本文來源：《數學不了情》
作者：談祥柏
如果直角三角形的直角邊長為a和b，斜邊長為c，那么，a2+b2=c2。公元前6世紀，古希臘杰出的數學家畢達哥拉斯（Pythagoras）首先從理論上證明了這個定理后，欣喜若狂，宰了100只牛來表示慶祝，因此這個定理又被人叫做“百牛定理”。不過，有些歷史學家不以為然，認為不過是用面粉做了100頭牛作為貢品來酬謝神明而已。
在我國，有一部流傳下來的、最早的數學與天文著作。名叫《周髀算經》，成書于公元前100年左右，即西漢時期。書中有一段記載商高（生活在公元前11世紀的人）回答周公的話“勾廣三，股修四，經隅五”，其意思是，如果直角三角形兩條直角邊長為3和4，則斜邊長必定是5。書中還有一段陳子（公元前6世紀，周朝中期時人）答榮方問，他說：“若求邪至日者，以日下為勾，日高為股，勾股各自乘，并而開方除之，得邪至日”。這就說得更清楚了，如果用現代記法，便是
我國古代幾何學不但有悠久歷史和豐富內容，而且具有自己獨特的風格，我國古代幾何學的特色之一是從實踐中總結提高所形成的“出入相補”原理。一個平面圖形從一處移置他處，面積不變；把圖形分割成幾塊，則各部分面積之和等于原來圖形的面積。
三國時期魏人劉徽（公元3世紀）在注《九章算術》勾股術時說：“勾自乘為朱方，股自乘為青方，令出入相補，各從其類”。其意思就是將“出”的割下，補到“入的地方”，其余部分保留不動（圖1顏色區域）。我國著名數學家華羅庚先生曾建議把“青朱出入圖”帶上宇宙飛船，讓外星人知道我們還能證明勾股弦定理，這是一個非常聰明的想法。
圖1 青朱出入圖
趙爽的“弦圖”，證法也極簡單。如圖2所示，以弦c為一邊的正方形，含有4個以a和b為直角邊的直角三角形與一個以b-a為邊長的小正方形，于是有
圖2 趙爽的“弦圖”
勾股定理的證明引起了古今中外許多人的興趣，尋找新的證明方法從來沒有間斷過。真是百花齊放，推陳出新，人人都想插上一手。有人聲稱，3000年來，已經找到了400多種不同證法，但這僅僅是極不完全的統計，無人知道確切數字。這些證明者中間，上至達官貴人，下及販夫走卒，包括各個階層的人物。在中國古代的“疇人”（數學家的別稱，有一本名著叫《疇人傳》）中，知名者就有梅文鼎、項名達、楊作枚、李銳、陳杰、安清翹、何夢瑤，華蘅芳等，大家都不甘示弱，各有各的證法。日本的和算圣人關孝和（1642~1708）在其專著《解見題之法》（1682年出版）中有圖證，據近人李潢考據，其方法與“青朱出入圖”大同小異。
號稱趣味數學三大名家之一的英國人亨利?杜登尼（H.E.Dudeney,1857~1930）于1917年發表了一個勾股定理的“風車證法”，只要在“股”上的正方形剪兩刀即可證出，可以看出，兩線的交點在正方形的中心，分別與“弦”平行或垂直，所得出的4個圖形完全一模一樣，非常美麗，而且對稱（圖3）。
圖3 風車證法
說起對稱，不能不提一提文藝復興時期的意大利大畫家達芬奇（Leonardo da Vinci 1452-1519），他在歐幾里得《幾何原本》的插圖上，下各添加一個直角三角形（圖4），就不難看出六邊形ABHKJG與六邊形ACBDEF是縱橫合同的，前者軸對稱（對稱軸為GH），而后者中心對稱（對稱中心是弦上正方形的中心）。
圖4 畫家的巧妙證法
只要把兩個六邊形分別減去三角形ABC面積的兩倍，就能立即看出，兩條直角邊上小正方形面積之和等于斜邊上的大正方形面積。
旋轉變換與兩種對稱性的巧妙結合，充分顯示了達芬奇這位大畫家的數學直覺與對稱美感，令人由衷嘆服大師的超人想像力——別人無論如何也不會想到六邊形啊！
美利堅合眾國第20任總統加菲爾德（J.A. Garfied）對此定理也深感興趣，他在擔任眾議院議員時，曾在《新英格蘭數學學報》上發表過一個極簡單的證法，見圖5。
圖5 一位美國總統的證法
由圖立即看出AB平行CD，于是ABCD為梯形。從而根據梯形面積公式得出
整理簡化后即得出 a2+b2=c2。
本文已經寫下不短，下面再來說幾個作圖非常容易的證法。
圖6 面積證法
顯然極易證明△ADC與△CDB都同原來的直角三角形△ABC相似（圖6），于是根據有名的幾何定理：
“相似三角形面積之比等于對應邊的平方之比”，
設△ADC,△CBD,△ABC的面積分別為S?，S?，S?，則
由于
所以 a2+b2=c2，證明完畢。
在平面幾何這出大戲中，圓歷來都是當主角的，它當然不甘寂寞，也要來表演一番。
由相交弦定理（圖7），得
圖7 相交弦定理
由于CB=CE，故有
所以
由于△ABC是直角三角形，當然存在著外接圓，現在把他作出來，見圖8，AB為直徑。
圖8 利用托勒密定理的證法
顯然，BD=AC，AD=BC,CD=AB。
托勒密（ptolemy）定理告訴我們
把等量代人，立即得出
另外，平面三角形中最重要的恒等式
其實也不過是勾股定理的喬裝改扮而已！
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