作者簡介： 一 問題呈現 二 解法初思：“疏影橫斜不知處” 絕大多數學生將條件轉化集中于以AP為一邊的APC或△APB中，再應用余弦定理求得邊長AP，順利解決問題（1）。
一
解法一：建立直角坐標系
二
解法二：坐標法、代數化
三
解法再思：“暗香浮動月明晰”
一
解法三：正余弦定理1
學生繼續思考問題（1），由ΔBPA中∠BPA已知，因此要求tan∠PBA，只需表示出邊BP、AP 的長度，由于∠BPC的特圖3殊性，可考慮延長CP得解法三。
二
解法四：正余弦定理2
四
解法深思：“小蕾已露數點紅”
數學教學不應只注重數學形式層面的知識，而應更重視數學發現層面的內容，讓學生以積極的心態調動已有的認知和經驗，去經歷理解、感受數學思想和觀念、技能與方法。奧加涅相指出，“必須重視，很多習題潛在著進一步擴展其數學功能、發展功能和教育功能的可行性。”很多時候，教師僅僅游走在學生思維的邊緣，只關注習題在鞏固知識方面的效用，單純追求習題量的積累，忽視其課堂教學的“生成”功能與知識的聯系功能，只有當我們真正站在學生的角度思考問題，充分暴露解題思維，才可能理解學生，幫助學生把解答中缺失的思維找回來，才可能理解教學，實現由單一的機械重復訓練向主體探究的自我建構的轉變。
一
解法五：算兩次1
受以上解法的啟示，注意到求tan∠PBA的實質為建立關于∠PBA的三角方程，因此可以通過邊角之間的聯系，利用正弦定理建立方程解題。
教師點評：一個數量，兩種算法，即得到一個等量關系，這種思維方法稱為“算兩次”，又稱富比尼（G·Fubini）原理。它在解決此題時，構思精巧，過程簡約，干脆利落，給人以美感，其作用耐人尋味。
在習題教學中，引導學生對一道題所可能涉及的知識與方法進行多角度、多層面的深入思考，發表對問題的獨到見解，努力做到以知識為支撐點、以能力為再生點、以思維訓練為落腳點，用數學思想和方法來指導解題，將題研“深”、拓“廣”、鉆“透”，將課堂發展為一個思維發散和碰撞的“激發場”，讓學生在交流中形成思維發散的新穎性與獨特性，有利于全面系統地掌握解題規律，加強知識之間的聯系，并不斷將新學習的知識方法納入已有的知識網絡，使所學知識方法“升華”為數學思想，是培養學生創新意識，形成科學思維和提高習題教學效果的有效途徑．受剛才學生成功運用“算兩次”方法的啟示，又有學生提供下面解法：
二
解法六：算兩次2
三
解法七：算兩次3
四
解法八：算兩次4
教師總結：一道優秀的數學題蘊藏著豐富的解題信息，只要我們用心探索，勇于思考，必可覓得“終南捷徑”。
五
問題溯源：“林間新綠一重重”
一道數學題的解答，并不是問題的終結，因為習題教學的目的在于，揭示數學知識的價值，為學生提供一個思考的機會，提升學生分析問題、解決問題的能力，激發學生探究問題的根源的興趣與心向。因此，對“只緣身在此山中”的問題雖有較完美的解決，如果教師注重問題和學生經驗、課外知識的聯系和融合，以問題為載體，站在一定的高度加以審視，力“識廬山真面目”，對問題延伸探究，引領學生追本溯源，從中發掘題目的精髓，看清問題的本質，這樣，學生才能用更高的觀點、更廣的視野、更理性的眼光去思考數學問題，使數學習題教學更為高效真實。
由以上解法可知，圖１中有∠PBA＝∠PCB＝∠PAC，即本題的背景為三角形的布洛卡（Brocard）點：若Ｐ是△ABC內一點，且∠PAB＝∠PBC＝∠PCA＝ω，則點Ｐ稱作△ABC的第一類布洛卡點（正布洛卡點）；若∠QBA ＝∠QCB＝∠QAC＝ω′，則點Ｑ稱作△ABC的第二類布洛卡點（負布洛卡點），其中ω，ω′稱為布洛卡角。任意三角形都有兩個布洛卡點，且△ABC的正布洛卡點為△ACB的負布洛卡點。
根據布洛卡角所在圖形，結合余弦定理，我們有如下解法：
一
解法九：布洛卡角+余弦定理1
二
解法十：布洛卡角+余弦定理2
教師總結：解法九、十雖然曲折，但我們從中收獲布洛卡角的兩條性質：（1）cotw＝（ａ2＋ｂ2 ＋ｃ2）÷４S。其中Ｓ為ΔABC的面積；（2）cotw＝cotω′＝cotＡ＋cotＢ＋cotＣ。這表明數學中眾多的知識點并不“孤單”，不正說明了“數學有趣”嗎？
六
解法再探：“穿花蛺蝶深深見”
波利亞說：“一個專心的認真備課的教師能夠拿出一個有意義的但又不復雜的題目，去幫助學生挖掘問題的各個方面，使得通過這道題，就好像通過一道門戶，把學生引入一個完整的理論領域”，在數學教學中，教師應使學生獲得數學理解的同時，充分認識數學知識間的內在聯系，這樣有利于學生的知識的遷移與內化，習得結構化的、互相聯系的數學知識，為形成和發展良好的數學認知結構打下基礎。
一
解法十一：布洛卡點幾何意義+解法二
二
解法十二：構造直角三角形
考慮到條件中涉及到直角三角形，而勾股定理是描述直角三角形三邊的內在關系的數學工具，因此，可以構造直角三角形求解。
學生探索其他解法，作PD⊥ AC于點Ｄ，由ΔADP∽ΔCPB求解，或過點Ｃ作CF⊥AP于F，結合ΔAFC∽ΔCBP得解。限于篇幅，不再詳述。
七
教后反思：“最是橙黃桔綠時”
在數學教學中，“一題多解”既要重問題，更應重主體、重過程，發揮習題的教學功能，達到知識方法的舉一反三與合縱連橫；也要培養學生發散思維能力，形成探究意識。與其讓學生疲于應付大容量“一招一式”的簡單模仿與高密度“一題一法”的重復訓練，窒息其智慧，不如選擇一道好題，通過深入研究，積累數學經驗，激發興趣，啟迪思維，引導思想。若對經典例題充分進行挖掘，注重培養探索“一題多解”的習慣，不但可以促進學生理解和掌握顯性知識之間的內在聯系，使學生靈活運用多方面的知識，還可以挖掘其中隱性的思想方法，完善數學認知結構，激發探求欲望，提高創新能力；而且能讓教師對習題的研究更加深入，有利于自己的課堂由解題向積累轉變，由鞏固向探究轉變，也有利于增加教與學的透明度，使教師更加準確地把握教學目標和要求，發現學生運用與聯系知識的不足之處，讓學生的數學思維能力得到質的提高，實現教學相長；也同時幫助深刻理解學生知識的系統性、特殊性和廣泛性，從而使學生開拓知識視野，逐步將學生引入勝境。
總之，數學教學中，過程往往比結果更美麗，我們不要為了趕路而忘了欣賞沿途的風景。如果習題教學是教師“無私奉獻”的壟斷，或是個別學生“繁榮活躍”的表演，這樣大多數學生只能“懂而不會”，達不到聞一知十的效果。只有教學過程是一個探究發現的過程，才能見微知著，才會更富有樂趣。
