三、數學與生活聯系應抓住生活問題數學化
學習系統的數學知識和密切聯系實際，這兩者的關系六十年來一直有爭論，一個時期強調前者，一個時期又強調后者，左右搖擺不定。
我們應該理直氣壯地堅持：小學生的主要任務，是學習系統最基本的數學知識。當然，數學來源于生活，來源于實際問題，應該把學習數學知識同生活實際聯系起來。我認為對小學生來說，主要應該從完成學習系統數學基礎知識的角度看問題，聯系實際是為了更好地理解和掌握數學知識，不能破壞數學知識的系統性，不能削弱數學知識的學習。六十年代初的教育大革命以及后來的文化大革命中，過分強調聯系實際、政治掛帥，把數學知識弄得支離破碎，數學質量嚴重下滑，歷史的教訓必須記取。
現在有兩種提法：數學問題生活化和生活問題數學化。這兩種提法粗看差不多，事實上是兩種不同的教育理念。數學問題生活化，是把數學問題落實到生活化，以為生活中有的就學，生活中沒有就不該學，這樣認識問題是片面化、庸俗化的。生活問題數學化，這是指生活問題通過數學建模上升到數學問題。我主張提“生活問題數學化”，因為它落實到數學化，抓住數學教學的本質。正如國際著名數學教育家弗賴登塔爾說過：“沒有數學化就沒有數學”（3）。
數學來源于生活，但不等于生活問題就是數學問題，也不等于數學問題都是生活問題。例如有一道非常簡單的應用題：“黃花有8朵，紅花比黃花多2朵，紅花有幾朵？”這樣的問題在生活中是不存在的，因為先要知道紅花有幾朵，才能知道紅花比黃花多2朵。在文革中曾批判這類題目嚴重脫離實際。但是，它可以作為數學問題存在，上升到數學模型就是“求比一個數多幾的逆命題”。又如在春節聯歡晚會上姜昆說過一段相聲，諷刺數學書上一道題：“有一個水池，打開進水管注滿水池要3小時，打開出水管放完整池水要2小時。現在同時打開進水管和出水管，要多少時間才能把一池水放完？”在日常生活不可能同時打開出水管和進水管，真是吃飽了撐著，沒事干，引得哄堂大笑。這樣的問題在實際生活中不可能有，但可以把這種現象上升到數學問題，建立一種數學模型，就成為一種“動態平衡”的數學問題，而且有著廣泛的應用。例如，牧場牛吃草，牛在一邊吃草，要考慮到另一邊的草正在生長；人的新陳代謝，一邊在消耗能量，一邊又在制造新的能量。過去應用題教學中有自編應用題、看圖編題、根據情境編題、根據實物演示編題等都是要求學生把生活問題上升到數學問題的一種訓練。
從新世紀開始的數學新課改中，取消應用題的提法，改為“解決問題”（有時又叫“問題解決”），作為一項重大的改革。近十年來，教師迷茫，爭論不休。為什么通俗易懂，大家都明白的“應用題”提法，非要改成深奧莫測，大家很難弄明白的“解決問題”呢？據說主要原因有二：一是同國際接軌，因為美國人提“解決問題”，我們也得跟著改，二是原有應用題太陳舊，非得改。
稍有點邏輯常識的人都會看出：“解決問題”是一種領域，好比“數與代數”“空間與圖形”“統計與概率”等；應用題是一種題型，好比計算題、文字題、圖形題。兩者之間不是并列關系，而是上下從屬關系。應用題是屬于“解決問題”領域中的一種題型，這樣就能說得通了，大部分教師也會接受。應用題無非是一種題型，為什么非得斬盡殺絕，把它逐出小學數學之外呢？
說原有應用題教學太陳舊，這也不符合事實。改革開放以后，經歷了1978年大綱、1986年大綱和1992年大綱，20多年來對應用題教學進行不斷改進，不斷完善，不斷創新，取得令世人矚目的發展。當時有10多種實驗課本，各個編寫組都在盡力改革原有的應用題體系，設計各種新型應用題內容和形式。廣大教師也在教學實踐中不斷改革教法，逐漸形成一套行之有效的解題策略，有力地促進學生的數學思維的發展。
我是親自參與實踐和研究的，是一個見證人。根據兒童學習數學的規律，提出：“應用題要過關必須抓審題”的觀點，提高學生分析問題和解決問題的能力。八十年代，我主持了應用題基本訓練的研究，對常用的數量關系、解題思路、題目結構以及解題方法進行經常性訓練，每堂課只用5分鐘，用分散性訓練方法，達到解決應用題難點問題。后來集中了許多優秀教師的力量編寫了全套（1－6年級）《應用題基本訓練冊》，把應用題基本訓練序列化，科學化。應用題解題策略的研究，把數學思想方法引進到應用題教學中，特別重點研究了線段圖的作用和使用。
這個時期，全國各地的研究風氣很盛，涌現出大量應用題教學的研究成果。我們應該認真總結改革開放20多年來的經驗，在此基礎上繼續新的改革，走自己的路，而不是按照國外的理論和做法推倒重來，重砌爐灶。
四、四則運算能力是小學數學教學中的重要能力
我對小學數學教學的研究是從口算教學開始的。五十年代我當農村小學教師的時候，遇到一個頭痛的問題，學生經常算錯，考試成績很差。我一再告誡學生不要粗心，不能做錯，可是學生還是經常算錯，考試成績很差。我冥思苦想也想不出什么道理。
有一次，我買到一本蘇聯普喬柯的《算術教學法》，真是欣喜若狂。書中說，口算教學有著非常重要的意義，加強口算練習可減少學生計算錯誤。書中介紹了一種口算練習條，使用后我發現不方便，不過由此受到啟發，開始設計口算表。邊使用，邊改進，后來在《江蘇教育》（1956.23）上發表了。我考入華東師大教育系后，繼續研究，完成全套《小學數學口算表》，直到1979年才由上海教育出版社正式出版，這本只有幾十頁的小冊子，卻花費了近30年的時間。
華東師大畢業后，我在附小搞教學實驗研究，發現許多教師總認為小學生主要用筆算，多練筆算就行了。由此，我決定搞“基本口算與筆算相關問題的研究”。主要采用調查測試和個別觀察分析的方法。在上海、安徽、湖北、廣東、河南的39所學校，158個班級，7134名學生（包括四、五、六年級）進行調查測試。調查測試的結果表明：基本口算速度快，筆算速度也快，正確率也高；反之，基本口算速度慢，筆算速度也慢，正確率也低，有著非常顯著的的正相關現象（相關系數是0.760—0.763）。對學生的筆算錯誤加以分析，發現筆算中絕大部分的錯誤是由于基本口算不熟練而造成的。這次調查實驗研究探索到兩條兒童學習數學的規律：“口算是筆算的基礎”“計算要過關，必須抓口算”（4）。
八十年代，有些學校受“文革”期間三算結合教學的影響，對口算速度提出高指標，認為越快越好，導致加重學生的負擔。學生的口算能力高低應該有一個尺度來衡量，也就是要制定出標準。有了一個標準，學生就有了奮斗的目標，教師也能做到心中有數。學生的口算能力沒有達到標準，應該加強練習；已經熟練了，訓練的時間可以減少，把剩下的時間用于其他方面的訓練。
制定口算表的標準，既要照顧到培養學生良好計算能力的要求，但又不能脫離學生的實際情況，這是一項極其復雜艱巨的系統工程。我組織了京、滬、津、蘇、浙、皖、蒙、疆等十六個省、市、自治區的100多位教研員和教師參加協作研究組。受測學生達72000多人次。
在調查研究的基礎制定出11張口算表，并在教學實際中使用，再根據使用的情況，不斷修改調整，每張量表有及格標準和優秀標準。由于我國幅員遼闊，各地教學水平和學生的基礎不一，因此制定的標準可以有一個幅度，不要一刀切。例如，以5分鐘做對題數為準，20以內加減法量表的及格標準是60—70，優秀標準是80—90。這項口算量表的研究成果，在《人民教育》（5）發表后，引起全國小學數學教育界很大的反響。
我從幾十年對小學生計算能力的研究中得到啟示，要探索小學生學習數學的奧秘，必須堅持科學發展觀，走深入調查研究的道路。不能心血來潮，信口開河。現在有些人忌諱提“加強計算”，更不敢提“訓練”。
2008年末，在濟南舉行“全國小學數學名師教學風采展示活動”。主辦方邀請我做講座，而且還非要我上一堂課。其實我不是“學數學名師，而是為了推介嘗試教學法偶爾上點研究課。我主張上真實創新的課，沒有刻意自己選擇課題，而是根據借班的教學進度上四年級“除數是兩位數的除法”。當下名師的觀摩課大都喜歡上幾何圖形內容的課，如“角的認識”、“三角形面積計算”、“圓的周長”、“圓周率”等，這種課可以有精彩的情景的導入，能夠滲透數學思想，還能傳遞數學文化，大都會贏得觀眾的滿堂喝彩。一般都不愿意上計算課，這種課內容單調，很難出采，弄得不好還要被人批評同新課改背道而馳”。我思考良久，大家都不敢上，我就帶個頭。
那天上課，恰好我重感冒高燒剛退，為了使大會不受影響，我還是堅持上。這堂課的教學過程大致是這樣的：學生已經學過“除數是整十數的除法”，在此基礎上再學“除數是兩位數除法”，完全可以讓學生自學，再嘗試練習，然后小組派代表上臺當“小先生”，講解兩位數除法的計算過程以及計算時的注意點，小組之間相互評議，最后教師點撥總結。學生初步掌握了兩位數除法的計算法則后，組織學生練習，練習有不同水平和不同形式的題目，有10道兩位數除法筆算題、12道試商填充題、10道口算題共計32道題。根據兒童年齡特點，采取了多種練習形式：有搶答、小組競賽、有口答、筆答。每一次練習都做到我一貫主張的四個當堂：“當堂練習、當堂校對、當堂訂正、當堂解決”。由于教師講得很少，留出充裕時間讓學生練習，這堂課幾乎把課本上的題目都做完了，課外就不必布置家庭作業了。下課前我出了一道筆算除法的趣味題，提供給學生回家思考，有興趣就做，沒有興趣可以不做。
山東臨沂師范學院數學系李紅婷教授聽了這節課，覺得計算課同樣可以體現新課改的“自主探究、合作交流、動手實踐”的教育理念。同時認為這堂課，教師少講，學生多練，通過多種形式的練習，學生既學得輕松愉快，又把課本上的題目基本做完，沒有家庭作業，減輕了學生課后作業負擔。因而李教授寫了一篇文章介紹了這堂課并加以評論，題為：《強化計算訓練就背離新課程理念嗎？》（《中國教育報》2009.1.9）此文發表后,引來不少爭論,有贊成的，也有批評的。有的抨擊非常尖銳，題為“不要把孩子變成廉價的計算器”（6）給了一頂怪嚇人的大帽子；《人民教育》（2009.20）刊載一篇文章（7）也拿這堂課說事，并引出一個當前必須弄清楚的一個嚴肅話題：“數學教育的核心是“數學”還是“教育””，該文的作者沒有直接回答，有點含糊其詞，但反對提“數學教育的核心是數學”的觀點是清楚的。
當下，真正的學術爭鳴較少，我的一堂課能引起大家爭論是件好事，我樂意聽取各方面的意見。由于本文篇幅所限，不能展開論述我的觀點。不過我可以鮮明地表態：數學教育的核心是數學，在學習數學的過程中同時接受教育。
例如，在學習四則計算的過程中，不僅僅是掌握四則計算的法則，而且培養了數感、數學思維的方法，更重要的又培養了學生的認真負責、一絲不茍的工作精神以及獨立思考能力、分析推理的能力。就拿上面爭論的我上的“除數是兩位數除數”這堂課來說，有試商專項訓練題：
括號中最大能填幾？【73÷（
這堂課最后我布置了一道趣味題，有時間做，沒有時間也可不做：這道筆算豎式中，僅看到4個已知數，要填出9個未知數，解這道題需要比較復雜的分析推理能力。很顯然，解題過程中能夠有效地提高學生的智力發展水平。這樣的練習難道是把孩子培養成廉價的計算器嗎？
