作者，Sean Li 。
翻譯，伯努利數(shù)，哆嗒數(shù)學網(wǎng)翻譯組成員。
數(shù)學中有許多非常枯燥的事情。例如誰會關心(半徑為r的)圓的面積是πr2，或者“負負得正”呢？為什么？也許我們可以在最出乎意料的結(jié)果上找到答案，反直覺的事實有時候甚至騙過了最好的數(shù)學家。
1、 生日悖論
生日悖論是說如果一個房間里有23個人，那么有兩個人生日是同一天的概率將大于50%。這事實看起來很違反直覺，我們都知道在任何一個特定的日子里某人過生日的概率是1/365。
這種差異源于我們只要求兩個人彼此擁有同一天生日即可。不然，若我們考慮的是在某人在某個特定的日子過生日，例如3月14日，那么23個人中，出現(xiàn)這種事的概率是6.12%。
換句話說，如果一個房間有23個人，而你又選擇了某人X，并問他：“有人和你是同一天生日嗎？”，答案很可能是否定的。但如果對其他22個人重復同樣的行為，每問一次，你會更有機會得到肯定答復，最終我們會看到，這個概率將會超過50%（準確的說是50.7%）
2、 曼德勃羅集
德勃羅集是一個復數(shù)集，考慮函數(shù)f(z)=z2+c，c為復常數(shù)，在這為參數(shù)。若從z=0開始不斷的利用f(z)進行迭代，則凡是使得迭代結(jié)果不會跑向無窮大的c組成的集合被稱為曼德勃羅集。規(guī)則不復雜，但你可能沒預料到會得到這么復雜的圖像。
當你放大曼德勃羅集時，你會又發(fā)現(xiàn)無限個小的曼德勃羅集，其中每個又亦是如此...（這種性質(zhì)是分形所特有的）
這真的很契合那句俗話“大中有大，小中有小”，下面有一個關于放大他的視頻，我想這絕對令人興奮不已。
如果你看了這些視頻后仍然不覺得這些純數(shù)學令人感到驚訝，那我也不知說什么好了。
3、 巴拿赫-塔爾斯基悖論
巴拿赫-塔爾斯基悖論是說，你可以將一個圖形拆分后拼成兩個各自和原先大小完全相同的圖形。更特別的，它聲稱，對于一個3維實心球，可以將其分成有限份，而后拼成各自與原先的實心球大小完全相同的實心球。
很明顯，這可是高度反直覺的。并且它被許多數(shù)學家視作數(shù)學中最為反常的一個結(jié)果。畢竟，在現(xiàn)實中，我們從未見過任何一個物體能憑空被復制成兩個。事實上，它似乎挑戰(zhàn)了物理中的質(zhì)量守恒定律，即質(zhì)量(在位移和旋轉(zhuǎn)下)是不變的。但這個結(jié)果并非如此，似乎是在說一個物體的質(zhì)量可以憑空變?yōu)樵瓉淼膬杀叮?/p>
不過，如果原來的質(zhì)量是無限大的話。容易注意到無限大翻倍后還是無限大，那么從技術(shù)上看我們并沒有打破物理法則。對于這個悖論更深層次的解釋，可以搜搜其他相關的文章。
4、 蒙提霍爾問題
這個聲名狼藉的問題表述如下：
假設你正參加一個游戲秀，給予了你拿走你選中的三扇門中的一扇門后的物品的自由。其中一扇后有轎車，另外兩扇后各是一頭羊，但你并不知道門后的物品。你選擇一扇門后，記這扇門為1號門，而主持人知道門后的物品，打開了另外一扇門后有羊的門，記為3號門。然后主持人問道：“哪扇門后有羊呢？你想選擇2號門嗎？”。這時改變你的選擇會對你更有利嗎？
我問的人中，沒有一個人能第一次就回答對。令人詫異的是，答案是最好換一扇門。
與其試著解釋其中的緣由，我更希望推薦你們閱讀維基百科的相關條目，闡述的非常到位，下面的故事也一樣非常有趣：
“問問瑪麗蓮(Ask Mailyn)”的許多讀者都不愿相信換門會導致更好的結(jié)果，而并不在意瑪麗蓮的解釋。這個問題出現(xiàn)在Parade雜志后，有接近一萬名讀者，甚至包括接近一千名PhD寫信給雜志，他們當中大部分都認為瑪麗蓮是錯的。甚至在給予了解釋、模擬、數(shù)學證明后，許多人依舊不能接受換門是最佳策略。甚至埃爾德什（Paul Erdos），史上最多產(chǎn)的數(shù)學家，直至在他看到電腦模擬證實以后，才能打消他的疑慮。
這一課告訴了我們，不要輕信自己的直覺。
5、 “加百列的號角”與油漆匠悖論
了解微積分的學生或許熟悉，“加百列的號角”是一個體積有限表面積無窮大的物體（用微積分的知識可以清晰地發(fā)現(xiàn)這一點）。
而它若在現(xiàn)實中，如果試著去漆上它，則會導致一些問題。油漆匠佯謬是說，我們可以填滿這個號角（體積有限），但是卻不可能完完全全的漆上它（表面積無限）。
“科赫雪花”是一種奇特的形狀，與上例類似，它具有有限面積無限周長。事實上，第二個提到的曼德勃羅集也具有一樣的性質(zhì)！
6.巴塞爾問題
巴塞爾問題說，如果你將自然數(shù)各自平方取倒數(shù)加在一起，那么你會得到π2/6。
如果你是正常而且心智健全的人類，那么左邊的這堆東西和π，這個圓的周長與直徑的比值，會有如此聯(lián)系這件事可能完全出乎了你的意料。
7、 阿貝爾不可解定理
你們大部分人在中學都接觸過二次方程，也知道怎么解次數(shù)為2的多項式方程 ax2 + bx + c = 0。
但我們的故事并不到此為止。在16世紀，數(shù)學家解出了一元三次方程，即ax3 + bx2 + cx + d = 0。它對應的求根公式更為復雜：
感謝老天你并沒有在中學學到這個，但讓我們看得更遠一點，怎么求解一元四次方程關于這一點，下面的求根公式可謂是駭人了：
我敢打賭你并沒有看完它的整個細節(jié)。
現(xiàn)在讓我們松口氣，因為我并不繼續(xù)要向你們展示后續(xù)的求根公式了，因為一元五次方程的求根公式并不存在！并不是說至今還沒有找到，我們確確實實的證明了它并不存在。事實上任何高于五次次的一元多項式都沒有求根公式。
8、 有不同層次的無窮大
是的，有一些無窮大比其他的無窮更大。從學術(shù)角度而言，無窮大應該被稱為基數(shù)，并且一個無窮大如果比另一個無窮大擁有更大的基數(shù)，則說它比另一個無窮大要大。（常規(guī)的自然數(shù)也是基數(shù)，但是無窮大的基數(shù)總是大于任何一個自然數(shù)的基數(shù)）
仍然有許多關于無窮大的基數(shù)的反直覺事實，例如，整數(shù)比奇數(shù)多嗎？你可能理所當然的肯定，因為整數(shù)多出了一系列的偶數(shù)。但答案是否定的，因為他們擁有相同的基數(shù)。有理數(shù)多于整數(shù)嗎？不，有理數(shù)與整數(shù)也一樣多。
但是，康托發(fā)現(xiàn)實際上實數(shù)比有理數(shù)還要多。實數(shù)通常被認為是連續(xù)統(tǒng)，并且很長一段時間中，有過猜想，但至今并不能清晰的知道，是否有介于整數(shù)基數(shù)和連續(xù)統(tǒng)基數(shù)的無窮大？這個猜想被稱為連續(xù)統(tǒng)猜想。
隨后被發(fā)現(xiàn)，連續(xù)統(tǒng)猜想在通常意義下既非真也非假。它被證明并不能被證明或被證明為假（多讀幾遍，有點饒舌）。準確的說，保羅柯恩證明了連續(xù)統(tǒng)假設是獨立于ZFC公理體系的，這是數(shù)學集合論中的標準公理體系。
9、 哥德爾不完備定理
簡單的說，我們證明了有一些東西是不能被證明的。這個結(jié)果有大量初等的嚴格表述，我簡單敘述如下：
(1) 任何一個足夠強的系統(tǒng)存在一個命題既不能被證明也不能被證偽（例如連續(xù)統(tǒng)假設）
(2) 任何一個足夠強的系統(tǒng)都不能證明它自身是不推出矛盾，即便它不能被推出矛盾
以上兩條定義即著名的哥德爾不完備定理。顯然，這些結(jié)果蘊含了巨大的意義，并不僅僅是數(shù)學上的，也有哲學上的。
10、 費馬大定理
畢達哥拉斯定理聲稱，對于任何一個直角三角形，都有a2+b2=c2。現(xiàn)在假定這些變量都是正整數(shù)。那么顯然有解a=3,b=4,c=5,但是a=1.5,b=2,c=2.5就不對了，即便它也使得等式成立。可以發(fā)現(xiàn)，顯然有無窮多對使得a，b，c都是整數(shù)的解。
但如果我們進一步考慮下面的問題呢，有多少對正整數(shù)解滿足 a3+b3=c3？答案是沒有。就算再把指數(shù)3換成5也如出一轍，也無解。
事實上，費馬大定理稱，任何指數(shù)大于2的上述等式，沒有任何一組正整數(shù)。這個著名的問題在1637年作為猜想提出，花費了將近四個世紀才被解決，最終被安德魯懷爾斯于1995年解決。
