［摘要］極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態的概念。極限的思想方法為建立微積分學提供了嚴格的理論基礎，極限的思想方法為數學的發展提供了有力的思想武器。當今數學教學界，非常重視數學思想方法在教學中的滲透。然而實際教學中，部分教師對極限思想方法的理解及應用還存在著偏頗，本文將在小學數學教學中極限思想的滲透上提出自己的觀點。
［關鍵詞］數學思想 極限思想 極限思想的滲透點
極限是用以描述變量在一定的變化過程中的終極狀態的概念[1]。極限的思想方法為建立微積分學提供了嚴格的理論基礎，極限的思想方法為數學的發展提供了有力的思想武器。當今數學教學界，非常重視數學思想方法在教學中的滲透。然而在小學數學的實際教學中，部分教師對極限思想方法的理解及應用還存在著一定的忽視，本文對如將極限的思想方法應用于小學數學教學之中,提出自己的觀點和同行們探討與交流。
這是大家都非常熟知的一個故事：有一個牧民，臨終前要把17匹馬分給他的3個兒子。于是留下遺囑：分給老大，分給老二
，分給老三
。牧民死后，三個兒子都不知道如何來分。一位鄰居牽來自己的一匹馬來幫忙分，這時就有18匹馬了，所以老大得9匹，老二得6匹，老三得2匹，鄰居牽著自己的那匹走了。
有人對上述分馬的方法提出了異議，認為這實際上分的是18匹馬，而不是17匹。那么我們不妨換一種辦法來分:
共17匹馬。老大可以分得：17×=匹；老二可以分得：17×
=
匹；老三分得17×=匹。還剩下17－－－=匹。
我們就把剩下匹馬按遺囑繼續分。老大又可以分得： 匹；老二又可以分得：匹；老三又分得匹。還剩下匹。就這樣我們可以繼續不斷地分下去……
現在讓我們來看一看老大分得的馬匹數：
第一次得，第二次得，第三次得，……，第ｎ次得……這是一個無窮遞縮等比數列，這個數列所有項的和是S=+++…++…==9，即老大分得9匹。
利用這種辦法我們也可以求出：老二可以分得6匹，老三可以分得2匹。而9+6+2=17，恰好分完。這樣既滿足了牧民的心愿，又符合規則，問題得到圓滿解決。
“借馬分馬”的故事雖然簡單，但第二種分馬的方法其中所蘊含的極限思想卻極其珍貴。如果你只認識到“只分一次”是不夠的，這種辦法的核心是要將分遺產的過程無限的進行下去，每分一次剩下的馬匹數都縮小到上一次的，最后每個人分得的馬匹數就逼近于一個整數了，這實際就是極限的思想的一個具體應用。
由于小學生的年齡特點的限制，他們對具體的、數量有限的事物容易理解，對抽象的、數量無限的事物難于把握。但作為教師我們不能無視極限思想方法的重要性，還應該著眼于學生的長遠發展及終身發展，因此，我們在小學數學教學中應針對小學生的特點，將極限有思想方法進行適度的滲透。我想教師應該抓住機會采用分層滲透的辦法，切不可急功近利。
層次一：幫助學生理解無限。
1．數量無限多。
現行小學教材中有許多知識點會涉及到數量無限多的情況。 在“自然數”、“奇數”、“偶數”、這些概念教學時，教師可讓學生體會自然數是數不完的，奇數、偶數的個數有無限多個。在循環小數這一部分內容中，1 ÷ 3 = 0.333…是一循環小數，它的小數點后面的數字是寫不完的。通過這些方面讓學生初步體會“無限”思想，這樣的例子在小學數學教學中還有很多。比如 商不變性質教學后的練習：（32÷□）÷（8÷□）＝4讓學生體會□內可填入無限多數，再如：在學習分數基本性質后的練習中，教師又要求學生在1分鐘內寫一些與某個分數相等的分數，讓學生體會這樣的分數也是無窮無盡的。
2．圖形無限延伸。
小學幾何概念中有許多概念是具有無限性的，如直線 、射線、角的邊、平行線的長度等等它們都是可以無限延伸的。這些概念在現實生活中并不是真實存在的（現實生活中你找不要一條能無限延伸的線），它們只是存在于人腦的想象之中，是人腦抽象的結果。而這種想象又是進一步學習數學的必不可少的基礎能力。因此，在圖形教學中培養學生空間想象力，培養學生的無限觀念是非常重要的。
以上兩點是從不同方面體現了“無限”的觀念，并不是真正意義上的“極限”，然而，培養學生的無限觀念是形成極限思想的基礎，離開無限談極限是沒有任何意義的。所以，不應該因為“無限≠極限”而忽視對無限性的教學。
層次二：幫助學生理解逼近。
“無限≠極限”的原因在于無限的結果可能是收斂的，也可能是發散的。由于小學生的生活經驗、數學知識還比較貧乏，他們只能通過一些具體的事例，逐漸感悟到什么是“無限地逼近”，為將來學習“收斂”這個數學中概念積累一些感性的認識。因此，逐步理解“逼近”是形成極限思想的另一個重要方面。
受年齡特征的制約小學生對極限思想不會有深刻的理解，但這并不等于我們在小學數學教學中可以淡化對極限思想的滲透，相反我們應該抓住一切可以利用的契機加以滲透，為他們將來學習極限理論，提高抽象思維，奠定基礎。筆者認為小學數學教學中可以在以下幾方面加強對極限思想加以滲透（滲透點）。
在公式推倒過程中滲透極限思想。
【案例】“圓的面積”。
在教學“圓面積公式的推導”一課時，有的教師是這樣設計的。
師：我們過了一些圖形的面積計算公式，今天我們來研究圓的面積公式。你們有什么辦法嗎？
生：可以把圓轉化為我們學過的圖形。
師：怎么轉化？
生：分一分。
演示把圓平均分成了2分，把兩個半圓地拚起來，結果還是一個圓。
生：多分幾份試一試。
演示把一個圓分割為完全相同的小扇形，并試圖拚成正方形。從平均分成4個、8個、到16個……
師：你們有什么發現？
生：分的份數越多，拼成的圖形就越接近長方形。
課件繼續演示把圓平均分成32個、64個……完全相同的小扇形。教師適時說“如果一直這樣分下去，拼出的結果會怎樣？
生：拼成的圖形就真的變成了長方形，因為邊越來越直了。
這個過程中從“分的份數越來越多”到“這樣一直分下去”的過程就是“無限”的過程，“圖形就真的變成了長方形”就是收斂的結果。學生經歷了從無限到極限的過程，感悟了極限思想的具大價值。
學生有了這個基礎，到將來學習圓柱體積公式的推導時就會很自然地聯想到這種辦法，從而再一次加以利用解決問題，在不斷的應用中學生的極限思想會潛移默化地形成。
以上計算公式的推導過程，采用了“變曲為直”、“化圓為方”極限分割思路。在通過有限想象無限，根據圖形分割拼合的變化趨勢，想象它們的最終結果。既使學生掌握了計算公式，又萌發了無限逼近的極限思想。
二、在形成新概念時滲透極限思想
【案例】“循環小數”。
循環小數一課是一節概念性很強的新課，多數教師在教學中非常重視學生的自主探究過程，重視對循環小數的相關概念的教學，但也大都忽視了一個問題，即極限思想的滲透。
我們可以在課上創設以下一個問題供學生討論：0.999……和1哪個大？
這個問題可以通過以下的方法加以解決：
設0.999……＝
10＝9.999……
10＝＋9
9＝9
＝1
所以0.999……＝1
但這種方法對于還沒有學習方程知識的小學生來說有點難于理解。怎么辦呢？可以這樣幫助學生理解：
1-0.9=0.1，1-0.99=0.01，1-0.999=0.001，1-0.9999=0.0001，……1-0.999……=？
這時可以引導學生觀察：隨著小數部分9的個數的不斷增多，與1的差在逐漸的減少，而在0.999……中的小部分有無窮多個9，那么最終的差會是多少呢？這樣使學生認識到差會越來越小，最終成為0。從而使學生認識到0.999……=1。
事實證明這種辦法學生是可以理解和接受的，這種辦法的核心就是極限思想的體現。學生對這種辦法的理解過程正是對極限思想的感知過程。
學生對于新鮮事物是最感興趣的，如果我們能在新知識的教學中適時滲透極限思想，既可以增強學生的學習興趣又有利于學生對極限思想的認識，何樂而不為呢？
三、在數學練習中挖掘極限思想
一些老師的練習設計往往是側重于對基礎知識的鞏固，通過練習培養學生的基本技能，針對培養學生數學思想方法的練習題相對較少。然而，學生的數學思想的形成是靠不斷的積累、不斷的運用來形成的，能夠自主運用思想解決問題是學生數學素養的具體體現，它應該貫穿于數學學習的始終。練習作為學生數學學習的重要環節，也應該承擔這方面的任務。因此，教師在練習題的設計時要注意極限思想的體現。
還記得在大學數學教材中有這樣一段話“《莊子·天下篇》引用過一句話：‘一尺之棰，日取其半，萬世不竭。’”[2]，于是在五年級學生學習了分數這一單元后，我把它改造成以下的一個題目：
《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”也就是說一根長為一尺的木棒，每天截去一半，這樣的過程可以無限制地進行下去。如果我們按照上述方法操作，第1天截去后剩下部分的長度占原長的，第2天截去后剩下的占全長的，第3天截去后剩下的占全長的，……，第10天截去后剩下的占全長的，……，第n天截去后剩下的占全長的，……如果我們這樣不斷地截下去，木棒所剩部分的長度是（ ）。
這道題的過程性比較強，學生做過此題后可以根據答案所呈現出的規律性，感悟出木棒所剩部分的長度會趨向于0。在解題的過程中可以體會到初步的極限思想，而且可以受到一定的傳統文化的熏陶，事實證明學生還是非常感興趣的。
又如在學習分數加法后我們可以設計練習：。
學生多數是利用通分的方法統一分母后，按分數加法的法則進行計算的。但如果此題只使用到這個程度還是遠遠不夠的。
方法二：我們發現在這個算式中，任意相鄰的兩個分數，后一個分數總是前一個分數的一半。
如果設S=，那么2S=,我們用2S－S得：
S=（）－（）=1－=，問題得以解決。這個辦法的核心是相互抵消的思想，且具有濃烈的代數的味道，對于從算術到代數的過渡也很有意義。
方法三：先畫一個大正方形，它的面積是1，如圖所示，
從圖中可以直觀地看出：。
在此基礎上可以把問題進一步變化為：
？
可以用數形結合的方法，從圖中直觀地看出隨著加數的不斷增加，空白部分的面積逐漸擴大，并且越來越接近正方形的面積即不斷地逼近1，當有無限多項相加時其結果為1。
通過多種辦法解決這個題目的動態過程中學生在收獲知識的同時，極限思想、數形結合的思想、相互抵消的策略等數學思想又為學生解題方法的創新提供了可能，培養了思維的靈活性。總之，練習的設計不能僅僅著眼于一個問題的解決，而是關注學生在解決這個問題中自主領悟到的數學知識及思想方法，更關注在解決問題中數學素養的形成。
四、在數學知識的復習中挖掘極限思想
復習課就是把平時相對獨立地進行教學的知識,，特別是其中帶有規律性的知識，以再現、整理、歸納等辦法串起來，進而加深學生對知識的理解、溝通，并使之條理化、系統化。[3]筆者聽過一些六年級“平面圖形的整理與復習”的課，這些課的目的在于能對學生所學過的長方形、正方形、三角形、梯形、平行四邊形、圓的面積公式做出整理。
從實際的教學情況看，參與這一教學活動的學生應當說都已較好地掌握了相關的知識，從而大多能梳理出如下的邏輯線索：
但在這些課中普遍存在的問題是：學生的活動主要是一種回憶的工作，是相關公式的推導過程的再現，即使注意到了這些公式間的聯系，而這種聯系在此也主要表現為線性的、單向的邏輯關系。然而，從教學的角度看，我們除了要重視知識的邏輯結構還要重視學生的認知結構，而認知結構與上述邏輯結構所具有的線性和單向性不同，認知結構不僅具有雙向性，還主要地表現在一種網狀的結構。教學工作的主要目標并非是使學生建立起關于相應邏輯結構的牢固記憶，而是應當幫助學生形成適當的認識結構。[4]因此，對于上述復習課而言筆者以為，除去以長方形為核心這一“標準”做法以外，我們也完全可以以梯形的面積公式為核心，將其他各個圖形聯系起來。實現兩種方法的“互補”幫助學生建立更為豐富和合理的認識結構。
而以梯形為核心進行梳理的主要手段可以借助極限的思想將公式進行聯絡。利用極限思想得到三角形的面積計算公式，方法是讓梯形的上底趨于0，梯形即趨于三角形，梯形的面積計算公式當上底趨于0時的極限就是三角形的面積計算公式 。我們甚至可以把長方形、正方形、平行四邊形面積計算公式都看成是梯形面積計算公式的極限形式。 于是可以構建出下面的知識網絡系統。
翻開數學的史話我們發現，無論是在最初的算術、代數還是初等幾何中，常量數學都是描述確定、靜態現實的有利工具。而無限問題的數學思維、數學表述，是由變量數學的發展來實現的。常量數學向變量數學的發展，無限概念的數學表述，這一切對數學、自然科學以至對人類社會的進步有著重大的意義。[5]這種由常量向變量、由有限觀念到無限觀念的轉變中無不體現著極限的數學思想，極限的思想方法是人們從有限中認識無限，從近似中認識精確，從量變中認識質變的一種數學思想方法，它是事物轉化的重要環節，這種思想也必將能為我們的小學數學教育發揮重要的作用。因此，教師們要在平日教學中積極挖掘體現極限思想的知識點，將極限思想很好地滲透于小學數學教學之中。
參考文獻：
[1]曹才翰、章建躍，數學教育心理學，北京師范大學出版社，2006年， 191。
[2]華東師大數學系，數學分析，高等教育出版社，1980年，31。
[3]鄒煊享，小學數學教學建模，廣西教育出版社，2003年，177。
[4]鄭毓信，國際視角下的小學數學教育，人民教育出版社，2004年，245。
[5]王憲昌，數學思維方法，人民教育出版社，2004年，73。
作者簡介：
高澤新，男，生于1967年，于1987年參加工作，從事小學數學教學工作16年，擔任教研員工作4年。有著較為扎實的教學基本功和教育、教學研究及指導能力。現為北京市東城區教師研修中心小學數學五年級教研員、東城區區級骨干教師、中國數學奧林匹克一級教練員。曾榮獲第九屆全國“華羅庚金杯”少年數學邀請賽優秀教練員獎。多次指導我區教師在全國、市區級小學數學課堂教學比賽中獲獎。多篇論文獲全國、市區論文評選一等獎。
