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傅世球《中學(xué)數(shù)學(xué)雜志(初中版)》 2008年第5期 本文字?jǐn)?shù)：3309小中大“類比就是相似比較.” 或者說(shuō)類比就是類似比較.聯(lián)想是一種既有目的又有方向的想象,是由當(dāng)前感知或思考的問(wèn)題想起其它事物的心理活動(dòng). 所謂類比聯(lián)想是以類比為方法、以聯(lián)想為導(dǎo)向的探求規(guī)律和探索解題思路的策略.1 降低難度的類比所謂降低難度的類比(又稱簡(jiǎn)化類比)是根據(jù)“簡(jiǎn)單是真理的標(biāo)志”和“以退求進(jìn)” 的策略, 為了求證復(fù)雜的數(shù)學(xué)證明題, 而找與它有內(nèi)在聯(lián)系的簡(jiǎn)單類比題來(lái)證明, 把簡(jiǎn)單類比題鉆深了, 看透了, 然后再去證明復(fù)雜問(wèn)題就容易多了. 我們用類比聯(lián)想的方法不但構(gòu)造了簡(jiǎn)單類比聯(lián)想題(這是合情推理的猜想),而且還用論證推理證明了它. 正如G•波利亞說(shuō):“在求解所提出問(wèn)題的過(guò)程中,我們經(jīng)常可以利用一個(gè)較簡(jiǎn)單的類比問(wèn)題的解答;我們可能利用它的方法或者可能利用它的結(jié)果,或者可能三者同時(shí)利用”.[1]例1 如圖1, 在直線l一旁有平行四邊形ABCD, 且BE⊥l,AF⊥l,CH⊥l,DP⊥l,點(diǎn)E、F、G、H、P是垂足, 求證(1)EF=HP,EH=FP,(2) BE+AF+CH+DP=4OG.圖1圖2證明(1) 由AB=DC推出EF=HP, 又由AD=BC推出EH=FP.這是由于相等的平行線段, 其射影也相等. (2) 連結(jié)BD、AC相交于O點(diǎn), 作OG⊥l,G為垂足. 因?yàn)楦揭谱儞Q,OG既是梯形AFHC的中位線, 又是梯形BEPD的中位線, 所以OG=12(BE+DP),OG=12(AF+CH)2OG=12(BE+DP+AF+CH),推出BE+AF+CH+DP=4OG.例2 如圖2, 從三角形的三頂點(diǎn)向形外一直線所引三垂線的和, 必等于重心向該直線所引垂線的3倍. 證明 一方面根椐重心的定義與性質(zhì)，OE=13BE，可取OB之中點(diǎn)M，又根據(jù)平移變換的性質(zhì)，AE=EC推出GP=PK，又由BM=MO=OE推出HN=NL=LP，EP與OL分別是直角梯形AGKC與MNPE的中位線，OL=12(MN+EP),EP=12(AG+CK)推出MN+EP=2OL2MN+2EP=4OL,但是2MN=BH+OL,2EP=AG+CK,AG+BH+CK+OL=4OLAG+BH+CK=3OL.例2到例1是一種類比猜想.波蘭數(shù)學(xué)家斯•巴拿赫說(shuō)：“一個(gè)人是數(shù)學(xué)家，那是因?yàn)樗朴诎l(fā)現(xiàn)判斷之間的類似；如果能判明論證之間的類似，他就是一個(gè)優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家；可是，我認(rèn)為還應(yīng)當(dāng)有這樣的數(shù)學(xué)家，他能夠洞察類似之間的類似.”可以想象，從平行四邊形到平面三角形, 再到平面線段, 是類比, 則有“線段中點(diǎn)到另一條直線的距離等于線段兩端向該直線引垂線之距離和的2倍.”從2倍到3倍再到4倍難道不是“類比猜想”到數(shù)學(xué)思維的“后證”的發(fā)現(xiàn)嗎！？在例2中若三角形外的直線過(guò)垂心, 又可探索出什么結(jié)論呢? 讀者還可以看出“類比不但有發(fā)現(xiàn)真理、認(rèn)識(shí)真理的認(rèn)識(shí)論基礎(chǔ),而且還有證明真理的方法論意義. ”又說(shuō)“客觀事物之間的相似性和差異性是類比推理的邏輯基礎(chǔ),相似性的存在提供了類比的可能性,而差異性的存在又限制著類比的范圍. 如果強(qiáng)調(diào)了事物之間的相似性而忽視其差異性,那么就會(huì)把類比視為萬(wàn)能的“法寶”到處亂用;反之,如果片面地強(qiáng)調(diào)事物之間的差異性而忽視其相似性,那么就會(huì)陷入“不可知論”的泥坑.”[2]2 結(jié)構(gòu)類比所謂結(jié)構(gòu)類比是指新的條件與結(jié)論與已經(jīng)掌握的定理(或公理) 的條件與結(jié)論極其相似, 將它們進(jìn)行類比, 即這種將要探討的問(wèn)題與探討所需定理之間進(jìn)行的類比叫做結(jié)構(gòu)類比.2. 1 條件聯(lián)想定理的結(jié)構(gòu)類比所謂條件聯(lián)想定理的結(jié)構(gòu)類比是從已知條件聯(lián)想定理、公式, 通過(guò)由“由因?qū)Ч?#8221; 的綜合法找到證題途徑, 從而使定理與本題產(chǎn)生結(jié)構(gòu)類比的思想方法.圖3例3 如圖3，已知⊙O的直徑為d,其內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD，垂足是E.求證:EA2+EB2+EC2+ED2=d2.分析由于⊙O的直徑為d,其內(nèi)接四邊形ABCD的對(duì)角線AC⊥BD,垂足是E, 聯(lián)想起勾股定理, 由于DC與AB不在一個(gè)直角三角形中, 故必須添過(guò)圓心的直徑AOF, 連結(jié)CF,BF. EA2+BE2=AB2,ED2+EC2=DC2,CF∥BDDC=BF,DC2=BF2EA2+BE2+ED2+EC2=AB2+BF2=AF2，所求證的結(jié)論成立.2. 2 結(jié)論聯(lián)想定理的結(jié)構(gòu)類比所謂結(jié)論聯(lián)想定理的結(jié)構(gòu)類比是從結(jié)論聯(lián)想定理、公式, 通過(guò)由“執(zhí)果索因” 的分析法找到證題途徑, 從而使定理與本題產(chǎn)生結(jié)構(gòu)類比的思想方法. 例4 如圖4，兩圓外切于P，一直線交兩圓于A、B、C、D四點(diǎn)，求證：∠APD+∠BPC=180°.分析1 由結(jié)論聯(lián)想到三角形的內(nèi)角和定理，但是求證的兩個(gè)角彼此重疊在一起，添過(guò)P點(diǎn)的公切線PQ可將角分解代換：∠APD=∠APB+∠BPQ+∠CPQ+∠CPD，∠QPB=∠A，∠QPC=∠D，這是弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角，又由三角形外角定理有∠BCP=∠D+∠CPD，∠CBP=∠A+∠BPA，這表面上看是將角分散了，但是“分解與重新組合”，使求證：∠APD+∠BPC=180°的結(jié)論獲得了新生:∠APD+∠BPC=∠BPC+∠PBC+∠BCP=180°. 分析2 由結(jié)論聯(lián)想△APD的內(nèi)角和定理，作過(guò)P點(diǎn)的公切線PQ，∠BPC=∠BPQ+∠CPQ，∠BPQ=∠A，∠CPQ=∠D，最后得出∠APD+∠A+∠D=∠APD+∠BPC=180°.圖4圖5例5 如圖5，兩圓相交于P，Q，一條外公切線切兩圓于A，B，求證：∠APB+∠AQB=180°.分析 求證的結(jié)論類比聯(lián)想△QAB（或△PAB）的內(nèi)角和定理, 用“分解與重新組合” 的方法, 用弦切角等于它所夾弧所對(duì)的圓周角，讀者可繼續(xù)思考下去, 可激活此題, 這當(dāng)然也是用兩種方法都體現(xiàn)“類比激活策略”. 這兩個(gè)證明題都用到三角形的內(nèi)角和定理, 它們的每一道題均屬結(jié)論聯(lián)想定理的結(jié)構(gòu)類比; 但是, 這兩道題之間只是從兩圓外切到兩圓相交, 是形式類比.2．3 條件與結(jié)論都聯(lián)想定理的結(jié)構(gòu)類比圖6例6 如圖6，在⊙O中,BA為直徑,AD是切線,BD、BF是割線, 分別交⊙O于C和E, 求證:BE×BF=BC×BD.分析 由求證聯(lián)想到射影定理AB2=BE×BF,AB2=BC×BD,再由已知,BA為直徑,AD是切線,BF是割線,在Rt△ABD與Rt△BAF中,可知射影定理滿足條件, 得出BC×BD=BE×BF.3 橫向類比所謂橫向類比是指“被比較的對(duì)象的屬性不處于明顯的互相依存的狀態(tài)。”3. 1 形式類比所謂形式類比是兩個(gè)對(duì)象的關(guān)系相似或相同而引起的.形式類比又稱為關(guān)系類比. 例7 如圖8，是一個(gè)3×3的正方形,如圖7，是一個(gè)2×2的正方形. (1) 在圖7中求∠4+∠5+∠7+∠8的度數(shù)?(2) 在圖8中求∠1+∠2+∠3+…+∠9的度數(shù)?分析 為求(2),用簡(jiǎn)單類比方法必需先求(1)的結(jié)果;反之,從(1)到(2)是普遍化的策略,這是對(duì)圖形絕妙地觀察,即利用對(duì)稱性可得出簡(jiǎn)潔的解題策略.圖7圖8解 (1):在圖7中,沿對(duì)角線對(duì)折,上下圖形完全重合,∠4+∠8=90°,∠5=∠7=45°∠4+∠5+∠7+∠8=180°. (2)在圖8中,沿對(duì)角線對(duì)折,左上邊的圖形與右下方的圖形也重合,∠1+∠9=∠2+∠6=∠4+∠8=90°∠1+∠2+∠3+…+∠9=3×90°+3×45°=405°.本例的(1)是為(2)鋪墊的,不會(huì)解(2)時(shí),可以退到(1),尋求方法. 正如華羅庚教授說(shuō):“要善于退,足夠地退，退到最原始而又不失去重要性的地方是學(xué)好數(shù)學(xué)的一個(gè)決竅. ”3. 2 方法類比所謂方法類比是借助于過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)、技能、思想方法而進(jìn)行類似比較的方法.例8 如圖9,已知B、C、E在同一條直線上,△ABC、△DCE 都是等邊三角形, 且都在直線BCE的同側(cè),AE,DB分別交CD、AC于G、F, 求證: △GFC是等邊三角形.圖9圖10證明 若設(shè)AB=BC=AC=a,DC=CE=DE=b可用聯(lián)系的設(shè)問(wèn)①為什么FC∥DE?( 因?yàn)?#8736;ACB=∠DEC=60°由同位角相等推出兩直線平行. )②用什么定理可得FCb=aa+b(平行線截得比例線段定理. )③如何將FC用a,b來(lái)表示?(FC=aba+b)④CG也能用同樣的表達(dá)式嗎? 為什么?(因?yàn)镃G∥ABCGa=ba+bCG=aba+b)⑤用什么公理可將所得的兩個(gè)表達(dá)式聯(lián)系起來(lái)?( 等量公理. )⑥既然CG=aba+b=CF,用什么定理可得△CFG是等邊三角形呢?( 頂角是60°的等腰三角形是等邊三角形).例9 如圖10, 在△ABC中∠A=90°,以AB為直徑作半圓, 過(guò)C作半圓的切線CT,T為切點(diǎn), TD⊥AB交CB于M.求證:TM=MD.證明 過(guò)B點(diǎn)作圓的切線交CT于F, 設(shè)CA=CT=a,FB=FT=b, AC∥TD∥FBMDa=BDBA=FTFC=ba+bMD=aba+b,同理MT=aba+b，所以MT=MD.例 9與例8 的證明方法多么相似, 故為方法類比.4 因果類比所謂因果類比是兩類事物在變化過(guò)程中, 由相似的原因“由因?qū)Ч?#8221; 地推出相似的結(jié)果; 或者反之, 由相似的結(jié)果“執(zhí)果索因” 地得出相似的原因的類比. 例10 在例7（2）中, 證明:∠1+∠2+∠3+∠6+∠9+∠8+∠7+∠4=360°. 可見(jiàn)例10與例7（2）是屬于因果類比. 綜上所述, 用類比的數(shù)學(xué)思想添輔助線或分析證題思路, 是溝通證題思路的行之有效的方法, 但要注意的是類比不等于證明, G•波利亞又說(shuō):“如果把這種猜測(cè)的似真性當(dāng)作肯定性, 那將是愚蠢的, 但是忽視這種似真的猜測(cè)將是同樣愚蠢甚至更為愚蠢”[3]這是用類比添輔助線的辯證評(píng)價(jià).參考文獻(xiàn)［1］ G•波利亞著. 怎樣解題［M］. 北京:科學(xué)出版社,1984：43.［2］ 傅世球. 中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的藝術(shù)［M］. 長(zhǎng)沙:湖南教育出版社,1989. 5.［3］ G•波利亞著. 怎樣解題［M］. 科學(xué)出版社,1982：43.