此文發《中國新課程教育教研》2016.10.
拓寬數學教學視野與訓練學生的發散思維能力
湖北省巴東縣東壤口鎮初級中學在地圖中查看 李大珍 郵編：444301
所謂發散思維是不依常規，尋求變異，對給出的材料、信息從不同角度，向不同方向，用不同方法或途徑進行分析和解決問題的一種思維方式。這種思維方式的最基本的特色是：從多方面#、多思路去思考問題，而不是囿于一種思路，一個角度，一條路走到黑。它主要特征是：多向性、變通性、獨特性。事實上，在創造性思維活動中，發散性思維又起著主導作用，是創造性思維的核心和基礎。數學教學其實是數學思維活動的教學。學習數學高有開思維，在數學思維過程中最高品質，最高層次，而又最可貴的是創造性思維品質。其實數學家創造能力的大小是與他本身的發散思維能力成正比的，即是說：科科學家的創造能力可用公式估計：創造能力=知識×發散思維能力。而加強發散思維能力的訓練，是培養學生創造性思維的重要環節。
一、在誘導樂于求異的心理傾向中，培養學生的發散思維能力
長期以來，初中數學教學以集中思維為主要思維方式，課本上的題目和材料的呈現過程大都循著一個模式，學生習慣于按照書上寫的與教師教的方式去思考問題，用符合常規的思路和方法解決問題，這對于基礎知識、基本技能的掌握是必要的，但對于中學生學習數學興趣的激發、智力能力的發展，特別是創造性思維的發展，顯然是不夠的。而發散思維卻正好反映了創造性思維“盡快聯想，盡多作出假設和提出多種解決問題方案”的特點，因而成為創造性思維的一種主要形式。在中學數學教學的過程中，在培養學生初步的邏輯思維能力的同時，也要有意識地培養學生的發散思維能力。贊可夫說過：“凡是沒有發自內心求知欲和興趣的東西，是很容易從記憶中揮發掉的”。贊可夫這句話說明了發散思維能力的形成，需要以樂于求異的心理傾向作為一種重要的內驅力。教師妥善于選擇具體題例，創設問題情境，精細地誘導學生的求異意識。對于學生在思維過程中時不時地出現的求異因素要及時予以肯定和熱情表揚，使學生真切體驗到自己求異成果的價值。對于學生欲尋異解而不能時，教師則要細心點撥，潛心誘導，幫助他們獲得成功，使學生漸漸生成自覺的求異意識，并日漸發展為穩定的心理傾向，在面臨具體問題時，就會能動地作出“還有另解嗎？”“試試看，再從另一個角度分析一下！”的求異思考。事實證明，也只有在這種心理傾向驅使下，那些相關的基礎知識、解題經驗才會處于特別活躍的狀態，也才可能對題中數量作出各種不同形式的重組，逐步形成發散思維能力。
訓練學生對同一條件，聯想到多種結論的發散思維習慣。這種思維習慣是指確定了已知條件后，沒有固定的結論，讓學生自己盡可能多地確定未知結論，并這個過程充分去求解這些未知結論。揭示思維的廣度和深度。不同層次的學生都能得到有益的嘗試，符合素質教育面向全體學生的要求。
(一)教育學生從多個方面、多個角度去認識事物，讓思維向四面八方發散出去，從而尋找解決問題更多更好的方法
1、在課堂教學中應該適當給學生提供獨立思考問題、自己提問題的條件與機會為發散思維的培養創造良好的內、外部的環境。
２、在課堂上善于創設思維情景，引導學生積極思維，運用已學過知識去解決新問題。其中組織課堂討論是一種使用較普遍的有效方法。這樣培養的學生敢于提問題、敢于批判、敢于質疑、思維敏捷。不受老師講解的束縛，可為發散思維的培養創良好的內、外部環境。
例1我在講完直線和圓的位置關系后，用下面方式復習了切線的性質：已知直線CB與⊙O相切于點A，請同學們任意添加輔助線，并寫出添加輔助線后能得到的結論（切線作為必要條件）．
把同學們的做法列成表寫在黑板上：輔助結論（１） 連結ＯＡ。 OA⊥CB (2) 過A作ＣＢ的垂線ＡＤ。 AD圓心O, （3） 過Ｏ作ＣＢ的垂線OE。 OE過切點A （４） 過B作⊙O的割線交⊙O于F、G。 BA2=BF×BG （５） 過B作⊙O的另一條切線交⊙O于M。 BA=BM （６）過A作弦AN，在∠CAN夾的弧上取點P,連結PA、 PN。 ∠BAN=∠APN （７）過A作弦AS=AT,連結ST。 AＢ∥ST …… …… ……
例2，已知△ABC，P是邊AB的一點，連結CP，要使△ACP∽△ABC，只要加上什么條件即可？（至少寫出三種方案）方案一：（∠APC=∠ACB）方案二：(∠ACP=∠B) 方案三：(AP ：AC=AC ：AB) 讓學生充分展開想象的翅膀，使學生發散思維能力得到同步提高。目的基本達到后，再讓學生對其中的部分結論加以證明。在剛開始進行這訓練時，學生是不習慣的，思路有被“堵塞”感覺，但經過一段時間的訓練后。學生的發散思維能力有了明顯的提高。比如。題目有切線這個條件時，他們就會迅速地對切線的性質進行一次“盤點”，然后，從中挑出最利于問題解決的用法。
(二)發散性思維體現了思維的開放性、創造性，是事物普遍聯系在頭腦中的反映
1、既然事物是相互聯系的，是多方面關系的總和。所以在教學中教育學生當一種方法，一個方面不能解決問題時，應主動地否定這一方法、方面，讓思維向另一方法、另一方面跨越。不要滿足已有的思維成果，力圖向新的方法、領域探索，并力圖在各種方法、方面中，尋找一種更好一點的方法、方面。
2、教學上運用相關的題目進行訓練，促使學生在思維上善于從同一對象中產生多種分化因素的能力，從不同的方向去思考，揭示同一本質表現出來的現象、形式之間的差異。
3、使思維富于聯想，思路寬闊，能對已知信息進行多方向、多角度的聯想，從而能夠發現新知識、提出新問題，得到多種解答或結論。
4、注意在學習過程中，對于學生提出的不同結論，如果講得有道理，教師就應該給予肯定，即便是與教材中的敘述有所出入，教師也不應該硬將教材中的結論強加給學生，因為任何知識的學習都要經歷由不完整到完整的過程。
(1)讓學生真實的坦陳自己的想法，尊重孩子的思維成果，不輕易否定孩子在認真思維基礎上的答案，這樣，學生才會“放下包袱、開動機器”，這樣，才會“百花齊放、百家爭鳴”。
(2)在引導學生進行發散思維的基礎上，我們還要引導學生相互比較鑒別，把發散的思維再回攏起來，這樣就有利于培養學生思維的系統性、嚴謹性和深刻性。
二、在多種形式的訓練中，培養學生的發散思維能力
在中學數學教學過程中，教師可結合教學內容和學生的實際情況，采取多種形式的訓練，培養學生思維的敏捷性和靈活性，以達到誘導學生思維發散，培養發散思維能力的目的。這種思維習慣是指問題的結論確定以后，盡可能變化已知條件，進而不同的角度，用不同的知識來解決問題。這樣，一方面可以充分揭示數學問題的層次。另一方面又可以充分暴露學生自身的思維層次，使學生從中吸收數學知識的營養。在教學中，我們常常會遇到類似的問題，為了實現某個目標，要首先設計實現這一目標的各種可能性方案。加強學生這方面能力的培養，也是對學生進行素質教育的一個方面。適當進行“一題多解”、“一題多變”、“一題多問”等教學活動，培養學生的發散思維
（一） 一題多變
是對題中的條件、問題、情節作各種擴縮、順逆、對比或敘述形式的變化，讓學生在各種變化了的情境中，從各種不同角度理清問題間的邏輯關系。采取步步變化深入，既發展了學生的探究思維能力，又綜合性地復習與鞏固了已學的有關知識，可取得較好的教學效果。
對題中的條件、問題、情節作各種擴縮、順逆、對比或敘述形式的變化，讓學生在各種變化了的情境中，從各種不同角度認識數量關系。
例如：在正方形ABCD中，M是AB邊上任意一點，MN垂直MD，MN=MD。
(1)求證：BN平分∠CBE。
(3)若將MN垂直MD變成結論,而BE平分∠CBE變為條件,是否仍然成立?
（二）一題多解
是多角度地考慮同一個問題，找出各方法之間的關系和優劣。在條件和問題不變的情況下，讓學生多角度、多側面地進行分析思考，探求不同的解題途徑。一題多解的訓練是培養學生發散思維的一個好方法。也可以通過縱橫發散，使知識串聯、綜合溝通，達到舉一反三、融會貫通的目的。
如：幾何課本上有一題：正方形的邊長為a，以各邊為直徑在正方形內畫斗圓，求所圍成的圖形（圖中陰影部分）的面積。
思路1：因為陰影部分面積是相同的八個弓形面積之和組成。故利用扇形與三角形面積之差，就可求解。
思路2：這個圖形里包含有正方形和半圓圖形，那么能不能利用這兩個圖形求陰影部分面積呢？容易發現正方形面積減去兩個半圓的面積等于兩個空隙的面積，再用正方形面積減去四個空隙面積即可得到所求的陰影部分面積。
顯然，思路2思路1更廣一些。但是共同的思路是：都沒有離開基本的幾何圖形去求解。沿著這個思路。我們還可以進一步啟發學生得到其它的求解方法（如一圓去兩空）。擴散思維可以是縱向的，也可以是橫向的，實際上我們在思考一個問題時，很難說是具體的運用了哪一種思維方向，而是全方位去想，去思考，即從擴散點向四面八方想開去。一題多解、多證就很好的體現了這種思維模式。
再如:已知:在反比例函數Y=-4X-1上有一點P，在坐標軸上分別有兩個點，點A(0,2)和點B(2,0)，并且三角形PAB的面積為6，求點P的坐標.這到題有四個解,學生討論。點P有可能在第二和第四象限，學生很快想到這兩種可能。進而求解。充分調動學生的思維，橫向思維，還有縱向思維，開闊了思路，拓寬了視野。
（三）一題多問
是利用一個題設多個結論來培養學生發散思維。提供某種數學情境，調度學生多方面的舊知、技能或經驗，組織議論，引起思維火花的撞擊。“業精于勤”。只要我們在教學中運用以上各種解題方法培養學生，讓學生去理解各知識點之間的聯系，觸類旁通，使學生的思維時常處于多向、發散、開放狀態，讓他們去發現問題，從而使他們的思維上升到一個新的領域。
例如：在學習弦切角定理時，可以從這樣一道智力題出發。
例1：一張圓的烙餅，切三刀可分成幾塊？（注意，不可挪動烙餅）
面對此題思維立刻會活躍起來，并探索出（圖１）共有四種答案，第一種是四塊，第二種是六塊，第三種是五塊，第四種是七塊。每種答案的思維比前一種都深了一層。通過這道題研究探索，應當認識到：有些問題的答案并不唯一，要分情況進行討論。
為了深化，還可進一步思考：
(1)最少切幾塊？最多切幾塊？為什么？
(2)切成４、５、６、７塊，各有幾種方法？（為什么切７塊時，只有一種？）
(3)各種切法之間，有何聯系？（可以通過什么把它們貫串起來？）
(4)用刀切西瓜會如何？
在進行發散思維訓練時，不但要找準“發散點”，而且要能打破習慣的思維模式，發展思維的“求異”性。
例2：試畫出平行四邊形ＡＢＣＤ的高（圖２）
圖二（１）是習慣畫性，以ＢＣ為底畫高。從Ｄ畫，并延長ＢＣ，得到（２）。（３）呢？是以ＣＤ為底畫高，通常我們認為這樣畫很別扭，但比（１）的思維方式就新奇了一點，再引伸下去到（４），無論從Ａ還是Ｄ，向ＢＣ畫高，都必須延長ＢＣ。
（四）一題多法和一法多用
是通過一題多種方法的訓練，使學生靈活掌握數學思想和方法，提高應變能力，大面積的提高發散思維能力。目的則是求得應用范圍的變化。條件開放型是利用一個結論多種題設，培養學生的發散思維能力。
例如：解法發散類型題。為了搞好夏季防洪工作，要求必須在規定日期內完成，如果由乙隊單獨做，需超過期限3天；如果由甲隊單獨做，恰能如期完成。現在由甲乙兩隊合作２天后，余下的工作有乙隊單獨去做，恰好能在規定日期內完成，求規定日期。(要求用三種解法)。做這道題時，我把學生分成三組進行討論，合作交流，尋求不同的解題方法。這三種方法，都有不同的思維角度，從不同的側面進行思考，得出的結論也不同。最后得出三種答案。
(1)２（１／Ｘ＋１／Ｘ＋３）＋１／Ｘ＋3（Ｘ－２）＝１
(2)２／Ｘ＝３／Ｘ＋３
(3)１／Ｘ＋Ｘ／Ｘ＋３＝１
（五）一圖多問、一圖多變和一題多圖
圖形發散習慣指對學生圖形中某些元素的位置不斷變化，從而產生一系列新的圖形。了解幾何圖形的演變過程，不僅可以舉一反三。觸類旁通，還可以通過演變過程了解它們之間的區別和聯系，找出特殊與一般之間的關系。引導學生觀察同一事物時，要從不同的角度、不同的方面仔細地觀察，認識事物，理解知識，這樣既能提高學生思維的靈活性，又能培養學生的發散思維能力。
例3：已知：△ABC內接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B，求證：AE與⊙O相切于點A。證明完畢后，我做了如下變化 ：如若
（1）把“AB為直徑”改為“AB非直徑”，結論是否仍成立？并加以證明。
（2）已知：等腰△ABC內接于⊙O，AB=AC、AE∥BC。求證：AE與⊙O相切于點A。
（3）已知：等腰△ABC內接于⊙O，AB=AC，AE=AC，AE與⊙O相切于點A。求證：AE∥BC。
（4）已知：△ABC內接于⊙O，AE與⊙O相切于點A，AE∥BC。 求證：△ABC是等腰三角形。
例4：多邊形內角和定理：n邊形的內角和等于（n-2)·180°。
課本用了從特殊到一般，由直觀到抽象的方式，找出了其中的規律（三角形個數，算出內角和）從而推出公式（n-2)·180°（如圖四（1）。但這是以一個頂點為出發點向各項頂點引輔助線。這時，可移動這出發點P到邊上（2）、內部（3）、外部（4）或多個出發點（5），甚至改變“方向”，先求外角和（6）或歸納地研究（7）等等，但注意適可而止。
通過適當變化幾何題目的已知或結論，可使學生的發散思維能力得到進一步加強。進行一次適當的變式訓練，學生就相當于做了一套“思維體操”。不僅能鞏固知識，開闊學生視野,還能活躍學生思維，提高學生的應變能力。
三、在誘導變通中，培養學生的發散思維能力
變通是發散思維的顯著標志。要對問題實行變通，只有在擺脫習慣性思考方式的束縛，不受固定模式的制約以后才能實現。因此，在學生較好地掌握了一般方法后，要注意誘導學生離開原有思維軌道，從多方面思考問題，進行思維變通。當學生思維閉塞時，教師要善于調度原型幫助學生接通與有關舊知識和解題經驗的聯系，作出轉換、假設、化歸、逆反等變通，產生多種解決問題的設想。
如對于下面的應用題：王師傅做一批零件，8天做了這批零件的2/5，這樣，剩下的工作還要幾天可以完成？學生一般都能根據題意作出（1-2/5）÷（2/5÷8）的習慣解答。此時，教師可作如下誘導：教師誘導性提問學生求異性解答：
① 完成這批零件需要多少天8÷2/5-8或8÷2/5×（1-2/5）？
② 已做零件數是剩下零件數2/5÷（1一2/5）的幾分之幾？
③ 剩下零件數是已做零件數（1-2/5）÷2/5的幾倍？
④ 能從題中數量間找出相等方程解法（略）關系嗎？
⑤ 從題中幾種量中能判斷出比例解法（略）比例關系嗎？
通過這些誘導，能使學生自覺地從一個思維過程轉換到另一個思維過程，逐步形成在題中數量間自由往返調節的變通能力，這對于培養學生的發散思維是極為有益的。
四、在鼓勵獨創中，培養學生的發散思維能力
心理學研究表明，創造性既非與生俱來，也不是少數尖子生所特有的。85%的創造性，只需要具有中等或中等以上的智力。老師在教學中要多表揚、少批評，讓學生建立自信，承認自我，同時鼓勵學生求新。訓練學生沿著新方向、新途徑去思考新問題，棄舊圖新、超越已知，尋求首創性的思維。
（一）
（二）淡化標準答案，鼓勵多向思維
學習知識要不惟書、不惟上、不迷信老師和家長、不輕信他人。應倡導讓學生提出與教材、與老師不同的見解，鼓勵學生敢于和同學、和老師爭辯。
單向思維大多是低水平的發散，多向思維才是高質量的思維。只有在思維時盡可能多地給自己提一些“假如…”、“假定…”、“否則…”之類的問題，才能強迫自己換另一個角度去思考，想自己或別人未想過的問題。
老師在教學中要多表揚、少批評，讓學生建立自信，承認自我，同時鼓勵學生求新。訓練學生沿著新方向、新途徑去思考新問題，棄舊圖新、超越已知，尋求首創性的思維。
在尋求“唯一正確答案”的影響下，學生往往是受教育越多，思維越單一，想象力也越有限。這就要求教師要充分挖掘教材的潛在因素，在課堂上啟發學生，展開豐富合理的想象，對作品進行再創造。
（三）學會反向思維
反向思維也叫逆向思維。它是朝著與認識事物相反的方向去思考問題，從而提出不同凡響的超常見解的思維方式。反向思維不受舊觀念束縛，積極突破常規，標新立異，表現出積極探索的創造性。其次，反向思維不滿足于“人云亦云”，不迷戀于傳統看法。但是反向思維并不違背生活實際。
在分析和解決問題的過程中，學生能別出心裁地提出新異的想法和解法，這是思維獨創性的表現。教師應滿腔熱情地鼓勵他們別出心裁地思考問題，大膽地提出與眾不同的意見與質疑，獨辟蹊徑地解決問題，這樣才能使學生思維從求異、發散向創新推進。事實上，獨創往往蘊含于求異與發散之中，經常誘導學生思維發散，才有可能出現超出常規的獨創；反之，獨創性又豐富了發散思維，促使思維不斷地向橫向與縱向發散。
總之，在初中數學教學過程中，教師可結合教學內容和學生的實際情況，采取多種形式的訓練，培養學生思維的敏捷性和靈活性，以達到誘導學生思維發散，培養發散思維能力的目的。
綜上所述，培養學生多角度，全方位的全面思考問題能力，應該讓學生注意克服已有的思維定勢，改變固有的思路與方法。激發學生敢于提出問題，勤于思考，善于思考，提高分析問題和解決問題的能力，所有這些都是培養學生的發散思維的關鍵。也是當前數學教學改革的重點之一。
