精品伊人久久大香线蕉,开心久久婷婷综合中文字幕,杏田冲梨,人妻无码aⅴ不卡中文字幕

關(guān)于數(shù)學(xué)的整體性、結(jié)構(gòu)性，有不少經(jīng)典論述。瑞士?jī)和睦韺W(xué)家皮亞杰早在其1968年出版的《結(jié)構(gòu)主義》一書(shū)中就指出：“如果不從檢驗(yàn)數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)開(kāi)始，就不可能對(duì)結(jié)構(gòu)主義進(jìn)行批判性的陳述。……幾乎在所有的數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，并且在邏輯學(xué)里，我們都發(fā)現(xiàn)了群結(jié)構(gòu)。”美國(guó)著名代數(shù)學(xué)家阿爾貝特說(shuō)：“數(shù)學(xué)是結(jié)構(gòu)的科學(xué)。當(dāng)直覺(jué)和未經(jīng)分析的經(jīng)驗(yàn)表明在許多不同的背景下存在著共同的結(jié)構(gòu)特征時(shí)，數(shù)學(xué)就有了任務(wù)，這就是以精確的和客觀的形式系統(tǒng)地闡明基本的結(jié)構(gòu)特征。”在《新數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》一書(shū)中，鄭毓信教授強(qiáng)調(diào)：“數(shù)學(xué)對(duì)象的建構(gòu)事實(shí)上是一種整體性的建構(gòu)活動(dòng)。或者說(shuō)，數(shù)學(xué)的對(duì)象并非各個(gè)孤立的模式，而是整體性的 ‘建構(gòu)’。”可見(jiàn), 整體性、結(jié)構(gòu)性是數(shù)學(xué)學(xué)科鮮明的本質(zhì)特性。

順應(yīng)這種特性，數(shù)學(xué)教學(xué)也把“整體”“結(jié)構(gòu)”等作為重要的研究方向。美國(guó)教育學(xué)家、心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“學(xué)生對(duì)所學(xué)材料的接受，必然是有限的。怎么能使這種（有限的）接受在他們以后一生的思想中有價(jià)值？對(duì)這個(gè)問(wèn)題的回答是：不論我們選教什么學(xué)科，務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)。……掌握學(xué)科的結(jié)構(gòu)以理解這個(gè)學(xué)科，可以使許多其他的東西與該學(xué)科有意義地聯(lián)系起來(lái)。簡(jiǎn)而言之，學(xué)習(xí)結(jié)構(gòu)就是學(xué)習(xí)事物是如何聯(lián)系的。”《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》在課程設(shè)計(jì)思路中明確要求：“為了體現(xiàn)義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程的整體性，本標(biāo)準(zhǔn)統(tǒng)籌考慮九年的課程內(nèi)容”“充分考慮數(shù)學(xué)本身的特點(diǎn)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)的實(shí)質(zhì)。”課程標(biāo)準(zhǔn)研制專家組在解讀課程標(biāo)準(zhǔn)時(shí)也提及：“我們的課程應(yīng)當(dāng)使學(xué)生真正感受到數(shù)學(xué)內(nèi)容本身所具有的‘整體性’——數(shù)學(xué)是統(tǒng)一的，許多不同內(nèi)容之間存在著實(shí)質(zhì)的聯(lián)系，包括內(nèi)涵與方法。這樣的感受有助于學(xué)生正確地認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)的價(jià)值、理解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，形成應(yīng)用數(shù)學(xué)解決問(wèn)題的能力，發(fā)展自身的認(rèn)識(shí)能力。”

在這種方向的指引下，指向整體建構(gòu)的小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)研究備受關(guān)注。馬立平博士在《小學(xué)數(shù)學(xué)的掌握和教學(xué)》一書(shū)中，系統(tǒng)論述了“知識(shí)包”“概念結(jié)”的重要價(jià)值：“在教一個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候，應(yīng)該把知識(shí)看作一個(gè)包，而且要知道當(dāng)前的知識(shí)在知識(shí)包中的作用。你還要知道你所教的這個(gè)知識(shí)受到哪些概念或過(guò)程的支持，所以你的教學(xué)要依賴于、強(qiáng)化并詳細(xì)描述這些概念的學(xué)習(xí)。當(dāng)教那些將會(huì)支持其他過(guò)程的重要概念的時(shí)候，你應(yīng)該特別花力氣以確保你的學(xué)生能很好地理解這些概念，并能熟練地執(zhí)行這些過(guò)程。”她通過(guò)比較中美兩國(guó)數(shù)學(xué)教師的教學(xué)案例，特別提出：知識(shí)“打包”的正確方式不是固定的、嚴(yán)格唯一的。不同的教師，在不同的背景之下，或同樣的教師對(duì)不同的學(xué)生，都可能以不同的方式將知識(shí)“打包”。張衛(wèi)娥老師針對(duì)“數(shù)學(xué)教材文本表達(dá)的局限性，許多數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)系被隱藏、懸置、遮蔽起來(lái)，導(dǎo)致學(xué)生的數(shù)學(xué)認(rèn)知被肢解、思維被固化、創(chuàng)造被弱化”等現(xiàn)實(shí)，指出：“知識(shí)體系”整體大于“知識(shí)體系”各部分之和，數(shù)學(xué)教學(xué)要用數(shù)學(xué)的“高觀點(diǎn)”、學(xué)習(xí)的“長(zhǎng)任務(wù)”、教學(xué)的“大問(wèn)題”來(lái)將數(shù)學(xué)知識(shí)中相同或相似乃至相對(duì)、相反的意義模塊進(jìn)行統(tǒng)整、優(yōu)化、組合，使得數(shù)學(xué)知識(shí)成為更具生長(zhǎng)力的結(jié)構(gòu)體。董文彬老師針對(duì)“開(kāi)學(xué)第一課”提出教學(xué)建議：讓學(xué)生綜觀全冊(cè)教材，從整體上認(rèn)識(shí)本學(xué)期數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本內(nèi)容梗概；要在統(tǒng)合學(xué)習(xí)內(nèi)容的基礎(chǔ)上幫助學(xué)生把握知識(shí)結(jié)構(gòu)，建立數(shù)學(xué)關(guān)聯(lián)，立足發(fā)展兒童的整體思維，進(jìn)而讓兒童在課堂上成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的先行組織者。特級(jí)教師莊惠芬進(jìn)一步拓展視野，著眼兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的三個(gè)關(guān)鍵期：第一個(gè)是“心理敏感期”，即幼兒園與小學(xué)銜接的學(xué)習(xí)關(guān)鍵期;第二個(gè)是“成長(zhǎng)馬鞍期”，即小學(xué)三、四年級(jí)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵期；第三個(gè)是“學(xué)習(xí)斷層期”，即小學(xué)與初中銜接的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)關(guān)鍵期，確立整體學(xué)習(xí)的教育思想，樹(shù)立兒童數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的整體觀念。特級(jí)教師張宏偉則提出了“全景式”數(shù)學(xué)教育主張，從內(nèi)容全景、現(xiàn)實(shí)全景、方式全景、思維全景、歷史文化全景、目標(biāo)和評(píng)價(jià)全景六個(gè)方面，把培養(yǎng)兒童數(shù)學(xué)素養(yǎng)所必需的各方面內(nèi)容融合到合適的網(wǎng)絡(luò)系統(tǒng)中，嘗試構(gòu)建一種“大數(shù)學(xué)教育”，努力實(shí)現(xiàn)由“教孩子數(shù)學(xué)”向“用數(shù)學(xué)教育孩子”的真正轉(zhuǎn)變，具有一定的開(kāi)創(chuàng)性。

上述研究，對(duì)豐富小學(xué)數(shù)學(xué)“整體建構(gòu)”教學(xué)實(shí)踐提供了寶貴經(jīng)驗(yàn)。

指向整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)，簡(jiǎn)單地講，就是基于數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在系統(tǒng)關(guān)聯(lián)，通過(guò)結(jié)構(gòu)化教學(xué)，幫助學(xué)生完善認(rèn)知體系，發(fā)展思維能力，培育思維素養(yǎng)，進(jìn)而更好地理解數(shù)學(xué)，喜歡數(shù)學(xué)，輕松地學(xué)好數(shù)學(xué)。實(shí)施這樣的教學(xué)，需要把握三個(gè)要點(diǎn)。

數(shù)學(xué)知識(shí)具有很強(qiáng)的內(nèi)在邏輯，是整體的、系統(tǒng)的、結(jié)構(gòu)的。而教材所遵循的“螺旋上升”的編排原則，在順應(yīng)了兒童認(rèn)知規(guī)律的同時(shí)，也在一定程度上削減和遮蔽了數(shù)學(xué)知識(shí)的整體性和結(jié)構(gòu)性，加上分學(xué)段、年級(jí)、學(xué)期、課時(shí)組織教學(xué)，很容易導(dǎo)致“只見(jiàn)樹(shù)木不見(jiàn)森林”的教學(xué)問(wèn)題。

要實(shí)現(xiàn)知識(shí)系統(tǒng)化，首先要對(duì)教材進(jìn)行知識(shí)體系梳理。這一點(diǎn)看起來(lái)似乎并不難，因?yàn)樵谂涮椎慕虒W(xué)指導(dǎo)用書(shū)中，都有本套教材知識(shí)體系表，按照領(lǐng)域、年級(jí)、學(xué)期（上下冊(cè)）列舉出所學(xué)知識(shí)點(diǎn)（稍顯不足的是，小學(xué)數(shù)學(xué)教師只看到小學(xué)教材的知識(shí)體系，初中數(shù)學(xué)教師只看到初中教材的知識(shí)體系，難以掌握整個(gè)義務(wù)教育階段數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容的全貌）。當(dāng)然，上述學(xué)習(xí)內(nèi)容體系也只是一種簡(jiǎn)單的羅列，雖然有年級(jí)序列，但彼此之間的關(guān)聯(lián)性并不緊密，特別是數(shù)學(xué)思想方法、內(nèi)隱性的思維邏輯層面的關(guān)聯(lián)非常少，呈現(xiàn)出比較明顯的“點(diǎn)狀”特征。可見(jiàn)，梳理知識(shí)體系，更為重要的是發(fā)現(xiàn)并揭示其中內(nèi)在的邏輯與關(guān)聯(lián)。比如，小學(xué)生初步認(rèn)識(shí)“可能性”，不少教師都把重點(diǎn)落在用“可能”“不可能”“一定”來(lái)描述事情發(fā)生的情況，結(jié)果一節(jié)課下來(lái)，學(xué)生雖然會(huì)做題了，但對(duì)可能性的理解還是模糊不清。事實(shí)上，“可能”“不可能”“一定”這三個(gè)詞語(yǔ)中，“不可能”“一定”都屬于對(duì)確定事件的描述，“可能”用于隨機(jī)事件（不確定事件）的描述，它們之間的邏輯關(guān)聯(lián)如圖1所示。教學(xué)時(shí)如果只是抓住這三個(gè)詞，而不是將其置于整個(gè)知識(shí)系統(tǒng)中，并做系統(tǒng)的呈現(xiàn)（類似圖1這樣去板書(shū)），學(xué)生的理解勢(shì)必會(huì)“散點(diǎn)化”“割裂化”。

圖1

那么，如何才能有這樣的系統(tǒng)認(rèn)識(shí)呢？筆者以為教師除了要通過(guò)專業(yè)理論學(xué)習(xí)補(bǔ)上本體性知識(shí)缺乏這一短板，還要“往上看一看”——對(duì)初中教材中的相關(guān)內(nèi)容做深入的了解。比如，蘇科版初中數(shù)學(xué)八年級(jí)下冊(cè)《認(rèn)識(shí)概率》單元，在學(xué)習(xí)“可能性的大小”之前，安排了“確定事件與隨機(jī)事件”的學(xué)習(xí)：

在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定不會(huì)發(fā)生，這樣的事情是不可能事件（impossible event）。……在一定條件下，有些事情我們事先能肯定它一定會(huì)發(fā)生，這樣的事情是必然事件（certain event）。必然事件和不可能事件都是確定事件。

在一定條件下，很多事情我們事先無(wú)法確定它會(huì)不會(huì)發(fā)生，這樣的事情就是隨機(jī)事件（random event）。

這個(gè)案例表明，知識(shí)系統(tǒng)化的關(guān)鍵在于把知識(shí)點(diǎn)“連成線”“組成面”“構(gòu)架體”（圖1中的7個(gè)箭頭，很好地將“可能性”的相關(guān)知識(shí)做了結(jié)構(gòu)化的表達(dá)）。

當(dāng)然，從純數(shù)學(xué)的角度看，數(shù)學(xué)知識(shí)之間有一套比較嚴(yán)格的邏輯系統(tǒng)。而從學(xué)習(xí)的角度看，數(shù)學(xué)知識(shí)之間的邏輯系統(tǒng)又存在多樣性、開(kāi)放性。比如，現(xiàn)行的幾種版本的小學(xué)數(shù)學(xué)教材，有的是先學(xué)分?jǐn)?shù)，再學(xué)小數(shù)，即小數(shù)學(xué)習(xí)建立在分?jǐn)?shù)基礎(chǔ)之上；有的則先學(xué)小數(shù)，再學(xué)分?jǐn)?shù)，小數(shù)學(xué)習(xí)并不與分?jǐn)?shù)直接發(fā)生聯(lián)系（當(dāng)然，后續(xù)學(xué)習(xí)中還是要發(fā)生聯(lián)系的）。又如，教學(xué)分?jǐn)?shù)，有的教師是從整數(shù)除法入手：6÷2=3，2÷2=1，1÷2沒(méi)法除了，怎么辦？有的教師是從“份數(shù)”入手：1個(gè)蛋糕，平均分成2份，每份是多少呢？還有的教師則是從整數(shù)入手：3個(gè)餅，吃掉1個(gè)，剩下2個(gè)；再吃掉1個(gè)，剩下1個(gè)；又吃掉1個(gè)，沒(méi)有了（0個(gè)）。人吃餅的時(shí)候，是不是一口一個(gè)呢？有沒(méi)有比0多、又不足1個(gè)的情況？這些不足1個(gè)的“零頭”，怎么用數(shù)來(lái)表示呢？于是，分?jǐn)?shù)就“嵌入”到0、1、2、3……的整數(shù)體系中。

值得注意的是，對(duì)知識(shí)系統(tǒng)性的理解，不能局限在純數(shù)學(xué)概念層面。多一些視角，可以在更高層面上建構(gòu)知識(shí)系統(tǒng)。比如，關(guān)于加法的學(xué)習(xí)：一年級(jí)學(xué)習(xí)“9 4”，核心算法是“湊十法”，學(xué)會(huì)了“湊十”，就可以遷移運(yùn)用到“8 4”“7 4”等進(jìn)位加法；二年級(jí)學(xué)習(xí)兩位數(shù)加法，“58”跟哪個(gè)數(shù)相加最好呢？自然是“42”，因?yàn)?8 42=100，核心算法是“湊百”；再往后，還會(huì)碰到“湊千”（如723 277）、“湊一”（如0.75 0.25），等等。從算法的角度看，“湊十”“湊百”“湊千”“湊一”都是不同的方法，但就其本質(zhì)而言，都是“湊整”。顯然，“湊整”是一種更加上位、更具統(tǒng)攝性、更有擴(kuò)展性的數(shù)學(xué)思維，用“湊整”來(lái)統(tǒng)攝“湊十”“湊百”“湊千”“湊一”等的學(xué)習(xí)，零散的知識(shí)就被“拎”起來(lái)了，課堂就具有了長(zhǎng)程眼光和穿透力，一節(jié)課便上出了幾年的跨度。

基于上述思考，我們嘗試性地創(chuàng)建小學(xué)六個(gè)年級(jí)12冊(cè)教材的數(shù)學(xué)知識(shí)結(jié)構(gòu)全景圖，力求尋找不同領(lǐng)域、年段、年級(jí)、分冊(cè)各知識(shí)內(nèi)容的內(nèi)在邏輯關(guān)聯(lián)，除了呈現(xiàn)每個(gè)知識(shí)內(nèi)容的年級(jí)分布（從左向右，以色塊區(qū)分）和所屬領(lǐng)域、板塊，更重要的是通過(guò)不同虛實(shí)粗細(xì)的線條、箭頭、注解、圖標(biāo)等揭示其內(nèi)在關(guān)聯(lián)。比如，“圖形與幾何”領(lǐng)域的“長(zhǎng)方形和正方形的周長(zhǎng)”與“長(zhǎng)度計(jì)量”相連接，而“長(zhǎng)度計(jì)量”又與“整數(shù)認(rèn)數(shù)”中的“十進(jìn)制”連接；“長(zhǎng)方形和正方形的面積”與“面積計(jì)量”相連接，“面積計(jì)量”又和“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域的“乘法”連接。而無(wú)論是長(zhǎng)度計(jì)量，還是面積計(jì)量，或是體積計(jì)量、角度計(jì)量、時(shí)間計(jì)量……所有的計(jì)量方法都是相通的，那就是“計(jì)量”板塊橫線上寫(xiě)的9個(gè)字：定標(biāo)準(zhǔn)、去測(cè)量、得結(jié)果。又如，小學(xué)各年級(jí)都涉及“統(tǒng)計(jì)與概率”領(lǐng)域內(nèi)容的學(xué)習(xí)，包括統(tǒng)計(jì)方法、統(tǒng)計(jì)圖表、統(tǒng)計(jì)分析等，總共編排了10個(gè)單元、20多個(gè)例題、50多個(gè)課時(shí)，但是，“統(tǒng)計(jì)與概率”的核心歸根結(jié)底就是一句話：用數(shù)據(jù)來(lái)“說(shuō)話”（通過(guò)數(shù)據(jù)的研究來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題）。各年級(jí)所學(xué)內(nèi)容，無(wú)非是這一核心的具體分解——數(shù)據(jù)的搜集、整理、描述與應(yīng)用。這樣的全景圖，有“寬度”，有“深度”，也有“貫通度”，可以用8個(gè)字來(lái)概括：“一體”（六個(gè)年級(jí)12冊(cè)合為一體），“二核”（數(shù)與形）、“三主”（認(rèn)數(shù)主線、圖形主線、統(tǒng)計(jì)主線）、“四附”（代數(shù)初步、問(wèn)題解決、量與計(jì)量、探索規(guī)律）。

總之，知識(shí)系統(tǒng)化的核心是整體與關(guān)聯(lián)。基于不同視角、不同理解的整體與關(guān)聯(lián)，會(huì)讓數(shù)學(xué)的世界變得更加美妙，給數(shù)學(xué)教學(xué)帶來(lái)無(wú)限的創(chuàng)造空間。

教學(xué)結(jié)構(gòu)化（或結(jié)構(gòu)化教學(xué)），其關(guān)鍵是將“結(jié)構(gòu)化”的理念融入教學(xué)活動(dòng)之中，“充分依據(jù)結(jié)構(gòu)、生成結(jié)構(gòu)、拓展結(jié)構(gòu)，發(fā)展結(jié)構(gòu)思維，培育數(shù)學(xué)素養(yǎng)”；要“遵循數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的邏輯機(jī)理，通過(guò)結(jié)構(gòu)化的長(zhǎng)程設(shè)計(jì)、模塊式的意義重構(gòu)、遞進(jìn)式的教學(xué)推進(jìn)，幫助學(xué)生建立清晰的知識(shí)結(jié)構(gòu)以及獲得知識(shí)的方法結(jié)構(gòu)，使原本鑲嵌在教材豐富背景下的散點(diǎn)知識(shí)凸顯出來(lái)，進(jìn)而以結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的模型保存在學(xué)生的大腦皮層，在后續(xù)的學(xué)習(xí)中便捷、有效地提取與轉(zhuǎn)化”。

所謂“結(jié)構(gòu)”，《現(xiàn)代漢語(yǔ)詞典》（第7版）的解釋是“各個(gè)組成部分的搭配和排列”。筆者以為，它包含三個(gè)關(guān)鍵要素：元素、關(guān)聯(lián)、整體。以一年級(jí)“認(rèn)識(shí)人民幣”為例，元素就是人民幣的三個(gè)單位“元”“角”“分”，關(guān)聯(lián)就是三個(gè)單位之間的三組關(guān)系——元與角、角與分、元與分的進(jìn)率，整體就是元素及關(guān)聯(lián)所構(gòu)架出的全貌。圖2所示的兩種形式的課堂板書(shū)，對(duì)上述三個(gè)方面都有所表達(dá)。但稍做比較便可發(fā)現(xiàn)，右邊的板書(shū)結(jié)構(gòu)感更強(qiáng)一些，內(nèi)涵也更豐富一些，它不僅改變了左邊板書(shū)中元素和關(guān)聯(lián)的“散點(diǎn)”狀態(tài)，而且把元、角、分的進(jìn)率所表示的雙向關(guān)系表達(dá)得清楚明白。理論上，“=”也表示雙向關(guān)系，但對(duì)于一年級(jí)學(xué)生而言，從“1元=10角”建立“10角=1元”的認(rèn)識(shí)并不容易——而三個(gè)雙向箭頭，便把這層含義形象地表達(dá)了出來(lái)。不僅如此，上面兩個(gè)10，下面一個(gè)100，給學(xué)生以強(qiáng)烈的視覺(jué)沖擊，把三組關(guān)系有機(jī)統(tǒng)一，很好地體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的邏輯性和嚴(yán)密性（“10個(gè)10”就是100），這對(duì)后續(xù)長(zhǎng)度、質(zhì)量、面積、體積等計(jì)量單位的學(xué)習(xí)，以及數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)梳理都有很好的啟示作用。

圖2

由此可見(jiàn)，在關(guān)注元素和關(guān)聯(lián)的基礎(chǔ)上，多用箭頭符號(hào)來(lái)標(biāo)注聯(lián)系，不失為教學(xué)中體現(xiàn)整體性、結(jié)構(gòu)性的好辦法。不過(guò)，這種板書(shū)變換還只是把同樣的內(nèi)容做了不同形式的改造，而上文中提到的“可能性”的板書(shū)則更具創(chuàng)造性，它突破和超越了教材編排的文本內(nèi)容，實(shí)現(xiàn)了更為宏觀的整體建構(gòu)。當(dāng)然，上述板書(shū)中的單箭頭，也都具有雙箭頭的含義（或者不畫(huà)箭頭只是以弧線來(lái)連接，同樣表達(dá)彼此間雙向關(guān)聯(lián)）。需要補(bǔ)充說(shuō)明的是，“隨機(jī)事件”和“確定事件”之間用虛線連接，意在表達(dá)二者之間看似不同，但在一定條件下是可以相互轉(zhuǎn)換的（比如，把硬幣的反面也做成正面的圖案，把“三色轉(zhuǎn)盤(pán)”變成“單色轉(zhuǎn)盤(pán)”，就是把隨機(jī)事件變成了確定事件；反之亦然），“不可能”下面的虛線箭頭，意在與“可能”情況加以區(qū)分，一實(shí)一虛，一顯一隱，相依并存，給學(xué)生以辯證思維的啟迪。更為重要的是，這個(gè)板書(shū)可以一直用到初中、高中、大學(xué)里“概率”等內(nèi)容的學(xué)習(xí)：“一定”事件的可能性就是1，“不可能”事件的可能性為0，隨機(jī)事件的可能性在0-1之間；確定事件可以看成是隨機(jī)事件的極端情況，某個(gè)隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小是由“等可能情況”與所有“發(fā)生情況”的占比決定的……這進(jìn)一步說(shuō)明，基于整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)是可以實(shí)現(xiàn)“一節(jié)課上出幾年的跨度”效果的。

教學(xué)四年級(jí)“周期規(guī)律”，不少教師上課時(shí)黑板上幾乎是空白的，原因就是除了寫(xiě)上解決問(wèn)題時(shí)的幾道算式，實(shí)在不知道寫(xiě)什么。圖3是我們的課堂板書(shū)。稍加分析可以看出，這個(gè)板書(shū)除了列舉出知識(shí)層面的周期特征（每幾個(gè)一組、按順序排列、重復(fù)出現(xiàn)）、找周期的方法要點(diǎn)（圈一圈、至少看兩組等）、如何應(yīng)用周期解決實(shí)際問(wèn)題（確定任意一組、確定任意一個(gè)、確定計(jì)算總數(shù)等），還用概念學(xué)習(xí)的三大“追問(wèn)”（是什么、從哪里來(lái)、到哪里去）來(lái)統(tǒng)領(lǐng)學(xué)習(xí)過(guò)程。最后的“已知→未知”“有限→無(wú)限”是對(duì)“周期規(guī)律”學(xué)習(xí)意義的概括，既不是知識(shí)，也不是方法，而是思維的引導(dǎo)、思想的升華。

圖3

板書(shū)看課堂。眼界決定境界，思想決定高度！以結(jié)構(gòu)化的方式呈現(xiàn)學(xué)習(xí)素材、思路、思考、體會(huì)、發(fā)現(xiàn)……課堂教學(xué)自然就會(huì)八面來(lái)風(fēng)，風(fēng)景獨(dú)好。

促進(jìn)認(rèn)知結(jié)構(gòu)化是教學(xué)結(jié)構(gòu)化的關(guān)鍵要義。杜威認(rèn)為，教育就是經(jīng)驗(yàn)的改組或改造。既然是“改組或改造”，就需要關(guān)注基礎(chǔ)，重視過(guò)程，著重變化，在動(dòng)態(tài)中發(fā)展，在發(fā)展中生長(zhǎng)。這種并不算新鮮的理論，一旦與結(jié)構(gòu)化教學(xué)實(shí)踐相結(jié)合，就會(huì)有蓬勃的生機(jī)，綻放出千姿百態(tài)。

比如，三年級(jí)學(xué)習(xí)“年、月、日”，是在二年級(jí)學(xué)習(xí)“時(shí)、分、秒”之后第二次學(xué)習(xí)時(shí)間單位。以下教學(xué)流程，比較好地體現(xiàn)了結(jié)構(gòu)化學(xué)習(xí)的特點(diǎn)（其間的板書(shū)演變?nèi)鐖D4）：

圖4

（1）從交流“記憶中不同尋常的日子”開(kāi)始，引出“年”“月”“日”三個(gè)時(shí)間單位。回憶過(guò)去學(xué)習(xí)時(shí)間單位“時(shí)”“分”“秒”的經(jīng)驗(yàn)，提煉出“關(guān)系”和“時(shí)長(zhǎng)”這兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)。

（2）聯(lián)系先前的學(xué)習(xí)，思考可以從哪些方面來(lái)研究年、月、日。然后結(jié)合生活經(jīng)驗(yàn)、合作探究，揭示相互間的關(guān)系（如31、30、29、28，24，12，365、366等），再說(shuō)一說(shuō)從什么時(shí)候到什么時(shí)候，經(jīng)過(guò)的時(shí)間就是“1年”“1月”“1日”。

（3）將時(shí)間單位與已經(jīng)學(xué)過(guò)的人民幣單位、長(zhǎng)度單位、質(zhì)量單位等相比，進(jìn)行總結(jié)提升，完善結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)和感悟：在各種計(jì)量單位系統(tǒng)中，時(shí)間單位之間的關(guān)系是最復(fù)雜的，原因是它與大自然、歷法等眾多因素有關(guān)；雖然它們之間很不同，但又是相通的——任何計(jì)量單位的學(xué)習(xí)都要研究各單位的“大小”（量值）和彼此間的“關(guān)系”（進(jìn)率）。

這樣教學(xué)，融學(xué)生日常的生活經(jīng)驗(yàn)、已有的認(rèn)知基礎(chǔ)、數(shù)學(xué)知識(shí)系統(tǒng)等為一體，基于生活又超越生活，基于知識(shí)又超越知識(shí)，利用整體建構(gòu)帶動(dòng)學(xué)生的思維發(fā)展。認(rèn)知心理學(xué)告訴我們，經(jīng)驗(yàn)的改組或改造具有多種形態(tài)，同化、順應(yīng)或二者并存都是可能的；同樣，學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)也有多種形態(tài)（“個(gè)體差別”），認(rèn)知結(jié)構(gòu)化的途徑和方式也應(yīng)該有多種，由此，教學(xué)就有了豐富多樣性。

落實(shí)教學(xué)結(jié)構(gòu)化，離不開(kāi)建構(gòu)清晰完整的教學(xué)結(jié)構(gòu)（或課堂結(jié)構(gòu)）。

依據(jù)時(shí)間的一維性，人們習(xí)慣于按照線性結(jié)構(gòu)來(lái)組織教學(xué)。傳統(tǒng)的“五步教學(xué)法”（復(fù)習(xí)鋪墊—引入新課—習(xí)得新知—總結(jié)概括—鞏固提升），就是時(shí)間進(jìn)程與認(rèn)知過(guò)程相結(jié)合的一種教學(xué)結(jié)構(gòu)類型。雖然這種結(jié)構(gòu)類型至今仍十分常見(jiàn)，但隨著信息時(shí)代的到來(lái)，素養(yǎng)為本、能力為重的教育呼聲變高，這種教學(xué)結(jié)構(gòu)的弊端也愈發(fā)顯現(xiàn)。我們?cè)鴩L試進(jìn)行“發(fā)現(xiàn)問(wèn)題—提出問(wèn)題—分析問(wèn)題—解決問(wèn)題—產(chǎn)生新問(wèn)題”的“新五步教學(xué)法”探索，引導(dǎo)學(xué)生在質(zhì)疑、析疑、解疑、生疑的螺旋發(fā)展鏈條中完成學(xué)習(xí)任務(wù)。我們也曾以數(shù)學(xué)思想方法為軸心，倡導(dǎo)低年級(jí)課堂向高年級(jí)穿越，高年級(jí)課堂從低年級(jí)的學(xué)習(xí)起點(diǎn)開(kāi)始，實(shí)現(xiàn)一節(jié)課上出“六年的跨度”（甚至衍發(fā)更長(zhǎng)遠(yuǎn)的影響力）。這些探索都取得了比較好的效果。

好的教學(xué)結(jié)構(gòu)，要層次清晰、目標(biāo)明確、邏輯嚴(yán)密。同一類知識(shí)的教學(xué)，一般有著類似的推進(jìn)過(guò)程。例如，探索規(guī)律的教學(xué)一般按照“發(fā)現(xiàn)猜想—驗(yàn)證猜想—?dú)w納概括—反思完善”的過(guò)程，認(rèn)數(shù)教學(xué)一般按照“材料感知—認(rèn)識(shí)新數(shù)—鞏固新數(shù)—運(yùn)用新數(shù)”的過(guò)程，運(yùn)算教學(xué)則一般按照“提出問(wèn)題—探索算法—理解算理—?dú)w納法則—內(nèi)化算法”的過(guò)程。認(rèn)識(shí)到這種過(guò)程性結(jié)構(gòu)的存在，就可以從起始內(nèi)容的教學(xué)開(kāi)始，不斷地提煉、比較、呼應(yīng)，引導(dǎo)學(xué)生主動(dòng)遷移和應(yīng)用這一過(guò)程結(jié)構(gòu)，并在自主學(xué)習(xí)的過(guò)程中轉(zhuǎn)化為有效的學(xué)習(xí)策略。

好的教學(xué)結(jié)構(gòu)，要貼近學(xué)生，激活思維，促進(jìn)發(fā)展。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的根本價(jià)值在于不斷地完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)、豐富學(xué)習(xí)感受、發(fā)展思維能力。比如，三年級(jí)“間隔排列”的教學(xué)，重點(diǎn)是引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)量關(guān)系的角度探索并發(fā)現(xiàn)“一一間隔排列”現(xiàn)象中蘊(yùn)含的簡(jiǎn)單數(shù)學(xué)規(guī)律，可用整體建構(gòu)的觀點(diǎn)，設(shè)計(jì)如下三個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：（1）借助擺兩種不同顏色圓片的活動(dòng)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)“一一間隔排列”有“兩端不同”和“兩端相同”兩種情況；（2）分類研究這兩種情況，得出結(jié)論：兩端不同時(shí)，兩種物體數(shù)量相等；兩端相同時(shí)，兩種物體數(shù)量相差1——尋找數(shù)量之間的特征，都可以用“一一對(duì)應(yīng)”的數(shù)學(xué)思想方法；（3）通過(guò)增加或減少圓片，將“兩端相同”變成“兩端不同”，讓學(xué)生直觀感知這兩種情況在一定條件下是可以互相轉(zhuǎn)換的，從而打通二者的聯(lián)系，滲透辯證統(tǒng)一觀念。三個(gè)環(huán)節(jié)，通過(guò)“經(jīng)過(guò)剛才的探索，你發(fā)現(xiàn)了什么？”“經(jīng)過(guò)剛才的探索，你又發(fā)現(xiàn)了什么？”“經(jīng)過(guò)剛才的探索，你還發(fā)現(xiàn)了什么？”這三次追問(wèn)，進(jìn)一步強(qiáng)化“一一間隔排列”的類型、數(shù)量特征、數(shù)量關(guān)系背后的數(shù)學(xué)思想以及兩種類型之間的辯證統(tǒng)一，引導(dǎo)學(xué)生的思維不斷“爬坡”。

總之，教學(xué)過(guò)程既是數(shù)學(xué)知識(shí)從少到多，從簡(jiǎn)單到復(fù)雜，從單一到組合的橫向拓展過(guò)程，又是數(shù)學(xué)思考從現(xiàn)象到本質(zhì)，從分離到整合，從直覺(jué)感受到深刻領(lǐng)悟的縱向提升過(guò)程。合“縱”連“橫”，課堂方能“向四面八方打開(kāi)”。

數(shù)學(xué)是思維的體操。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)要引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)活動(dòng)中切身體會(huì)思維的力量，并最終成為“思維的主人”。那么，思維發(fā)展最理想的狀態(tài)是什么？或者說(shuō)，思維發(fā)展到“登峰造極”的表現(xiàn)是什么？我以為，就是形成思維習(xí)慣，即未經(jīng)任何提示，自然而然流露出來(lái)的、具有自覺(jué)、能動(dòng)特征的思維能力。“數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)不能停留在思維方式方法的簡(jiǎn)單使用上，而要突出學(xué)習(xí)者的主體自覺(jué)、自發(fā)、自為（自動(dòng)而為），增強(qiáng)對(duì)更加上位、更加統(tǒng)整、更具‘超能’的較高水平的思維品性、思維品質(zhì)、思維品格的培養(yǎng)。”這樣的思維發(fā)展佳境，不妨稱之為“自能化”。

思維的“自能化”并不是通過(guò)幾節(jié)課、一兩個(gè)學(xué)期、一兩年就能“修煉”成的，而是一個(gè)長(zhǎng)期累積進(jìn)而逐漸從量變到質(zhì)變的過(guò)程。從日常教學(xué)的角度來(lái)看，要邁向這樣的目標(biāo)，需要把握以下四個(gè)要點(diǎn)：

一是“看得見(jiàn)”，即多用直觀的方式呈現(xiàn)知識(shí)結(jié)構(gòu)。直觀性——這是年齡較小的學(xué)生的腦力勞動(dòng)的一條普遍原則。唐·季·烏申斯基曾寫(xiě)道：“兒童是‘用形式、聲音、色彩和感覺(jué)’思維的。”上文提到的“板書(shū)看課堂”，實(shí)質(zhì)上就是借助于板書(shū)的視覺(jué)效應(yīng)，增強(qiáng)學(xué)生對(duì)結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)的敏感性，進(jìn)而帶動(dòng)思維向更高層面發(fā)展。與傳統(tǒng)教學(xué)相比，這樣的板書(shū)，除了呈現(xiàn)知識(shí)要點(diǎn)外，還要適當(dāng)提煉出蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想方法等；除了盡可能讓學(xué)習(xí)過(guò)程“留痕”，更要突出關(guān)聯(lián)，體現(xiàn)整體感。當(dāng)然，直觀的方式是豐富多樣的，生動(dòng)的故事情境、形象的圖形畫(huà)面、動(dòng)態(tài)的視頻錄像、自主的操作活動(dòng)是直觀的；為解釋說(shuō)明所學(xué)所得而舉一個(gè)生活事例，打一個(gè)比方，做一番演示，繪制一張圖表等，也是直觀。此外，我們要牢記：直觀性的目的絕不是為了整節(jié)課抓住學(xué)生的注意力不放，而是為了在教學(xué)的某一個(gè)階段上使學(xué)生擺脫形象，在思維上過(guò)渡到概括性的真理和規(guī)律性上去。

二是“說(shuō)得清”，即能用語(yǔ)言（也包括圖解、符號(hào)、文字、演示等）將學(xué)習(xí)和思考表達(dá)出來(lái)，進(jìn)行“數(shù)學(xué)化表達(dá)”。表達(dá)的過(guò)程，是對(duì)自己的思考再一次審視、修正、完善的過(guò)程，也是互相接納、取長(zhǎng)補(bǔ)短的過(guò)程。比如，在學(xué)習(xí)“1千米=1000米”時(shí)，有學(xué)生認(rèn)為，“千米”中有一個(gè)“千”字，所有1千米=1000米；而有學(xué)生認(rèn)為，從已經(jīng)學(xué)過(guò)的4個(gè)長(zhǎng)度單位“毫米、厘米、分米、米”相鄰兩個(gè)長(zhǎng)度單位之間的進(jìn)率都是10來(lái)看，“千米”和“米”之間可能還有其他的長(zhǎng)度單位（“十米”“百米”，課本中沒(méi)有這兩個(gè)長(zhǎng)度單位）。兩種想法都基于某種理由，但相互比較后，學(xué)生感覺(jué)后者的理由更加充分，邏輯層次水平更高，于是，從“毫米”到“千米”之間的十進(jìn)制的長(zhǎng)度單位體系就建立了。值得一提的是，在教學(xué)時(shí)出現(xiàn)“十米”和“百米”，并不表示要求學(xué)生掌握和應(yīng)用它們，其意義在于：借助它們，可以讓學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性、邏輯性、結(jié)構(gòu)性。

三是“理得順”，即能將多個(gè)元素、多種關(guān)系之間的邏輯關(guān)聯(lián)理順暢，避免出現(xiàn)錯(cuò)位、錯(cuò)亂和錯(cuò)誤（比如，把“一定”“可能”“不可能”看成是并列存在的三種事件）。當(dāng)然，由于數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)在的結(jié)構(gòu)關(guān)聯(lián)具有多樣性，這里的“順”在很大程度上是基于學(xué)生、基于教材、基于課堂、基于數(shù)學(xué)的。比如，低年級(jí)剛開(kāi)始學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形，為了讓學(xué)生更好地掌握這兩種圖形的特征，有必要將其視為兩種不同的圖形。但是，隨著知識(shí)量的增加和思維發(fā)展水平的提升，則需要逐步建立“正方形就是特殊的長(zhǎng)方形”的認(rèn)識(shí)，二者之間的關(guān)系也從“并列”關(guān)系轉(zhuǎn)為包含關(guān)系。再如，在小學(xué)階段，加法和減法是“水火不相容”的兩種運(yùn)算方法，但是，初中學(xué)完有理數(shù)減法（減去一個(gè)數(shù)等于加上這個(gè)數(shù)的相反數(shù)）后，減法就可以視為一種特殊的加法了。此外，對(duì)一個(gè)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，除了知識(shí)獲得，還有過(guò)程與方法、情感態(tài)度與價(jià)值觀的目標(biāo)，知識(shí)維度、方法維度、思想維度等往往是交織在一起的。如何在更寬的視野、更高的水平上幫助學(xué)生理順關(guān)系，則需要教師有更深厚的素養(yǎng)和更高超的教學(xué)智慧。

四是“悟得透”，即讓學(xué)生在感悟中慢慢懂得數(shù)學(xué)是怎么回事、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)是怎么回事，進(jìn)而能輕松地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)、喜歡數(shù)學(xué)，乃至于整個(gè)人成了“數(shù)學(xué)”。為此，課堂上要多花時(shí)間讓學(xué)生進(jìn)行深層次的思考與交流，在反思中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)的真諦，走向?qū)W習(xí)的自由王國(guó)。圖5是“探索規(guī)律——和與積的奇偶性”的教學(xué)板書(shū)，板貼卡片上的內(nèi)容是揭示“和與積的奇偶性”的規(guī)律，十幾個(gè)箭頭則表達(dá)出各個(gè)規(guī)律之間的關(guān)聯(lián)。

圖5

來(lái)看看學(xué)生的領(lǐng)悟——

思維發(fā)展走向高水平有三個(gè)重要過(guò)程（階段）：入心、生長(zhǎng)、外化。學(xué)習(xí)首先是自“外”向“內(nèi)”的，但所有入內(nèi)的東西需要在內(nèi)心不斷地積淀和生長(zhǎng)，等積淀和生長(zhǎng)到一定程度，就會(huì)外化為一種近乎本能的意識(shí)和行為。當(dāng)學(xué)生的反思、建構(gòu)能力越來(lái)越強(qiáng)，結(jié)構(gòu)化思維水平會(huì)越來(lái)越好，自動(dòng)化程度也會(huì)越來(lái)越高，進(jìn)而就能自覺(jué)、主動(dòng)地去應(yīng)用。這時(shí)，他的數(shù)學(xué)素養(yǎng)就真正形成了。

綜上可見(jiàn)，指向整體建構(gòu)的數(shù)學(xué)教學(xué)，遵從了數(shù)學(xué)學(xué)科整體性、結(jié)構(gòu)性的本質(zhì)特征，順應(yīng)了數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)“四兩撥千斤”的內(nèi)在需求，彰顯了“育人為本”“素養(yǎng)為上”的教育教學(xué)價(jià)值。它是理念，也是行動(dòng)；是思想，也是方法；是過(guò)程，也是結(jié)果。它是一次向教育常識(shí)、教育本質(zhì)的回歸，也是一次承載著新的數(shù)學(xué)教育使命的“再出發(fā)”。