中包括了我們說的調查，可以做一些測量，還可以做一些試驗，比如說我們原來肯定做過的物理試驗，或者說呢有的課上這樣讓學生做試驗，反彈高度，就不同高度拋一個球，肯定起始高度越高，反彈高度一般情況下都會高，那么到底是什么關系呢，這時候通過試驗來獲取一些數據。這三點都是學生能夠自己獲得的。當然我們也要讓學生了解現成的數據，也就是從報刊、雜質、電視等等媒體中呢，有意識的獲得一些數據，那么總而言之應該對收集數據的方法有比較豐富的體驗。 2．整理、描述、分析數據的方法 當人們收集了一堆數據以后，這些數據往往看起來比較雜亂，這就需要來整理數據，在不損失信息的前提下，對看起來雜亂無章的數據進行必要的歸納和整理，然后把整理后的數據運用統計圖表等直觀地表示出來，并加以適當的分析，為人們作出決策和推斷提供依據。 常用的收集數據方法包括調查、試驗、測量、查閱資料等。學生應該對收集數據的方法都有比較豐富的體驗。為此，《標準》在第一學段提出“了解調查、測量等收集數據的簡單方法”；在第二學段提出“會根據實際問題設計簡單的調查表，能選擇適當的方法（如調查、試驗、測量）收集數據”“能從報紙雜志、電視等媒體中，有意識地獲得一些數據信息”。 在第二學段，學生將學習條形統計圖、扇形統計圖、折線統計圖等常見的統計圖，并且能用它們直觀、有效地表示數據。第二學段還將學習一個重要的刻畫數據集中趨勢的統計量——平均數。 統計圖可以很直觀反應數據，學生對統計圖中數據的分析以及預測都是數據分析觀念的重要體現。對于統計圖的學習，提出幾點需要注意的：第一，不要急于引入正規統計圖的學習，在第一學段《標準》要求鼓勵學生用自己的方式來描述數據。第二，在描述數據的過程中，使學生不斷體會各種統計圖的特點，能根據實際問題選擇合適的統計圖來描述數據。第三，鼓勵學生讀懂媒體中的一些統計圖表。第四，鼓勵學生從統計圖中獲取盡可能地有用信息。 這個問題也是大家普遍困惑的，到底引導學生從哪些方面來“讀圖”呢？ Curcio (1987 ) 把學生對統計圖的認識分為三個水平：（ 1 ）數據本身的讀取（ reading the data ），包括用能夠得到的信息來回答具體的問題，這些問題圖表中有明顯的答案。 (2) 數據之間的讀取（ reading between the data ）。這包括做比較 ( 例如比較好、最好，最高、最小等 ) 和對數據進行操作 ( 例如加減乘除 ) 。 (3) 超越數據本身的讀取（ reading beyond the data ），包括通過數據來進行推斷預測推理，并回答具體的問題。 在實際教學中，教師已經開始重視鼓勵學生嘗試由信息來進行預測。但是，在教學中還存在了一些誤區。比如，曾經有過這樣的案例：如圖 2 ，教師鼓勵學生根據某女生出生到 12 歲的身高，由此去預測這個學生 15 歲的身高（圖 2 到圖 7 中縱軸的身高單位為厘米）。  有的學生（雖然是很少數）脫離了數據去進行“預測”：“我覺得她應該能長到 190 厘米 ，因為我希望她去打籃球”。就是基于數據，學生也有五花八門的答案，有的說：“ 8 歲到 10 歲長了 10 厘米 ， 10 歲到 12 歲長了 24 厘米 ，照這個趨勢 12 到 14 歲要長 30 多厘米，我估計她到 15 歲要到 2 米 了”；有的說：“ 8 歲到 10 歲長了 10 厘米 ， 10 歲到 12 歲長了 24 厘米 ， 12 歲到 14 歲又會回到長 10 厘米 ，我估計她到 15 歲快到 180 厘米 ”；還有的說：“到 12 歲就不怎么長了，我估計她到 15 歲差不多 170 厘米 。”面對五花八門的答案，教師也覺得都有道理，不知如何引導。 這里需要注意兩點。第一，預測需要基于數據。對于脫離數據進行“預測”的學生，要引導他用數據說話，雖然這個預測也有可能，但可能性不會大；第二，有時候為了更合理地預測，需要我們收集更多的數據。教師可以引導學生思考：幾個學生的想法都有道理，但是要比較合理地預測，還需要我們掌握更多的信息，比如，可以收集曾經和她差不多情況的人 15 歲的身高來幫助預測；或者把她與當地女生平均身高進行對比，看看 12 歲與平均身高的對比情況，由此預測 15 歲與平均身高的對比情況。當然，無論哪種預測都不能肯定是正確的，但會比單純依靠這個學生以前的情況進行預測要合理。進一步，如果條件允許的話，還可以鼓勵學生實際去做。在這樣的思考下，一位老師做了如下的設計：根據統計圖來進行“三次”預測。 第一次，教師呈現小婷（女生）出生到 12 歲的身高數據（如圖 2 ），鼓勵學生預測她 15 歲的身高。和前面敘述的一樣，學生基于這個數據給出了不同答案。 教師沒有就此結束，而是給出了小婷 15 歲的身高，引起學生的反思：“實際上，小婷今年已經 15 歲了，她的身高是 168 厘米 ”，并得到圖 3 。  在此基礎上再鼓勵學生預測小婷 18 歲的身高。學生發現小婷 12 — 15 歲增長的幅度不大，由此推斷 15 — 18 歲增長的幅度也會不大。那么是這樣嗎？有的學生提出可以找一些和小婷情況差不多的女孩，看看她們 18 歲時的身高。根據學生的想法，教師呈現了如下三個女生的身高（如圖 4 ，圖 5 ，圖 6 ）鼓勵學生進行第二次預測。  學生發現雖然她們的身高具體數值不同，但 15 — 18 歲變化趨勢卻比較一致，增長的幅度都不大，由此可以預測小婷到 18 歲很可能只比 15 歲時增長 2 厘米 左右，即她 18 歲的身高在 170 厘米 左右。還有的同學發現小婷的身高值與圖 6 所表示的女生比較接近，并且比這個女生略矮一些，由此根據這個女生 18 歲 171 厘米 預測小婷 170 厘米 。進一步，有的學生提出只有這三個女生的數據是否太少了，不說明一般情況，還可以收集更多的數據。于是，教師給出了北京城市女生平均身高統計圖（如圖 7 ），鼓勵學生進行第三次預測。  學生發現這組數據也有這個趨勢： 15 到 18 歲的身高增長的不多，由此預測小婷的身高是 170 厘米 左右。有的學生則根據 15 歲時小婷的身高比平均身高多 6 厘米 ，由此估計小婷 18 歲時也要多 6 厘米 ，所以是 169 厘米 左右。當然，這些預測也并不能保證一定正確。 以上“三次預測”的案例是鼓勵學生從數據中獲取合理信息的有益嘗試，在實踐中我們還需要更多的案例，以及如何鼓勵學生有效獲取信息的策略，這也構成了需要進一步研究的問題。教學中應鼓勵學生運用所學習的方法，盡可能多地從數據中提取有用的數據，并且能夠根據問題的背景選擇合適的方法，而不是單純地名詞、計算方法等的掌握。需要我們根據問題的背景選擇合適的統計圖。 總之，“統計學對結果的判斷標準是‘好壞'”，而不是“對錯”。 3．關于統計教學的幾點建議 （1）發展學生的應用意識，感受統計的價值。 （2）教師要重視統計，并把發展學生的數據分析觀念的培養作為重要的教學目標。 （3）切忌將統計的學習處理成單純數字計算和繪圖技能。 四、數據的隨機性及簡單隨機事件發生的可能性1．數據隨機性的內涵 數據的隨機性主要有兩層涵義：一方面對于同樣的事情每次收集到的數據可能會是不同的；另一方面只要有足夠的數據就可能從中發現規律。 老師們存在這樣的困惑：概率也是研究隨機現象的，那么為什么又提出數據的隨機性呢？ 對于這個問題， 史寧中 教授這樣回答：我聽了一些課，老師們經常這樣處理：比如對于擲一枚均勻的硬幣，先得到出現正面或反面的概率是 1/2 ，然后讓學生通過反復擲硬幣去驗證這個結果。這里有兩個問題。第一，一個硬幣，先假定它出現正面和反面的可能性是 1/2 ，這是數學（或者稱為概率）。這個 1/2 是通過概率的定義得到的，不是依靠擲硬幣驗證出來的。實際上，學生做了很多次實驗也得不到 1/2 ，反而更加糊涂了。第二，運用定義的方式教學隨機，不能很好的培養學生的隨機觀念。需要指出的是，我們贊成做實驗，贊成運用統計的思想來做實驗。統計是通過數據來獲取一些信息，來幫助人們做出一些判斷。同樣是擲硬幣的問題，在統計上就會這樣設計實驗：先讓學生多次擲硬幣，計算出現正面的比例（頻率），然后用頻率來估計一下出現正面的可能性是多大。如果這個可能性接近 1/2 的話，就推斷這個硬幣大概是均勻的，這是統計的思想。 2．合理設計實驗，體會數據的隨機性 《標準》中提出了“體會數據隨機”的想法，如何在課堂中設計合理的實驗落實“體會數據隨機”的目的呢？一個好的切入點是對目前課堂教學中的實驗加以分析，看看哪些實驗的設計是合理的，哪些還需要進一步的思考和改進。 第一類：“驗證”類 下面是一個五年級的課堂教學片段： 老師拿出一個盒子，盒子里有 9 個白球、 1 個黃球。如果從中任意摸出 1 個球，可能是什么顏色的球 ? 摸到白球的可能性有多大，黃球呢？ ( 學生略做思考后交流。 ) 生 1 ：可能摸到白球，也可能是黃球。 生 2 ：摸到白球的可能性是 9/10 ，因為有 10 個球，其中 9 個是白球。 （大家都表示同意） 師 : 好，下面就請你們分小組摸球，記錄摸球的結果，驗證一下大家的想法。 本活動的目的是驗證摸到白球的概率是否為 9/10 ，如前所述是不提倡的。因為學生完全可以通過分析推理得到摸到白球的概率，他們產生不了做實驗的需求。如果做了實驗，摸到白球的頻率往往不是 9/10 ，學生反而產生困惑，當然也體會不到數據的作用了。 第二類：“體會隨機”類 看下面的一個二年級的課堂教學片段： 組織小組活動：盒子里有 3 個黃球、 3 個白球。每次摸出 1 個，摸之前先猜猜你會摸到什么顏色的球 ? 每次你都猜對了么 ? 活動結束時，老師詢問 : 有沒有每次都猜對的同學 ?( 全班只有 2 人舉手。 ) 師 : 為什么我們那么多的同學都沒有猜對呢 ? ( 此時，兩個猜對的同學急于向大家介紹方法。 ) 生 1: 黃球和白球摸在手里的感覺不一樣 ! 師 :( 饒有興趣地 ) 真的嗎 ? 讓我們見識一下 ! 生 1:( 摸出一球，沒看前猜測 ) 黃色 ! ( 拿出后是白色，生 1 低頭坐了下去。 ) 師 : 怎么不試了 ? 生 1 ：沒有信心了。 師 : 怎么就沒有信心了 ? 生 1: 摸在手里分辨不出來 . 生 2: 我發現了，如果第一次摸出來的是黃球，第二次就猜是白球，是交錯出現的。 師 : 你剛才就是這樣猜的，結果都對了嗎 ? 生 2 連連點頭。 師 ( 半信半疑地 ) ：還有這個規律 ? 摸 1 個 ! ( 生 2 摸出 1 個白球，放回。 ) 生 2: 第二次一定是黃球。 ( 第二次生 2 果真摸出一個黃球。 ) 師：看來，下次…… 生 2: 第三次該是白球了 ! ( 第三次生 2 摸出個黃球。 ) 師 : 這個規律還成立么 ? 學生們直搖頭。 師：通過剛才的摸球游戲，你發現了什么 ? 生 : 盒子里又有黃球又有白球，摸出一個球，可能是黃球，也可能是白球 . 這個案例乍一看和上面的案例一樣，都是摸球，但仔細分析目的是不一樣的。這個實驗的目的是使學生體會不確定性，即事先無法確定實驗的結果。其實，學生對于不確定性的認識并不是一帆風順的，學生們總是希望找到“確定”的結論。有的學生認為可以憑手感判斷段結果，有的學生把球放在固定的地方從而“破壞”隨機，有趣的是還有的學生通過幾個數據的黃白相間規律就去推斷整體是這樣的。學生出現這些想法是正常，逐漸消除學生存在的誤解正是教學的目標之一。而最好的辦法就是讓學生親自實驗，案例中教師正是運用了這一策略。 第三類：“推斷”類 上面已經舉過這樣的例子，對于這樣的活動是在課程標準修訂中大力提倡的，即通過數據來進行推斷。 我給大家準備了兩種骰子，一種是均勻的，另一種是不均勻的，但不知道 哪種是均勻的，哪種是不均勻的。 1 、 2 、 3 組是一種骰子， 4 、 5 、 6 組是一種骰子。每個小組至少拋 15 次，記錄下分別是幾點，然后我們統計 “1” 點和 “6” 點的次數。（ 1 、 2 、 3 組 “1” 點 28 次， “6” 點 33 次； 4 、 5 、 6 組 “1” 點 40 次， “6” 點 27 次） 生： 1 、 2 、 3 組的骰子是均勻的， 4 、 5 、 6 組的骰子是不均勻的。 師：他的結論你們同意嗎？ 28 和 33 也不一樣啊？ 生：差距比較小。 師： 4 、 5 、 6 組呢？ 差距大。 師：我們就做出推斷， 4 、 5 、 6 組的骰子可能是不均勻的。想知道謎底嗎？ 第四類：“運用頻率估計概率”類 有的教師在課堂中創設了如下的情境：父親和兒子決定誰去看奧運會男籃決賽。但是，與過去教學不同，使用決定是否去的工具并不是硬幣，而是啤酒瓶蓋。 師：舉世矚目的北京奧運會圓滿地、無與倫比地結束了。去過北京，現場看奧運會的請舉手。沒有人，的確，就是北京當地的人也買不到奧運會的門票。我有一位朋友，知道我當年是學校籃球隊的隊長，就專門幫我找了一張男子籃球決賽的門票。（出示籃球票）只有一張。我兒子也是個籃球迷。孔子說：“己所不欲，勿施于人”。怎么辦呢？飯桌上，我和兒子商量。我兒子看到桌子上有一個啤酒瓶蓋，就說：“爸爸，我們拋啤酒瓶蓋吧。如果正面朝上就我去，如果反面朝上就您去。”我說：“兒子，什么是正面朝上？什么是反面朝上？”（出示瓶蓋正、反面圖片，并標注“正——兒子、反——爸爸”）你們想一想，（板書：問題）這個辦法好不好？認為好的舉手。 （學生紛紛舉手表示認可。） 師：為什么好？誰能說一下，你是怎么想的？ 生 1 ：我覺得是靠命運決定的，所以公平。 生 2 ：我認為是公平的，因為兒子的機遇是二分之一，爸爸的機遇也是二分之一。 師：二分之一，就是這個瓶蓋拋起來的時候，可能是正面朝上，也可能是反面朝上，只有兩種可能，（板書：可能性）并且拋一次的話，一定會有一面朝上。所以說這是公平的。有沒有不同的想法？ 生 3 ：我認為在現實生活中會有所爭議，因為啤酒瓶蓋打開過，會有一定的折痕，會影響最終的公平性。 師：你想的很好，不過我們選的啤酒瓶蓋如果就是平的，好像就沒問題了。用拋啤酒瓶蓋的辦法，剛才大家都說好了。現在在他的啟發下，有沒有人認為不好？ 生 4 ：我認為瓶子蓋的反面那一圈是折起來的，這一面的重量會比正面的重量大，所以爸爸勝的可能性比較大。 師：能用“可能性”這個詞很好。同意這個觀點的人請舉手。 部分同學同意。 師：小結，看來現在有兩種意見了。 生 3 一直堅持舉手，最終獲得發言機會：我認為，瓶蓋上的鋸齒也會影響比賽的結果。 師：經過剛才的討論，我們發現問題（指板書：問題），用拋啤酒瓶蓋的辦法來決定誰去看比賽，究竟公平不公平呢？答案不一致。怎么辦呢？ 生 4 ：做個實驗唄。看一下到底有沒有問題。 師：非常好！做個實驗來看一看到底公平不公平。（板書：實驗）有這樣的想法非常好。實踐是檢驗真理的唯一標準。 通過這個例子我們可以看到：當 華 老師問這個方法行不行時，因為孩子沒有這方面的經驗，所以很多孩子都認為公平，但有一個孩子認為不公平，但是他正好得了一個相反的結論，他覺得既然兒子決定的，肯定對兒子有利，所以這個正面朝上的可能性大，其實正好是錯誤的，這個時候，我們到底哪個可能性大？這個概率誰大呢？顯然我們這個時候做實驗就顯得非常的重要，孩子也說咱們試一試吧，通過試一試學生發現，其實反面朝上的可能性大，當然我們再配合一些解釋。最后揭曉兒子看起來好像是想自己去，實際上他是是為了讓他爸爸能夠去，選擇了這樣一個事情，因為他爸爸是個球迷，很有意思。這個類實際上跟我們第五類，體會頻率與概率的關系，是密切相關的。因為正是因為頻率和概率有關系，就是我們說的，大量重復實驗的時候，頻率會穩定在概率，所以我做的實驗次數比較多的時候，我用頻率去估計概率。 3．隨機現象發生的可能性 在本次《課標》的修改中，學生在第一學段將不再學習概率，主要考慮在基礎教育階段統計的重要性是大于概率的，發展學生的數據分析觀念是這部分內容的核心。即使對于隨機的學習，如前所述，《標準》中也提出運用數據分析來體會隨機性。 第二學段《標準》安排了概率的學習，根據學生的年齡特點，稱為“隨機現象發生的可能性”。有兩個方面的要求：在具體情境中，感受簡單隨機現象的事例，能列出簡單的隨機現象中所有可能發生的結果。通過實驗、游戲等活動，感受隨機現象結果發生的可能性是有大小的，能對一些簡單的隨機現象發生的可能性大小作出定性描述，并能進行交流。 綜上所述，我們利用這四個話題，把課程標準中有關統計概率這部分的要求跟大家進行溝通。一是抓住核心概念數據分析觀念，第二，就是注意我們四條主線，一個是統計的過程，一個是數據統計的方法，一個數據的隨機性，一個是簡單隨機性發生可能性，前三個主要是統計，后面是概率。那么第三點，就是我們知道統計概率有一些變化，是需要我們不斷的來一塊來理解，一塊來建設，我們還有很多值得研究的問題，還有很多很好的資源需要我們共同積累。 |
